ランダム化ベンチマークで忠実度を使用する目的

多くの場合、2つの密度行列と比較するとき（が理想的な実験的な実装である場合など）、これらの2つの状態の近さは量子状態忠実度忠実度はとして定義されています。$\rho$$\sigma$$\rho$$\sigma$

$$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$$ $1-F$

同様に、ゲートの実装が理想的なバージョンとどれだけ近いかを比較すると、忠実度はあるハール測度純粋状態にわたる。当然のことながら、これは作業するのが比較的不愉快になる可能性があります。

$$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$$ $d\psi$

次に、密度行列の場合は行列を定義し、ゲートを操作する場合は定義します。次に、などのシャッテン基準¹ 、\ | M \ | _2 ^ 2 = tr \ left（M ^ \ dagger M \ right）、またはダイヤモンドノルムなどの他のノルムを計算できます。$M = \rho - \sigma$$M = U - \tilde U$$\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$$\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

これらの規範は、多くの場合、計算するのが容易である^2を上記フィデリティより。さらに悪いことに、ランダム化されたベンチマーク計算では、非忠実度は優れた尺度ではないように見えますが、量子プロセッサのベンチマーク値を見るときに毎回使用される数値です。³

そのため、なぜ有用でないのか、シャッテンノルムなどの他の方法の方が計算が簡単な場合、（ランダム化ベンチマークを使用して）量子プロセッサのゲートエラーを計算するための重要な値は（不）忠実度である古典的なコンピューターで？

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^{1 Mのシャッテンpノルム$M$は$\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2つまり、（古典的な）コンピューターにノイズモデルを接続してシミュレートする}

^{3 IBMのQMX5など}

NielsenとChuangの本「Quantum Computation and Quantum Information」には、量子情報の距離測定に関するセクション（第9章）があります。

驚いたことに、彼らはセクション9.3で「量子チャネルはどれだけ情報を保存するのか」と言っています。忠実度をトレース標準と比較する場合：

最後のセクションで確立したトレース距離のプロパティを使用すると、ほとんどの場合、トレース距離に基づいて並行開発を行うことは難しくありません。ただし、忠実度は計算しやすいツールであることが判明しているため、忠実度に基づいた考慮事項に限定しています。

これが、忠実度が使用される理由の一部であると思います。距離の静的な尺度としてかなり有用であると思われます。

州の集団への忠実度の比較的簡単な拡張もあるようです

$$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$$

$p_j$状態にシステムを準備する確率、および関心のある特定のノイズの多いチャネル、。$\rho_j$$\mathcal{E}$$0\leq F\leq 1$

また、エンタングルメント忠実度の拡張機能もあり、チャネルがエンタングルメントをどれだけ維持するかを測定します。状態が何らかの方法で外界に絡み合っていると仮定し、状態（仮想システム）を浄化すると、は純粋になります。状態は、チャネルダイナミクスの影響を受けます。素数は、量子演算の適用後の状態を示します。は、システム上のIDマップです。$Q$$R$$RQ$$\mathcal{E}$$\mathcal{I}_R$$R$

$$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$$

忠実度とエンタングルメントの忠実度の計算を単純化するために導出されたいくつかの公式もあります。

エンタングルメントの忠実性の魅力的な特性の1つは、正確に計算できる非常に単純な公式があることです。

$$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$$

ここで、「操作要素」は完全性の関係を満たします。他の誰かがより実用的な実装についてコメントできるかもしれませんが、これは私が読書から集めたものです。$E_i$

更新1：Re M.Stern

これは同じ参照NielsenとChuangです。彼らは、「定義の右側に表示される忠実度がなぜ二乗されているのか疑問に思うかもしれません。この質問には2つの答えがあります。1つは単純、もう1つは複雑です。より複雑な答えは、現在、量子情報は未熟な状態にあり、情報などの概念の「正しい」定義が完全に明確ではないということです。それにもかかわらず、第12章で説明するように、アンサンブルの平均忠実度とエンタングルメント忠実度は、量子情報の豊富な理論を生み出し、これらの尺度が正しい軌道に乗っていると信じています。

の忠実度を見てはいけないという2番目の質問に答えるには、PhysRevAにあると思う「量子状態の集合間の識別可能性の尺度」で言及された素晴らしい点がありますが、ここにはarXivバージョンがあります。$\bar{\rho}$

彼らがpg 4で言及する点は、同じアンサンブル平均密度行列を持つと 2つのアンサンブルがあり、忠実度はそれらを区別できません。$rho$$\sigma$$\bar{\rho}=\bar{\sigma}$$F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Update 2：Re Mithrandir24601 したがって、ゲート忠実度の定義の1つは、特定の入力状態に対するチャネルの最悪の場合の動作を考えることです。$\mathcal{E}$

$$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

両方の引数に凹があるため、この最小化では純粋な状態に制限することができます。2番目の部分の等価性は単なる表記です。

ゲートの実装方法を定義する際に、以下を定義することにより、チャネル によるユニタリゲート最悪の実装を見ることができます。$U$$\mathcal{E}$

$$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

あなたが与えた公式とリンクした論文では、それらはで適切な尺度積分します。これは、代わりに平均忠実度と見なされるべきだと思うようになります。これは、特に実験を繰り返す場合、実際の実験でより役立つと想像できます。正確な最小値を達成することはおそらくないでしょう。$\psi$$^*$$\bar{F}(U,\tilde{U})$

紙のarXivのバージョンがありますここで彼は平均的なゲートの忠実度について語るマイケル・ニールセンが。

ゲート用の忠実度との間の唯一の余分な差ゲートの平均忠実度は、あなたが最初に提供式対述べたように、トレースの正方形である：あなたが持っています。Update 1のように、よりもを忠実度として使用することを好む人もいます。これは、より簡単にエンタングルメントの忠実度に接続できるためです。適切にコメントするには、それについてもう少し読む必要があります。$[\operatorname{trace}]^2$$F^2$$F$

（）余談：それを「ハール測定」と呼ぶのは誤解を招くかもしれないと思う、私もそれを論文で見た。私の知る限り、純粋な状態の空間は通常、次元のヒルベルト空間位相的にです。どうやら彼らが使用するメジャーは、 haarメジャーから商などによって継承されているようです。https：//physics.stackexchange.com/a/98869/41998を読みました。$\,^*$$\Bbb{CP}^n$$n$$U(n)$