なぜ標準のゲートセットを使用するのですか？

量子計算に一般的に使用されるゲートセットは、単一キュービットCliffords（Paulis、HおよびS）、被制御NOTおよび/または被制御Zで構成されます。

Cliffordを超えるには、完全な単一キュービット回転が必要です。しかし、最小化する場合は、T（Zの4番目のルート）に進みます。

ゲートセットのこの特定の形式は、すべてをポップアップします。たとえば、IBMのQuantum Experiment pなど。

なぜこれらのゲートは、正確に？例えば、Hは、XとZのSとの間のマッピングの仕事は同様にYとXとの間のマッピングの仕事をしない、しかしの因子$-1$また、導入されます。アダマールのようなユニタリ（X + Y ）/ √を使用してみませんか$(X+Y)/\sqrt{2}$Sの代わりに 2？または、なぜHではなくYの平方根を使用しないのですか？もちろん数学的には同等ですが、慣例としては少し一貫しているように見えます。

そして、なぜ私たちの行く非クリフォードゲートはZの4番目のルートですか？なぜXまたはYの4番目のルートではないのですか？

この特定のゲートセットの選択につながった歴史上の慣習は何ですか？

論文を書いて、表記を改善するか、分析をよりエレガントにするために少し異なる方法で提示できるかどうかを自問した人は、表記、説明、分析の選択が偶然になる可能性があるという事実に精通しています。深い動機なし。それには何の問題もありません。特定の方法であることを強く正当化するものではありません。最も可能性のある画像を提示するのではなく、物事を成し遂げることに関心がある（おそらく理由がある）人々の大規模なコミュニティでは、これは常に起こります。

この質問に対する究極の答えは、これらの方針に沿ったものになると思います。それはほとんど歴史的な事故です。私はあることを疑う深く考えられ、彼らがそうであるように理由は、ゲート・セットがあるために、任意のより多くの我々はベル状態について話す理由深く的な理由が考えられているよりも状態よりも幾分頻繁に| Ψ-⟩=（|01⟩-|10⟩） /$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$。$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

しかし、私たちはまだ事故がどのように生じたのか、そしてそこに私たちを導いたかもしれない体系的な考え方について学ぶことができるものがあるかどうかを考えることができます。理由は最終的にはコンピューター科学者の文化的優先事項に起因するものであり、物事を説明する方法において、深いバイアスと表面的なバイアスの両方が役割を果たすと予想しています。

ベルの余談

あなたが私と一緒に耐えるなら、私は2つのベル州の例について詳しく述べたいと思いますおよび| Ψ - ⟩最終的には任意の慣例があるため、深い数学的なルーツを持っていない偏見の一部に、事故で約来ることができるかを示す一例として。$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

好む理由の1つは明白です以上| Ψは- ⟩前者はより明らかに対称であるということです。|に 2つのコンポーネントを追加すると、Φ + ⟩、私たちが書いている理由を守る必要はありません。対照的に、同様に簡単に定義できます| Ψ - ⟩ = （| 10 ⟩ - | 01 ⟩ ）/$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$は反対の記号で、選択より良いまたは悪い動機はありません。Ψ-⟩=（|01⟩-|10⟩） /$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$。これにより、定義時によりmore意的な選択を行っているように感じます。Ψ−⟩。$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

の場合でも、基底の選択は多少柔軟です。Φ + ⟩：書くことができます| Φ + ⟩ ：= （| + + ⟩ + | - - ⟩ ）/$\lvert \Phi^+ \rangle$と同じ状態を取得します。しかし、固有状態を考慮し始めると、事態は少し悪化し始めます。±I⟩：=（|0⟩±I|1⟩） /$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$のYのオペレータ：我々は持っています| Φ+⟩=（|+I⟩|-私⟩+|-私⟩|+I⟩） /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$。これはまだかなり対称に見えますが、基底の選択が定義方法において重要な役割を果たしていることが明らかになります。Φ+⟩。$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

冗談は私たちにあります。理由は「より対称的」に見える| Ψ - ⟩ためであります| Ψ - ⟩文字通り少なくとも対称2量子ビットの状態であり、これは、それが作るより良いよりもやる気| やる気の代わりにΦ + ⟩。| Ψ − ⟩状態はユニークな反対称状態です。ユニークな状態は− $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ SWAP操作の固有ベクトル。したがって、とりわけ量子ビット状態の識別可能性の制御SWAPテストに関係しています。

• 説明できますなどのグローバルフェーズまで（| α ⟩ | α ⊥は ⟩ - | α ⊥は ⟩ | α ⟩ ）/$\lvert \Psi^- \rangle$文字通りすべての単一キュービット状態に対して 2 | α⟩と直交状態| α⊥は⟩、それが面白くする性質が根拠の選択とは無関係であることを意味しています。$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• 状態を記述するために使用するグローバルフェーズでもの定義には影響を与えません| Ψ - ⟩アップグローバル相以上に。同じことは当てはまりません| Φ + ⟩：読者の練習として、もし| 1 ′ ⟩ = i | 1 ⟩、そして何がある（| 00 ⟩ + | 1 " 1 " ⟩ ）/$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$？$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

一方、は、2つのキュービットの3次元対称部分空間（SWAP操作の+ 1固有ベクトルの部分空間）で最大に絡み合った状態の1つであり、したがって、たとえば | Φ - ⟩ α | 00 ⟩ - | 11 ⟩。$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

ベルの状態について1つまたは2つのことを学んだ後、特にΦ + ⟩は表記法の表面的な対称性によってのみ動機付けられ、真に意味のある数学的特性ではありません。それは確かに|よりもarbitrary意的な選択です。Ψ − ⟩。好む唯一の明白な動機| Φ + ⟩は、マイナス記号と虚数単位の回避に関係する社会学的理由です。そして、私が考えることができる唯一の正当な理由は文化的です。具体的には、学生やコンピューター科学者をよりよく収容するためです。$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

誰がCNOTを注文しましたか？

（X + Y ）/ √についてもっと話さない理由を尋ねる。あなたにとっても興味深い質問です。H=（X+Z） /$(X + Y)\big/\sqrt 2$、 √の場合$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$は同じことをたくさんしますか？私も行って説明し、学生への実験的な光学物理学者によって与えられた講演を見てきました$\sqrt Y$アダマールゲートを実行する標準的な状態：ただし、$\sqrt Y$ゲートは実際には彼にとってより自然でした。オペレーター$\sqrt Y$は、明らかにパウリの演算子に直接関係しています。真面目な物理学者は、私たちが代わりにアダマールにこだわることに興味があると考えるかもしれません。$\sqrt Y$

我々はCNOTについて話すとき、 -しかし、部屋に大きな象があり、なぜ私たちはCNOTについて話しているではなく、他の交絡ゲートで、でありますそのテンソルの要因に対称な、またはより良いまだU = EXP （- I π （Z ⊗ Z ）/ 2 $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$多くの物理システムの自然なダイナミクスとより密接に関連していますか？以下のような単一のは言うまでもありませんまたは他のこのような変異体を。$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

もちろん、その理由は、物理学自体よりも計算に明示的に興味があるためです。CNOTが気にするのは、CNOTが標準基底（数学的または物理的な理由ではなく、人間中心の理由で好まれる基底）をどのように変換するかです。ゲート上記のコンピュータ科学者の視点からやや神秘的である：それが何であるか、それの表面に明白ではないために、そしてより悪い、それが不快複素係数がいっぱいです。そして、ゲートU 'はさらに悪化します。対照的に、CNOTは1と0で満たされた置換演算子であり、コンピューター科学者に明らかに関連する方法で標準基底を置換します。$U$$U'$

私はここで少し面白がっていますが、最終的にこれはのために量子計算を研究しているものです。物理学者は、基本操作の生態学についてより深い洞察を得ることができますが、コンピューター科学者が一日の終わりに気にするのは、原始的なものを古典的なデータを含む包括的な手順にどのように構成できるかです。そして、それは、下位の論理レベルで対称性をあまり気にしないことを意味します。ただし、下位レベルから必要なものを得ることができる限りです。

$U$$U'$

深く、それほど深くない、アダマールゲートを好む理由

コンピューター科学者の優先事項が、について話す理由など、多くの慣習を動機付けていると期待しています$(X + Z)\big/\sqrt 2$$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

$H$

$\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$ and 'the' conjugate basis $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$ (that is to say, the eigenbasis of the $X$ operator, as opposed to the $Y$ operator) — the so-called 'bit' and the 'phase' bases, which are two conjugate bases that you can express using only real coefficients. Of course, $\sqrt Y$ also transforms between these bases, but also introduces a non-trivial transformation if you perform it twice. If you want to think of "toggling between two different bases in which you might store information", the Hadamard gate is better. But — this can only be defensible if you think it is important specifically to have

• a gate $H$ transforming between the standard basis and the very specific basis of $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$;
• if you care specifically about $H$ having order $2$.

You might protest and say that it is very natural to consider toggling between the 'bit' and 'phase' bases. But where did we get this notion of two specific bases for 'bit' and 'phase', anyway? The only reason why we single out $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$ as 'the' phase basis, as opposed for instance to $\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$, is because it can be expressed with only real coefficients in the standard basis. As for preferring an operator with order $2$, to mesh with the notion of toggling, this seems to indicate a particular preference for considering things by 'flips' rather than reversible changes of basis. These priorities smack of the interests of computer science.

Unlike the case between $\lvert \Phi^+ \rangle$ versus $\lvert \Psi^- \rangle$, the computer scientist does have one really good high-level argument for preferring $H$ over $\sqrt Y$: the Hadamard gate is the unitary representation of the boolean Fourier transform (that is, it is the quantum Fourier transform on qubits). This is not very important from a physical perspective, but it is very helpful from a computational perspective, and a very large fraction of theoretical results in quantum computation and communication ultimately rest on this observation. But the boolean Fourier transform already bakes in the asymmetries of computer science, in pre-supposing the importance of the standard basis and in using only real coefficients: an operator such as $(X + Y)\big/\sqrt 2$ would never be considered on these grounds.

Diagonal argument

If you're a computer scientist, once you have Hadamard and CNOT, all that's left is to get those pesky complex phases sorted as an afterthought. These phases are extremely important, of course. But just the way we talk about relative phases reveals a discomfort with the idea. Even describing the standard basis as the 'bit' basis, for storing information, puts a strong emphasis that whatever 'phase' is, it's not the usual way that you would consider storing information. Phases of all sorts are something to be dealt with after the 'real' business of dealing with magnitudes of amplitudes; after confronting the fact that one can store information in more than one basis. We barely talk at all about even purely imaginary relative phases if we can help it.

One can cope with relative phases pretty easily using diagonal operators. These have the advantage of being sparse (with respect to the standard basis...) and of only affecting the relative phase, which is after all the detail which we're trying to address at this stage. Hence $T \propto \sqrt[4]Z$. And once you've done that, why do more? Sure, we could as easily consider arbitrary $X$ rotations (and because of Euler decomposition, we do play some lip-service to these operations) and arbitrary $Y$ rotations, which would motivate $\sqrt[4]X$ and $\sqrt[4]Y$. But these don't actually add anything of interest for the computer scientist, who considers the job done already.

And not a moment too soon — because computer scientists don't really care about precisely what the primitive operations being used are as soon as they can justify move on to something higher-level.

Summary

I don't think there is likely to be any very interesting physically-motivated reason why we use a particular gate-set. But it is certainly possible to explore the psychologically-motivated reasons why we do. The above is a speculation in this direction, informed by long experience.