量子制御では、任意のゲートを実装できますか？

量子制御技術を使用すると、さまざまな異なるシナリオ（0910.2350や1406.5260など）で量子システムを制御できます。

特に、これらの手法を使用すると、（量子）Toffoliゲート（1501.04676）のようなゲートを忠実に実装できることが示されました。より正確には、C-CNOTゲートとして定義された Toffoliゲートが与えられたことを示し および時間依存ハミルトニアン相互作用の特定のセットを含有する、一つの（時間依存性）パラメータのセットを見つけることができ、その結果を U Toffの ≡| 0 ⟩ $\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}\mathcal{U}_{\on{Toff}}$H （T ）H （T ）T EXP （ - I ∫ Θ 0 H （τ ）D τ ） ≃ U Toffと

$$\newcommand{\ketbra}[2]{\lvert#1\rangle\langle#2\rvert} \newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle#1\rvert} \mathcal{U}_{\on{Toff}}\equiv \ket{0}_1\!\bra{0}\otimes \on{CNOT} + \ket{1}_1\!\bra{1}\otimes I,$$ $H(t)$$H(t)$ $$\mathcal T \exp\left(-i \int_0^\Theta H(\tau)d\tau\right) \simeq \mathcal U_{\on{Toff}}.$$

そのようなアプローチの普遍性に関する既知の結果はありますか？言い換えれば、量子制御理論によって提供されるツールは、許可されたハミルトニアンパラメーターに対する一連の制約が与えられたときに、与えられたターゲットゲートをいつ実現できるかを言うことを可能にしますか？（1）

より正確には、問題は次のとおりです。1組のキュビット（またはより一般的にはキュディット）に対して作用するターゲットゲート、およびの形式のパラメータ化されたハミルトニアンを。ここで、は（エルミート）演算子の固定セットであり、は決定される時間依存のパラメーターです。ような係数がある かどうかを確認する方法はありますか H （T ）= Σ k個のC K（T ）σ K { σ K } k個のC K（T ）{ CのK（T ）} kはT EXP （ - I ∫ Θ 0 H （τ ）D τ ）？= U$\mathcal U$$H(t)=\sum_k c_k(t) \sigma_k$$\{\sigma_k\}_k$$c_k(t)$$\{c_k(t)\}_k$

$$\mathcal T\exp\left(-i\int_0^{\Theta} H(\tau)d\tau\right) \stackrel{?}{=} \mathcal U.$$

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（1）ここで私が量子制御について言及しているのは、それが論文で使用されている用語だからです。これがこの種の問題を指すのに使用するのに最も適した用語ではない場合は、私に知らせてください。

さらに、この論文で解決した問題は、ここで述べた問題とは少し異なります。特に、彼らが検討しているハミルトニアンは、実際には3 つの4次元クディットの空間で作用し、Toffoliは各クォートの下位レベルでの効果的なダイナミクスとしてのみ実装されます。この種の結果も大丈夫です。

量子システムの可制御性の概念があります。つまり、与えられた一連の制御により、任意の状態またはユニタリを作成できますか？通常、これはシステムのリー代数を見ることによって計算され、かなり面倒になる可能性があります。制御できる個々のハミルトニアン項を取り、それらのすべての交換子を任意の次数に計算する必要があります。それらの線形結合を取り、任意のハミルトニアンを作成できる場合、完全なヒルベルト空間を制御できます。あなたはあなたが望むどんなユニタリーを作ることができ、どんな量子状態も他から到達可能であると言われています。例については、量子システムの完全な制御性（PRA 2001）を参照してください。

ただし、強調すべき重要な点の1つは、効率については何も伝えないことです。つまり、特定の状態に到達するまでにかかる時間（システムサイズの関数として）です。整流子に関して上記の分解に基づいて作成できる明示的な構成がありますが、必要な時間は、必要な整流子の順序で指数関数的に増加します。制御理論の数値技術は、必要な制御フィールドを（時間の関数として）より効率的な方法で見つけようとする方法ですが、（私の知る限り）保証を与えることはほとんどありません。したがって、を修正して境界を場合、制御性の概念では不十分な場合があります。$\Theta$$c_k(t)$

量子制御では、必ずしも任意のゲートを実装することはできません。システムの制御が時間依存のエネルギーであると想像してください。これはハミルトニアンます。次に、ブロッホ球の1つの軸を中心に回転することができます。選択できるのは、回転の速度です。これは、任意の（任意の）軸を中心に回転させる必要があるため、任意の単一キュービットゲートを生成するのにも不十分です。$\hat{H}(t) = c(t) \hat{Z}$

普遍性の既知の結果についての質問の2番目の部分には答えられません。ただし、単純な量子制御では不十分であることを示すために、非常に特殊なケースを選択したことに注意してください。ハミルトニアン。これは、1つの軸を中心とした一定の回転（関与する単一キュービットの2つの状態間のエネルギー差）と、直交軸を中心に完全に制御する回転です。このような回転の適切な組み合わせで任意の回転を生成できるため、これは（単一キュービットシステムの場合）ユニバーサルです。これは、もしあなたが何らかのコントロールを持っているならば、普遍的なコントロールを持たないことは、ルールというよりも特別なケースとして見なされる可能性があることを説明する私の試みです。 E$\hat{H}(t) = c(t) \hat{X} + \frac{E_0}{2} \hat{Z}$$E_0$