スウィフト3
let storyboard = UIStoryboard(name: "Main", bundle: nil)
let vc = storyboard.instantiateViewController(withIdentifier: "viewController")
self.navigationController!.pushViewController(vc, animated: true)
スウィフト2
let storyboard = UIStoryboard(name: "Main", bundle: nil)
let vc = storyboard.instantiateViewControllerWithIdentifier("viewController")
self.navigationController!.pushViewController(vc, animated: true)
前提条件
ストーリーボードIDをビューコントローラーに割り当てます。

IB> IDインスペクターの表示> ID>ストーリーボードID
Swift(レガシー)
let storyboard = UIStoryboard(name: "Main", bundle: nil)
let vc = storyboard.instantiateViewControllerWithIdentifier("viewController") as? UIViewController
self.navigationController!.pushViewController(vc!, animated: true)
編集:フレッドAのコメントで提案されたSwift 2
navigationControllerなしで使用したい場合は、次のように使用する必要があります。
let Storyboard = UIStoryboard(name: "Main", bundle: nil)
let vc = Storyboard.instantiateViewController(withIdentifier: "viewController")
present(vc , animated: true , completion: nil)
[sb instantiateInitialViewController]
シーンのデフォルトのビューコントローラから開始する場合に便利です。