Numpyを使用して導関数を計算するにはどうすればよいですか？

関数の導関数を計算するにはどうすればよいですか。

y = x ² +1

使用してnumpy？

たとえば、x = 5での導関数の値が欲しいとしましょう...

4つのオプションがあります

1. 有限差分
2. 自動デリバティブ
3. 記号による区別
4. 導関数を手動で計算します。

有限差分には外部ツールは必要ありませんが、数値エラーが発生しやすく、多変量の状況の場合は時間がかかる場合があります。

問題が十分に単純な場合は、記号による微分が理想的です。シンボリックメソッドは最近非常に堅牢になっています。SymPyは、NumPyとうまく統合できる優れたプロジェクトです。autowrap関数またはlambdify関数を確認するか、同様の質問についてJensenのブログ投稿を確認してください。

自動微分は非常に優れており、数値エラーが発生しませんが、追加のライブラリが必要です（これにはGoogleが行います。いくつかの優れたオプションがあります）。これは最も堅牢ですが、選択をセットアップするのに最も洗練された/困難です。numpy構文に限定する場合は、Theanoを選択するのがよいでしょう。

これはSymPyを使用した例です

In [1]: from sympy import *
In [2]: import numpy as np
In [3]: x = Symbol('x')
In [4]: y = x**2 + 1
In [5]: yprime = y.diff(x)
In [6]: yprime
Out[6]: 2⋅x

In [7]: f = lambdify(x, yprime, 'numpy')
In [8]: f(np.ones(5))
Out[8]: [ 2.  2.  2.  2.  2.]

私が考えることができる最も簡単な方法は、numpyの勾配関数を使用することです：

x = numpy.linspace(0,10,1000)
dx = x[1]-x[0]
y = x**2 + 1
dydx = numpy.gradient(y, dx)

この方法では、前方差分を使用して（n-1）サイズのベクトルを返すnumpy.diffとは異なり、dydxは中央差分を使用して計算され、yと同じ長さになります。

NumPyは、導関数を計算する一般的な機能を提供しません。ただし、多項式の単純な特殊ケースを処理できます。

>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1])
>>> print p
   2
1 x + 1
>>> q = p.deriv()
>>> print q
2 x
>>> q(5)
10

導関数を数値で計算する場合は、ほとんどのアプリケーションで中心差分商を使用することで問題を回避できます。単一点の導関数の場合、式は次のようになります

x = 5.0
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x)
print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)

あなたは、配列があればx対応する配列と横軸のをy関数値の、あなたがデリバティブの近似値をcomputすることができます

numpy.diff(y) / numpy.diff(x)

を使用したい場合numpy、厳密な定義を使用して、任意の時点で関数の導関数を数値計算でき ます。

def d_fun(x):
    h = 1e-5 #in theory h is an infinitesimal
    return (fun(x+h)-fun(x))/h

より良い結果を得るために対称導関数を使用することもできます。

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

例を使用すると、完全なコードは次のようになります。

def fun(x):
    return x**2 + 1

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

これで、次の場所で微分を数値で見つけることができますx=5。

In [1]: d_fun(5)
Out[1]: 9.999999999621423

山に別の方法を投げます...

scipy.interpolateの多くの補間スプラインは、導関数を提供できます。したがって、線形スプライン（k=1）を使用すると、（derivative()メソッドを使用した）スプラインの導関数は、前方差分と同等になります。完全にはわかりませんが、キュービックスプラインを作成する前と後の値を使用するため、キュービックスプラインの導関数を使用すると、中央差分微分と同様になると思います。

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline

# Get a function that evaluates the linear spline at any x
f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1)

# Get a function that evaluates the derivative of the linear spline at any x
dfdx = f.derivative()

# Evaluate the derivative dydx at each x location...
dydx = dfdx(x)

勾配を計算するために、機械学習コミュニティはAutogradを使用します。

「numpyコードの導関数を効率的に計算します。」

インストールするには：

pip install autograd

次に例を示します。

import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def fct(x):
    y = x**2+1
    return y

grad_fct = grad(fct)
print(grad_fct(1.0))

また、多変量関数などの複雑な関数の勾配を計算することもできます。

必要な精度のレベルに応じて、微分の簡単な証明を使用して、自分で解決できます。

>>> (((5 + 0.1) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.1
10.09999999999998
>>> (((5 + 0.01) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.01
10.009999999999764
>>> (((5 + 0.0000000001) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.0000000001
10.00000082740371

グラデーションの限界を実際にとることはできませんが、ちょっと楽しいです。でも気をつけないと

>>> (((5+0.0000000000000001)**2+1)-((5)**2+1))/0.0000000000000001
0.0

を使用できますscipy。これはかなり単純です。

scipy.misc.derivative(func, x0, dx=1.0, n=1, args=(), order=3)

ある点で関数のn次導関数を求めます。

あなたの場合：

from scipy.misc import derivative

def f(x):
    return x**2 + 1

derivative(f, 5, dx=1e-6)
# 10.00000000139778