バランスの取れたツリーの定義

誰かが私のためにバランスの取れた木の定義を明確にできるのではないかと思っています。私は、「各サブツリーのバランスが取れていて、2つのサブツリーの高さが最大で1だけ異なる場合、ツリーのバランスが取れていることを知っています。

これがばかげた質問である場合は申し訳ありませんが、この定義は、ツリーのリーフまでのすべてのノードに適用されますか、またはルートのすぐ外の左右のサブツリーにのみ適用されますか？これをフレーム化する別の方法は、ツリーの内部ノードが不均衡になり、ツリー全体が均衡を保つことができるのでしょうか？

制約は通常、すべてのサブツリーに再帰的に適用されます。つまり、ツリーは次の場合にのみバランス調整されます。

1. 左側と右側のサブツリーの高さが最大で1つ異なる、かつ
2. 左側のサブツリーのバランスが取れている、かつ
3. 正しいサブツリーはバランスが取れています

これによると、次の木はバランスが取れています：

     A
   /   \
  B     C  
 /     / \  
D     E   F  
     /  
    G  

Cのサブツリーは高さが2異なるため、次のものはバランスが取れていません。

     A
   /   \
  B     C   <-- difference = 2
 /     /
D     E  
     /  
    G  

とはいえ、最初のポイントの特定の制約は、ツリーのタイプによって異なります。上記のものは、AVLツリーの一般的なものです。

たとえば、赤黒木は、よりソフトな制約を課します。

「バランス」を定義するにはいくつかの方法があります。主な目標は、すべてのノードの深度をに保つことO(log(n))です。

あなたが話していたバランス状態はAVLツリーのためのものであるように私には思えます。AVLツリーのバランス条件の
正式な定義は次のとおりです。

AVLのノードの場合、左のサブツリーの高さは、右のサブツリーの高さと最大で 1だけ異なります。

次の質問、「身長」とは何ですか？

二分木のノードの「高さ」は、そのノードから葉までの最長経路の長さです。

奇妙で一般的なケースが1つあります。

人は空の木の高さをと定義します(-1)。

たとえば、ルートの左の子はnull次のとおりです。

              A  (Height = 2)
           /     \
(height =-1)       B (Height = 1) <-- Unbalanced because 1-(-1)=2 >1
                    \
                     C (Height = 0)

決定するもう2つの例：

はい、バランスの取れたツリーの例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=1)     C (h=2)        
/          /   \
D (h=0)  E(h=0)  F (h=1)
               /
              G (h=0)

いいえ、バランスの取れたツリーの例ではありません：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=0)     C (h=2)        <-- Unbalanced: 2-0 =2 > 1
           /   \
        E(h=1)  F (h=0)
        /     \
      H (h=0)   G (h=0)      

これら2つの点に違いはありません。それについて考えてください。

より単純な定義を考えてみましょう。「正の数はゼロであっても、その数から2を引いた数も偶数です。」これは、6が偶数であっても8が偶数であると言いますか？それとも、6、4、2、および0が偶数であっても、8は偶数であると言えますか？

違いはありません。6が偶数であっても8が偶数である場合、4が偶数であっても6が偶数であることも示します。したがって、2が偶数であっても4が偶数であることも示します。したがって、0が偶数であっても、2は偶数であると表示されます。つまり、6が偶数であっても8が偶数であると言うと、6、4、2、0が偶数であっても8は（間接的に）偶数であると言えます。

ここでも同じです。間接サブツリーは、直接サブツリーのチェーンによって見つけることができます。したがって、直接サブツリーに直接適用されるだけでも、すべてのサブツリー（したがってすべてのノード）に間接的に適用されます。

バランスの取れたツリーは、高さがログ（ツリー内の要素の数）のオーダーであるツリーです。

height = O(log(n))
O, as in asymptotic notation i.e. height should have same or lower asymptotic
growth rate than log(n)
n: number of elements in the tree

「ツリーは各サブツリーのバランスが取れており、2つのサブツリーの高さが最大で1つだけ異なる」という定義の後には、AVLツリーが続きます。

AVLツリーは平衡型ですが、すべての平衡型ツリーがAVLツリーであるとは限らないため、平衡型ツリーはこの定義を保持せず、内部ノードが不平衡になる可能性があります。ただし、AVLツリーでは、すべての内部ノードのバランスをとる必要があります。

バランスの取れたツリーの目的は、最小限の横断（最小の高さ）で葉に到達することです。ツリーの次数は、ブランチの数から1を引いた数です。バランスの取れたツリーは、バイナリではない場合があります。

1. ツリー内のノードの高さは、そのノードから葉までの最長パスの長さであり、パスの開始頂点と終了頂点の両方をカウントします。
2. ツリー内のノードは、そのサブツリーの高さの差が1以下の場合、高さのバランスが取れています。
3. すべてのノードが高さのバランスが取れている場合、ツリーは高さのバランスが取れています。