(正直さと数学的整合性-この「回答」への投票数を考慮して-この回答を編集するように私を導いた。私は、それが「深い」ものではなく、短い皮肉として意図されたので、できるだけ長く延期した。どんな説明も目的に反するように見えたが、コメントは誤解を避けるために私が明確でなければならないことを明らかにしている。)
私の元の答え:
仕様のこの部分の表現:
0の場合は1に設定し、それ以外の場合は0に設定します。
最も正確なソリューションは次のとおりです。
v = dirac_delta(0,v)
まず、告白:私はなかった私のデルタ関数が混乱してしまいます。クロネッカーデルタの方が少し適切でしたが、ドメインに依存しないものを望んでいたほどではありません(クロネッカーデルタは主に整数にのみ使用されます)。しかし、私は本当にデルタ関数を使用すべきではなかった、と私は言ったはずです:
v = characteristic_function({0},v)
明確にさせてください。関数はトリプル(X、Y、f)であり、XとYはセット(それぞれドメインとコドメインと呼ばれます)であり、fはYの要素をXの各要素に割り当てる規則であることを思い出してください。トリプル(X、Y、f)をf:X→Yと書くことがよくあります。Xのサブセット、たとえばAが与えられると、関数 isである特徴的な関数があります(χ Aは X→{0,1}またはℕなどのより大きなコドメインへの関数と考えることもできます)。この関数は、次のルールで定義されています。
χ A(X)= 1の場合のx∈A及びχ A(X)= 0であれば、X∉A 。
真理値表が好きなら、それは「Xの要素xはサブセットAの要素ですか?」という質問の真理値表です。
したがって、この定義から、ここで必要なのは特性関数であり、Xに 0とA = {0}を含む大きなセットがあることが明らかです。それは私が書いておくべきだったものです。
デルタ関数についても同様です。そのためには、統合について知る必要があります。あなたはすでにそれを知っているか、または知りません。そうでなければ、ここで私が理論の複雑さについてあなたに言うことはできませんが、私は一文の要約を与えることができます。対策集合上のXは、「平均値を機能させるために必要とされていること」の本質です。それは我々が設定されている場合ということであるXおよび測定μをそのセットに続い関数のクラスがあるX→ℝと呼ばれる、測定可能な機能表現がいる∫ X FDμ、いくつかのあいまいな意味で理にかなっているとあるが、 「平均」FオーバーX。
セットのメジャーを指定すると、そのセットのサブセットの「メジャー」を定義できます。これは、サブセットにその特性関数の積分を割り当てることによって行われます(これは測定可能な関数であると想定しています)。これは、無限または未定義にすることができます(2つは微妙に異なります)。
周りには多くの対策がありますが、ここで重要な2つがあります。1つは、実際のラインの標準メジャー ℝです。この対策のために、そして∫ ℝ Dμfはあなたが学校で教えられて得るものはかなりある(まだ学校で教え微積分ある?):合計小さな長方形アップし、より小さく、より小さな幅を取ります。このメジャーでは、間隔のメジャーはその幅です。ポイントのメジャーは0です。
任意のセットで機能する別の重要な測定は、ポイント測定と呼ばれます。関数の積分がその値の合計になるように定義されています。
∫ X FDμ=Σ X∈Xの F(X)
このメジャーは、各シングルトンセットにメジャー1を割り当てます。これは、サブセット自体が有限である場合に限り、サブセットに有限メジャーがあることを意味します。また、有限積分を行う関数はほとんどありません。関数は、有限積分を持っている場合は、それだけに非ゼロでなければならない可算ポイントの数。したがって、おそらくあなたが知っている関数の大部分は、この測定では有限積分を持ちません。
そして今、デルタ関数に。非常に広い定義を取ってみましょう。測定可能な空間(X、μ)(メジャーが設定されたセットです)と要素a∈Xがあります。我々は、 "定義" デルタ関数(に応じて"機能"である)δ A X→ℝ:プロパティとそのδ (x)= 0の場合、X≠と∫ X δ A Dμ= 1。
これについて把握するための最も重要な事実は次のとおりです。デルタ関数は関数である必要はありません。それはされません適切に定義された:私は何を言っていないδ ()です。
この時点で何をするかは、あなたが誰であるかに依存します。ここの世界は2つのカテゴリーに分かれます。あなたが数学者なら、あなたは次のように言います:
さて、デルタ関数が定義されていない可能性があります。その仮想的な特性を見て、それが定義されている適切な家を見つけることができるかどうかを確認してみましょう。私たちはそれを行うことができ、最終的にはディストリビューションになります。これらは(必ずしも)関数ではありませんが、関数のように動作するものであり、多くの場合、関数であるかのように操作できます。しかし、それらにはないもの( "値"など)があるため、注意する必要があります。
数学者でない場合は、次のように言います。
では、デルタ関数が正しく定義されていない可能性があります。誰がそう言う?数学者の束?それらを無視してください!彼らは何を知っていますか?
聴衆の気分を害したので、続けます。
ディラックのデルタは通常、その標準的な指標と実際のラインのポイント(多くの場合、0)のデルタ関数であると解釈されます。したがって、自分のデルタを知らないというコメントについて不満を言う人は、この定義を使用しているためそうしています。それらに対して、私は謝罪します:(ハンプティ・ダンプティによって普及したように)数学者の防御を使用することでそれからくるくる回ることができますが、それが正しいように単純にすべてを再定義します)標準的な用語を使用して別のものを意味することは悪い形です。
しかし、そこに ある、私はそれをやりたいと、それは私がここに必要があることですし、デルタ関数が。私が取る場合はポイントの測定をセットにXそこで本物の機能δ X→ℝ:デルタ関数の満たす基準は。これは、我々が機能を探しているためであるX→ℝ以外ではゼロである情報の唯一欠けている部分ではその値です。その値の全ての合計は1そのような機能はシンプルでされていること、および、そのようなことは、と合計を1にするには、値に1を割り当てるだけです。これは、{a}の特性関数に他なりません。次に:
∫ X δ A Dμ=Σ のx∈X δ A(X)=δ A()= 1。
したがって、この場合、シングルトンセットの場合、特性関数とデルタ関数は一致します。
結論として、ここには「関数」の3つのファミリーがあります。
- シングルトンセットの特徴的な機能、
- デルタ関数、
- クロネッカーデルタ関数。
これらの2番目は、他のいずれかがポイントメジャーを使用する場合の例であるため、最も一般的です。しかし、1番目と3番目には、常に真の機能であるという利点があります。3番目は、実際には、ドメインの特定のファミリー(整数またはそのサブセット)の最初の特別なケースです。
それで、最後に、私が最初に答えを書いたとき、私はそうではありませんでした正しく思考を(私はこれまでのところ、私がされたと言っているよう行かないだろう混乱し、私はちょうど私が実証されてきた期待してください、私は時に話しているか知っています私は実際に最初に考えました、私はあまり考えませんでした)。ディラックデルタの通常の意味はここで必要なものではありませんが、私の答えのポイントの1つは、入力ドメインが定義されていないため、クロネッカーデルタも正しくなかったことです。したがって、(私が目指していた)最良の数学的な答えは、特徴的な関数だったでしょう。
それがすべて明確であることを願っています。また、TeXマクロの代わりにHTMLエンティティを使用して、数学の部分を再度記述する必要がないことも願っています。