クラスなしで帰納的に型の等価性を証明する方法は？

型レベルリストの結合性を証明するために、制約を実行せずに同等の型間で変換できるようにしています。

連結の標準的な定義を仮定すると、

type family (++) (xs :: [k]) (ys :: [k]) :: [k] where
  '[] ++ ys = ys
  (x ': xs) ++ ys = x ': (xs ++ ys)

機能が与えられたとしましょう：

given :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy ((a ++ b) ++ c)
given = Proxy  -- Proxy is just an example

そして、私はこの関数を呼び出して、次に関連性を使用したいと思います：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = given @k @a @b @c  -- Couldn't match type ‘(a ++ b) ++ c’ with ‘a ++ (b ++ c)’

この型の等価性はささいなことではないので、コンパイラーがそれを理解しなくても驚くことではありませんが、証明することはできます！残念ながら、コンパイラをどのように説得できるかわかりません。

私の自然な最初の考えは次のようなことをすることです：

proof :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). (a ++ (b ++ c)) :~: ((a ++ b) ++ c)
proof = _

次に、関数を次のように変更します。

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = case proof @k @a @b @c of Refl -> given @k @a @b @c

しかし、私はまだ定義するproof必要があり、そのために型引数の帰納を実行する必要があります。私が知っているHaskellで型の帰納を行う唯一の方法は、型クラスを定義することですが、次に、対応しない制約をの型に追加するmy必要があります。given結果は「実装の詳細」になります。

安全でない仮説に頼ることなく、Haskellでこの種の型の等価性を証明する方法はありますか？

いいえ、これは真実ではないため、型クラス制約なしではこれを証明できません。特に、これは反例です：

Any ++ ([] ++ []) -- reduces to Any ++ []
(Any ++ []) ++ [] -- does not reduce

の（愚かな）存在をAny除外するには、Anyインスタンスを持たない型クラスを使用する必要があります。他に選択肢はありません。