A xor X = B + Xの解を見つけるアルゴリズム

整数AおよびBが与えられた場合、整数Xを見つけて次のようにします。

• A、B <2 * 1e18
• A xor X = B + X

数学を使ってこの方程式を解くことができるかどうか、私は強く疑います。これは私が3年前に遭遇したコーディングの問題であり、今でもこれを自分で解決することはできません。

これまでの私のコード：（これはブルートフォースソリューションです）

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{

    unsigned long long a, b;
    cin >> a >> b;
    for (unsigned long long x = 1; x < max(a, b); x++) {
        unsigned long long c = a ^ x;
        unsigned long long d = b + x;
        if (c == d) {
            cout << x << endl;
            break;
            return 0;
        }
    }

    cout << -1; //if no such integer exists

    return 0;
}

注意してくださいA + X == (A xor X) + ((A and X)<<1)。そう：

A xor X = A + X - ((A and X)<<1) = B + X
A - B = (A and X)<<1

そして私たちは持っています：

(A - B) and not (A<<1) = 0    (All bits in (A - B) are also set in (A<<1))
(A - B)>>1 = A and X

条件が満たされた場合、Aに設定されているビットを持たない整数Yについては、（（（A-B）>> 1）またはY）が解決策です。解が1つだけ必要な場合は、（（A-B）>> 1）を使用できます。ここで、Y = 0です。それ以外の場合、解はありません。

int solve(int a, int b){
    int x = (a - b) >> 1;
    if ((a ^ x) == b + x)
        return x;
    else
        return ERROR;
}

それほど難しくはありません。小さく考える必要があるだけです。私たちはを書いていてA、バイナリで、一番右の2ⁱビットに対応する値であるBとXします。Aᵢ

私たちはそれを知っています：Aₒ ⊕ Xₒ = Bₒ + Xₒ。

例を使用して、それを評価する方法を見つけましょう：A = 15およびB =6。バイナリに変換します。

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 0
X = a b c d           X = a b c d

今、いくつかの可能性があります。AとBの右端のビットを分析してみましょう。

1 ⊕ d = 0 + d

dこれは0または1のいずれかであることがわかっているので、

for d = 0
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 0 = 0 + 0    =>    1 = 0 (not possible)

for d = 1
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 1 = 0 + 1    =>    0 = 1 (not possible)

XORは2進和と同じように動作することがわかります（ただし、XORは次のビット和のキャリーオーバーを作成しない点が異なります）。

    XOR           SUM
0 ⊕ 0 = 0  |   0 + 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1  |   0 + 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1  |   1 + 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0  |   1 + 1 = 0

満たすXを見つけることが常に可能ではありませんのでA ⊕ X = B + X、そこではないため、値dを満たすこと1 + d = 0 + d。

とにかく、Xが存在する場合は、この方法で右から左に少しずつ見つけることができます。

完全な動作例

A = 15、B = 7：

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d 

ここでは、d = 0とd = 1の両方が適用されます。次のビットをチェックする必要があります。d = 1と仮定します。

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (possible)

BUT 1 + 1 = 0 generates a carryover for the next bit sum:

Instead of 1 ⊕ c = 1 + c, we have 1 ⊕ c = 1 + c (+1) =
                                   1 ⊕ c = c  (not possible)

したがって、この場合、dは0でなければなりません。

carryover                              0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                   0                     0

we know that c must be 0:

carryover                            0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                 1 1                   1 1

しかし、bはどうですか？いつものように、次のビットをチェックする必要があります。

if b = 0, there won't be a carryover, so we'll have:

1 ⊕ a = 0 + a  (and this is not possible)

so we try b = 1:

1 ⊕ b = 1 + b    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (with carryover)

そして今、のためにa：

carryover                          1 0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a 1 0 0           X = a 1 0 0
        -----------------------------------
               0 0 0                 0 0 0


1 ⊕ a = 0 + a (+1)    =>    1 ⊕ a = 1 + a

ここでaは0と1を指定できますが、合計のキャリーオーバーを避けるために0にする必要がありますB + X。

次に、X = 0 1 0 0したがって、X = 4。

コード

#include <iostream>
using namespace std;

inline int bit(int a, int n) {
    if(n > 31) return 0; 
    return (a & ( 1 << n )) >> n; 
}

int main(){
    int A = 19;
    int B = 7;

    int X = 0;
    int carryover = 0;
    int aCurrent, aNext, bCurrent, bNext;

    for(int i = 0; i < 32; i++){
        aCurrent =  bit(A, i);      bCurrent =  bit(B, i);
        aNext =     bit(A, i + 1);  bNext =     bit(B, i + 1);

        if(aCurrent == 0 && bCurrent == 0){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 0;
        }
        else if(aCurrent == 0 && bCurrent == 1){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext == bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 1;
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 0){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 1){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }

    }

    if(X != -1) cout<<"X = "<<X<<endl;
    else cout<<"X doesnt exist"<<endl;

    return 0;
}

ここでテストできます。