それほど難しくはありません。小さく考える必要があるだけです。私たちはを書いていてA
、バイナリで、一番右の2ⁱビットに対応する値であるB
とX
します。Aᵢ
私たちはそれを知っています:Aₒ ⊕ Xₒ = Bₒ + Xₒ
。
例を使用して、それを評価する方法を見つけましょう:A = 15およびB =6。バイナリに変換します。
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 0
X = a b c d X = a b c d
今、いくつかの可能性があります。AとBの右端のビットを分析してみましょう。
1 ⊕ d = 0 + d
d
これは0または1のいずれかであることがわかっているので、
for d = 0
1 ⊕ d = 0 + d => 1 ⊕ 0 = 0 + 0 => 1 = 0 (not possible)
for d = 1
1 ⊕ d = 0 + d => 1 ⊕ 1 = 0 + 1 => 0 = 1 (not possible)
XORは2進和と同じように動作することがわかります(ただし、XORは次のビット和のキャリーオーバーを作成しない点が異なります)。
XOR SUM
0 ⊕ 0 = 0 | 0 + 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1 | 0 + 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1 | 1 + 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0 | 1 + 1 = 0
満たすXを見つけることが常に可能ではありませんのでA ⊕ X = B + X
、そこではないため、値d
を満たすこと1 + d = 0 + d
。
とにかく、Xが存在する場合は、この方法で右から左に少しずつ見つけることができます。
完全な動作例
A = 15、B = 7:
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b c d X = a b c d
1 ⊕ d = 1 + d
ここでは、d = 0とd = 1の両方が適用されます。次のビットをチェックする必要があります。d = 1と仮定します。
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b c d X = a b c d
1 ⊕ d = 1 + d => 1 ⊕ 1 = 1 + 1 => 0 = 0 (possible)
BUT 1 + 1 = 0 generates a carryover for the next bit sum:
Instead of 1 ⊕ c = 1 + c, we have 1 ⊕ c = 1 + c (+1) =
1 ⊕ c = c (not possible)
したがって、この場合、dは0でなければなりません。
carryover 0
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b 0 0 X = a b 0 0
-----------------------------------
0 0
we know that c must be 0:
carryover 0 0
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b 0 0 X = a b 0 0
-----------------------------------
1 1 1 1
しかし、bはどうですか?いつものように、次のビットをチェックする必要があります。
if b = 0, there won't be a carryover, so we'll have:
1 ⊕ a = 0 + a (and this is not possible)
so we try b = 1:
1 ⊕ b = 1 + b => 1 ⊕ 1 = 1 + 1 => 0 = 0 (with carryover)
そして今、のためにa
:
carryover 1 0 0
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a 1 0 0 X = a 1 0 0
-----------------------------------
0 0 0 0 0 0
1 ⊕ a = 0 + a (+1) => 1 ⊕ a = 1 + a
ここでa
は0と1を指定できますが、合計のキャリーオーバーを避けるために0にする必要がありますB + X
。
次に、X = 0 1 0 0
したがって、X = 4。
コード
#include <iostream>
using namespace std;
inline int bit(int a, int n) {
if(n > 31) return 0;
return (a & ( 1 << n )) >> n;
}
int main(){
int A = 19;
int B = 7;
int X = 0;
int carryover = 0;
int aCurrent, aNext, bCurrent, bNext;
for(int i = 0; i < 32; i++){
aCurrent = bit(A, i); bCurrent = bit(B, i);
aNext = bit(A, i + 1); bNext = bit(B, i + 1);
if(aCurrent == 0 && bCurrent == 0){
if(carryover) {X = -1; break;}
if(aNext != bNext){
X += 1 << i;
}
carryover = 0;
}
else if(aCurrent == 0 && bCurrent == 1){
if(!carryover) {X = -1; break;}
if(aNext == bNext){
X += 1 << i;
}
carryover = 1;
}
else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 0){
if(!carryover) {X = -1; break;}
if(aNext != bNext){
X += 1 << i;
carryover = 1;
}
else {
carryover = 0;
}
}
else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 1){
if(carryover) {X = -1; break;}
if(aNext != bNext){
X += 1 << i;
carryover = 1;
}
else {
carryover = 0;
}
}
}
if(X != -1) cout<<"X = "<<X<<endl;
else cout<<"X doesnt exist"<<endl;
return 0;
}
ここでテストできます。
a xor b = a + b mod 2
。その同等性についてしばらく考えてみてください。