int sum = 0;
for(int i = 1; i < n; i++) {
    for(int j = 1; j < i * i; j++) {
        if(j % i == 0) {
            for(int k = 0; k < j; k++) {
                sum++;
            }
        }
    }
}

j = i、2i、3iの場合、最後のforループがn回実行される方法がわかりません。に基づいてどのようにしてその結論に至ったのか、私には理解できないと思いますif声明にます。

編集：最後のループがmod演算子に基づいてi回実行される理由を除いて、すべてのループの複雑さを計算する方法を知っています... 基本的に、なぜj％がiではなくi * iにできないのですか？

ループA、B、Cにラベルを付けます。

int sum = 0;
// loop A
for(int i = 1; i < n; i++) {
    // loop B
    for(int j = 1; j < i * i; j++) {
        if(j % i == 0) {
            // loop C
            for(int k = 0; k < j; k++) {
                sum++;
            }
        }
    }
}

• ループAはO（n）回繰り返します。
• ループB は、Aの反復ごとに O（i ²）回反復します。これらの各反復について：
  • j % i == 0 が評価され、O（1）時間かかります。
  • これらの反復の1 / iで、ループCはj回反復し、反復ごとにO（1）の作業を行います。以来、jが Oである（I ²平均）、これはわずか1 /に対して行われるIループBの繰り返し、平均コストはO（I ²  /  I）= O（I）。

これをすべて掛け合わせると、O（n  ×  i ²  ×（1 +  i））= O（n  ×  i ³）になります。以来、私は平均O（上でN）、これはOである（N ⁴）。

これのトリッキーな部分は、if条件が時間の真の1 / iだけであると言っています：

基本的に、なぜj％がiではなくi * iにできないのですか？

実際には、jまで行かないj < i * iだけでなく、最大、j < i。しかし、条件j % i == 0が真jであるのは、i。

倍数iの範囲内でありi、2*i、3*i、...、 (i-1) * i。i - 1これらが存在するため、i - 1ループBの反復i * i - 1回数にもかかわらず、ループCに到達します。

• 最初のループは消費します n反復をます。
• 2番目のループはn*n反復を消費します。場合を想像しi=n、その後、j=n*n。
• 第3のループは消費しn、それが唯一の実行ですので、反復をi倍、iに制限されn、最悪の場合には。

したがって、コードの複雑度はO（n×n×n×n）です。

これが理解に役立つことを願っています

他のすべての答えは正しいです、私は以下を修正したいだけです。内側のkループの実行回数を減らすだけで実際の複雑度を下げるのに十分かどうかを確認したかったO(n⁴).ので、次のように記述しました。

for (int n = 1; n < 363; ++n) {
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        for(int j = 1; j < i * i; ++j) {
            if(j % i == 0) {
                for(int k = 0; k < j; ++k) {
                    sum++;
                }
            }
        }
    }

    long cubic = (long) Math.pow(n, 3);
    long hypCubic = (long) Math.pow(n, 4);
    double relative = (double) (sum / (double) hypCubic);
    System.out.println("n = " + n + ": iterations = " + sum +
            ", n³ = " + cubic + ", n⁴ = " + hypCubic + ", rel = " + relative);
}

これを実行すると、複雑さが実際にあることが明らかになりn⁴ます。出力の最後の行は次のようになります。

n = 356: iterations = 1989000035, n³ = 45118016, n⁴ = 16062013696, rel = 0.12383254507467704
n = 357: iterations = 2011495675, n³ = 45499293, n⁴ = 16243247601, rel = 0.12383580700180696
n = 358: iterations = 2034181597, n³ = 45882712, n⁴ = 16426010896, rel = 0.12383905075183874
n = 359: iterations = 2057058871, n³ = 46268279, n⁴ = 16610312161, rel = 0.12384227647628734
n = 360: iterations = 2080128570, n³ = 46656000, n⁴ = 16796160000, rel = 0.12384548432498857
n = 361: iterations = 2103391770, n³ = 47045881, n⁴ = 16983563041, rel = 0.12384867444612208
n = 362: iterations = 2126849550, n³ = 47437928, n⁴ = 17172529936, rel = 0.1238518469862343

これが示すことは、実際の n⁴このコードセグメントのと複雑さのは、周りの値に向かって漸近的な因子であることです。0.124...（実際には0.125）です。正確な値は得られませんが、次のように推測できます。

時間の複雑さがあるn⁴/8 ~ f(n)ところf、あなたの関数/メソッドです。

• Big O表記のWikipediaページでは、「バックマンの家族-ランダウ表記」の表に、 ~に、が2つのオペランド側の制限を定義していると記載されています。または：

  fはgと漸近的に等しい

（除外した上限として363を選択しました。 n = 362ました。これは、が適切な結果を得る最後の値であるためです。その後、ロングスペースを超え、相対値が負になります。）

ユーザーkaya3は次のことを理解しました。

ちなみに、漸近定数は正確に1/8 = 0.125です。これがWolfram Alphaによる正確な公式です。

if複雑さを変えずに削除してモジュロする

これが元のメソッドです。

public static long f(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < i * i; j++) {
            if (j % i == 0) {
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    sum++;
                }
            }
        }
    }
    return sum;
}

ifandモジュロと混同されている場合は、j直接ito 2*iから3*i...にジャンプして、それらをリファクタリングすることができます。

public static long f2(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < i * i; j = j + i) {
            for (int k = 0; k < j; k++) {
                sum++;
            }
        }
    }
    return sum;
}

複雑さの計算をさらに簡単にするj2ために、中間変数を導入して、 各ループ変数が反復ごとに1ずつ増分されるようにすることができます。

public static long f3(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j2 = 1; j2 < i; j2++) {
            int j = j2 * i;
            for (int k = 0; k < j; k++) {
                sum++;
            }
        }
    }
    return sum;
}

各メソッドSystem.out.printlnでi, j, kトリプレットが常に同じであることを確認するために、デバッグまたはオールドスクールを使用できます。

閉じたフォーム式

他の人が述べたように、最初の合計が n 整数のが等しいn * (n+1) / 2（三角の数値を参照）。すべてのループでこの単純化を使用すると、次のようになります。

public static long f4(int n) {
    return (n - 1) * n * (n - 2) * (3 * n - 1) / 24;
}

それは明らかにありませんオリジナルのコードと同じ複雑さが、それは同じ値を返しません。

最初の用語をググると、「第1種のスターリング数：s（n + 2、n）」に0 0 0 2 11 35 85 175 322 546 870 1320 1925 2717 3731表示されることに気付くでしょう。、0最初に2つのが追加されます。それは第一種のスターリング数であることを意味しsumます s(n, n-2)。

最初の2つのループを見てみましょう。

最初のものは単純で、1からnまでループします。2つ目はより興味深いものです。1から2乗します。いくつかの例を見てみましょう：

e.g. n = 4    
i = 1  
j loops from 1 to 1^2  
i = 2  
j loops from 1 to 2^2  
i = 3  
j loops from 1 to 3^2  

合計すると、i and j loops結合されます1^2 + 2^2 + 3^2。
最初のn乗の和、のための式があるn * (n+1) * (2n + 1) / 6おおよそであり、O(n^3)。

最後k loopに1つあり、0からjif までループしますj % i == 0。以来j1からになりi^2、j % i == 0についても同様ですi回。i loop反復するのでn、あなたはもう1つ持っていますO(n)。

だから、持っているO(n^3)からi and j loops、別のO(n)からk loopの総計についてO(n^4)