SATソルバー(Python)を使用して、特定の領域内の自由なポリオミノのすべての組み合わせを見つける


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私はSATソルバーの世界に不慣れで、次の問題についていくつかのガイダンスが必要になります。

それを考慮して:

❶4×4のグリッドに隣接する14個のセルを選択している

❷ サイズが4、2、5、2、1の5つのポリオミノ(A、B、C、D、E)があります

❸これらのポリオミノは無料です。つまり、その形状は固定されておらず、さまざまなパターンを形成できます。

ここに画像の説明を入力してください

SATソルバーを使用して、選択した領域(灰色のセル)内のこれら5つの遊離ポリオミノの可能なすべての組み合わせをどのように計算できますか?

@spinkusの洞察に満ちた答えとORツールのドキュメントの両方を借りて、次のサンプルコードを作成できます(Jupyter Notebookで実行)。

from ortools.sat.python import cp_model

import numpy as np
import more_itertools as mit
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline


W, H = 4, 4 #Dimensions of grid
sizes = (4, 2, 5, 2, 1) #Size of each polyomino
labels = np.arange(len(sizes))  #Label of each polyomino

colors = ('#FA5454', '#21D3B6', '#3384FA', '#FFD256', '#62ECFA')
cdict = dict(zip(labels, colors)) #Color dictionary for plotting

inactiveCells = (0, 1) #Indices of disabled cells (in 1D)
activeCells = set(np.arange(W*H)).difference(inactiveCells) #Cells where polyominoes can be fitted
ranges = [(next(g), list(g)[-1]) for g in mit.consecutive_groups(activeCells)] #All intervals in the stack of active cells



def main():
    model = cp_model.CpModel()


    #Create an Int var for each cell of each polyomino constrained to be within Width and Height of grid.
    pminos = [[] for s in sizes]
    for idx, s in enumerate(sizes):
        for i in range(s):
            pminos[idx].append([model.NewIntVar(0, W-1, 'p%i'%idx + 'c%i'%i + 'x'), model.NewIntVar(0, H-1, 'p%i'%idx + 'c%i'%i + 'y')])



    #Define the shapes by constraining the cells relative to each other

    ## 1st polyomino -> tetromino ##
    #                              #      
    #                              # 
    #            #                 # 
    #           ###                # 
    #                              # 
    ################################

    p0 = pminos[0]
    model.Add(p0[1][0] == p0[0][0] + 1) #'x' of 2nd cell == 'x' of 1st cell + 1
    model.Add(p0[2][0] == p0[1][0] + 1) #'x' of 3rd cell == 'x' of 2nd cell + 1
    model.Add(p0[3][0] == p0[0][0] + 1) #'x' of 4th cell == 'x' of 1st cell + 1

    model.Add(p0[1][1] == p0[0][1]) #'y' of 2nd cell = 'y' of 1st cell
    model.Add(p0[2][1] == p0[1][1]) #'y' of 3rd cell = 'y' of 2nd cell
    model.Add(p0[3][1] == p0[1][1] - 1) #'y' of 3rd cell = 'y' of 2nd cell - 1



    ## 2nd polyomino -> domino ##
    #                           #      
    #                           # 
    #           #               # 
    #           #               # 
    #                           # 
    #############################

    p1 = pminos[1]
    model.Add(p1[1][0] == p1[0][0])
    model.Add(p1[1][1] == p1[0][1] + 1)



    ## 3rd polyomino -> pentomino ##
    #                              #      
    #            ##                # 
    #            ##                # 
    #            #                 # 
    #                              #
    ################################

    p2 = pminos[2]
    model.Add(p2[1][0] == p2[0][0] + 1)
    model.Add(p2[2][0] == p2[0][0])
    model.Add(p2[3][0] == p2[0][0] + 1)
    model.Add(p2[4][0] == p2[0][0])

    model.Add(p2[1][1] == p2[0][1])
    model.Add(p2[2][1] == p2[0][1] + 1)
    model.Add(p2[3][1] == p2[0][1] + 1)
    model.Add(p2[4][1] == p2[0][1] + 2)



    ## 4th polyomino -> domino ##
    #                           #      
    #                           # 
    #           #               #   
    #           #               # 
    #                           # 
    #############################

    p3 = pminos[3]
    model.Add(p3[1][0] == p3[0][0])
    model.Add(p3[1][1] == p3[0][1] + 1)



    ## 5th polyomino -> monomino ##
    #                             #      
    #                             # 
    #           #                 # 
    #                             # 
    #                             # 
    ###############################
    #No constraints because 1 cell only



    #No blocks can overlap:
    block_addresses = []
    n = 0
    for p in pminos:
        for c in p:
            n += 1
            block_address = model.NewIntVarFromDomain(cp_model.Domain.FromIntervals(ranges),'%i' % n)
                model.Add(c[0] + c[1] * W == block_address)
                block_addresses.append(block_address)

    model.AddAllDifferent(block_addresses)



    #Solve and print solutions as we find them
    solver = cp_model.CpSolver()

    solution_printer = SolutionPrinter(pminos)
    status = solver.SearchForAllSolutions(model, solution_printer)

    print('Status = %s' % solver.StatusName(status))
    print('Number of solutions found: %i' % solution_printer.count)




class SolutionPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    ''' Print a solution. '''

    def __init__(self, variables):
        cp_model.CpSolverSolutionCallback.__init__(self)
        self.variables = variables
        self.count = 0

    def on_solution_callback(self):
        self.count += 1


        plt.figure(figsize = (2, 2))
        plt.grid(True)
        plt.axis([0,W,H,0])
        plt.yticks(np.arange(0, H, 1.0))
        plt.xticks(np.arange(0, W, 1.0))


        for i, p in enumerate(self.variables):
            for c in p:
                x = self.Value(c[0])
                y = self.Value(c[1])
                rect = plt.Rectangle((x, y), 1, 1, fc = cdict[i])
                plt.gca().add_patch(rect)

        for i in inactiveCells:
            x = i%W
            y = i//W
            rect = plt.Rectangle((x, y), 1, 1, fc = 'None', hatch = '///')
            plt.gca().add_patch(rect)

ここに画像の説明を入力してください

問題は、5つの一意の/固定されたポリオミノをハードコーディングしていて、各ポリオミノの可能な各パターンが考慮される(可能な場合)ため、制約を定義する方法がわからないことです。


Google OR-toolsについて初めて聞きました。以下のような標準のPythonライブラリを使用することが可能ですかitertoolsnumpynetworkx
mathfux

できれば、sat-solverまたはor-toolsを使用したいと思います。
solub

@solubサーフェスに不規則なオブジェクトを配置するための高レベルの制約があるため、MiniZinc言語を使用してこの種の問題をモデル化/解決するのは非常に簡単です。Courseraの無料コース「離散最適化のための高度なモデリング」を実施すると、実際にその方法を学び、いくつかの実用的な(そしてより複雑な)例が与えられます。Or-ToolsはMiniZinc言語用のインターフェースを備えているため、その力を利用して迅速な解決策を見つけることができます。
Patrick Trentin

1
ポインタのおかげで、興味深いようです。私が持っている特定の問題(静的ではなく、フリーのポリオミノを含む制約を定義する)に答えられるかどうかはわかりませんが、間違いなく見ていきます。
solub

1
申し訳ありませんが、この質問についてはすっかり忘れていました。なされてきた関連する質問minizinc使用についての私の以前の提案をカバーして詳細な回答とタグminizinc
Patrick Trentin

回答:


10

編集:私は元の回答で「無料」という単語を逃し、固定ポリオミノに対してORツールを使用して回答しました。無料のポリオミノのソリューションを含めるために回答するセクションを追加しました-AFAICTは、ORツールを使用した制約プログラミングで正確に表現することが非常に難しいことが判明しています。

ORツールを使用した固定ポリミノ:

ええ、ORツールの制約プログラミングでそれを行うことができます。OR-Toolsは2Dグリッドジオメトリについて何も認識していないため、位置の制約の観点から、各シェイプのジオメトリをエンコードする必要があります。つまり、形状はブロック/セルのコレクションであり、相互に特定の関係があり、グリッドの境界内にあり、重複してはなりません。制約モデルを取得したら、CP-SATソルバーに問題を解決するよう依頼するだけです。

これは、4x4グリッド上に2つの長方形の形状を備えた非常に単純な概念実証です(形状の説明からOR-Tools変数のセットおよび大規模問題の制約に移動するために、おそらく何らかの種類のインタープリターコードを追加することもできます)手で制約を入力するのは少し面倒なので)。

from ortools.sat.python import cp_model

(W, H) = (3, 3) # Width and height of our grid.
(X, Y) = (0, 1) # Convenience constants.


def main():
  model = cp_model.CpModel()
  # Create an Int var for each block of each shape constrained to be within width and height of grid.
  shapes = [
    [
      [ model.NewIntVar(0, W, 's1b1_x'), model.NewIntVar(0, H, 's1b1_y') ],
      [ model.NewIntVar(0, W, 's1b2_x'), model.NewIntVar(0, H, 's1b2_y') ],
      [ model.NewIntVar(0, W, 's1b3_x'), model.NewIntVar(0, H, 's1b3_y') ],
    ],
    [
      [ model.NewIntVar(0, W, 's2b1_x'), model.NewIntVar(0, H, 's2b1_y') ],
      [ model.NewIntVar(0, W, 's2b2_x'), model.NewIntVar(0, H, 's2b2_y') ],
    ]
  ]

  # Define the shapes by constraining the blocks relative to each other.
  # 3x1 rectangle:
  s0 = shapes[0]
  model.Add(s0[0][Y] == s0[1][Y])
  model.Add(s0[0][Y] == s0[2][Y])
  model.Add(s0[0][X] == s0[1][X] - 1)
  model.Add(s0[0][X] == s0[2][X] - 2)
  # 1x2 rectangle:
  s1 = shapes[1]
  model.Add(s1[0][X] == s1[1][X])
  model.Add(s1[0][Y] == s1[1][Y] - 1)

  # No blocks can overlap:
  block_addresses = []
  for i, block in enumerate(blocks(shapes)):
    block_address = model.NewIntVar(0, (W+1)*(H+1), 'b%d' % (i,))
    model.Add(block[X] + (H+1)*block[Y] == block_address)
    block_addresses.append(block_address)
  model.AddAllDifferent(block_addresses)

  # Solve and print solutions as we find them
  solver = cp_model.CpSolver()
  solution_printer = SolutionPrinter(shapes)
  status = solver.SearchForAllSolutions(model, solution_printer)
  print('Status = %s' % solver.StatusName(status))
  print('Number of solutions found: %i' % solution_printer.count)


def blocks(shapes):
  ''' Helper to enumerate all blocks. '''
  for shape in shapes:
    for block in shape:
      yield block


class SolutionPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    ''' Print a solution. '''

    def __init__(self, variables):
        cp_model.CpSolverSolutionCallback.__init__(self)
        self.variables = variables
        self.count = 0

    def on_solution_callback(self):
      self.count += 1
      solution = [(self.Value(block[X]), self.Value(block[Y])) for shape in self.variables for block in shape]
      print((W+3)*'-')
      for y in range(0, H+1):
        print('|' + ''.join(['#' if (x,y) in solution else ' ' for x in range(0, W+1)]) + '|')
      print((W+3)*'-')


if __name__ == '__main__':
  main()

与える:

...
------
|    |
| ###|
|  # |
|  # |
------
------
|    |
| ###|
|   #|
|   #|
------
Status = OPTIMAL
Number of solutions found: 60

無料のポリミノー:

セルのグリッドをグラフと考える場合、問題は、各パーティションが特定のサイズを持ち、さらに各パーティションが接続されたコンポーネントであるグリッドのセルのkパーティションを見つけることとして再解釈できます。つまりAFAICTは、接続されたコンポーネントとポリオミノの間に違いはなく、この回答の残りの部分はその仮定を行います。

すべての可能な「各パーティションが特定のサイズを持つグリッドのセルのkパーティション」を見つけることは、ORツール制約プログラミングで表現するのはかなり簡単です。しかし、接続性の部分は難しい AFAICTです(私はかなりの間試みて失敗しました...)。OR-Tools制約プログラミングは正しいアプローチではないと思います。ネットワーク最適化ライブラリのOR-Tools C ++リファレンスに、接続されたコンポーネントに関する一見の価値のあるものが含まれていることに気づきましたが、それについてはよく知りません。一方、Pythonの単純な再帰検索ソリューションはかなり実行可能です。

これは「手動」の単純な解決策です。かなり遅いですが、4x4の場合は耐えられます。アドレスは、グリッド内の各セルを識別するために使用されます。(また、wikiページは、単純なソリューションとしてこのアルゴリズムのようなものをほのめかしており、同様のポリオミノ問題に対してより効率的なアルゴリズムを示唆しているように見えることに注意してください)。

import numpy as np
from copy import copy
from tabulate import tabulate

D = 4 # Dimension of square grid.
KCC = [5,4,2,2] # List of the sizes of the required k connected components (KCCs).
assert(sum(KCC) <= D*D)
VALID_CELLS = range(2,D*D)

def search():
  solutions = set() # Stash of unique solutions.
  for start in VALID_CELLS: # Try starting search from each possible starting point and expand out.
    marked = np.zeros(D*D).tolist()
    _search(start, marked, set(), solutions, 0, 0)
  for solution in solutions:  # Print results.
    print(tabulate(np.array(solution).reshape(D, D)))
  print('Number of solutions found:', len(solutions))

def _search(i, marked, fringe, solutions, curr_count, curr_part):
  ''' Recursively find each possible KCC in the remaining available cells the find the next, until none left '''
  marked[i] = curr_part+1
  curr_count += 1
  if curr_count == KCC[curr_part]: # If marked K cells for the current CC move onto the next one.
    curr_part += 1
    if curr_part == len(KCC): # If marked K cells and there's no more CCs left we have a solution - not necessarily unique.
      solutions.add(tuple(marked))
    else:
      for start in VALID_CELLS:
        if marked[start] == 0:
          _search(start, copy(marked), set(), solutions, 0, curr_part)
  else:
    fringe.update(neighbours(i, D))
    while(len(fringe)):
      j = fringe.pop()
      if marked[j] == 0:
        _search(j, copy(marked), copy(fringe), solutions, curr_count, curr_part)

def neighbours(i, D):
  ''' Find the address of all cells neighbouring the i-th cell in a DxD grid. '''
  row = int(i/D)
  n = []
  n += [i-1] if int((i-1)/D) == row and (i-1) >= 0 else []
  n += [i+1] if int((i+1)/D) == row and (i+1) < D**2 else []
  n += [i-D] if (i-D) >=0 else []
  n += [i+D] if (i+D) < D**2 else []
  return filter(lambda x: x in VALID_CELLS, n)

if __name__ == '__main__':
  search()

与える:

...
-  -  -  -
0  0  1  1
2  2  1  1
4  2  3  1
4  2  3  0
-  -  -  -
-  -  -  -
0  0  4  3
1  1  4  3
1  2  2  2
1  1  0  2
-  -  -  -
Number of solutions found: 3884

これは非常に役に立ちます。ありがとうございました。問題のあることの1つは、例が固定形状のポリオミノでのみ機能することです。問題は、自由なポリオミノ(固定数のセルですが、形状が異なるため、明確にするために質問を編集します)です。あなたの例に従って、私たちは、サイズS ...の各ポリオミノについて可能なすべての形状(+回転+反射)をハードコード化する必要がありますが、これは実行不可能です。問題は残っていますが、ORツールを使用してそのような制約を実装することは可能ですか?
solub

ああ、「無料」の部分を逃した。うーん、問題は「25-オミノがWxHグリッドに制約されている25-オミノの5つのパーティションを見つけ、5つの各パーティションもX =(7,6,6 、4,2).. "。ORツールで実行することは可能だと思いますが、CSPバックトラッキングの深さを最初に検索することで、これを直接検索するほうが簡単だと思われます。可能な25オミノを見つけます。可能な25オミノごとに、完全なソリューションが見つかるか、バックトラックする必要があるまで、Xを選択して25ドミノ内でXオミノを構築することにより、CSP検索をバックトラックします。
spinkus

完全を期すために前のコメントで触れた単純な直接検索ベースのソリューションのようなものを追加しました。
spinkus

5

OR-Toolsで単純に接続された領域を制約する比較的簡単な方法の1つは、境界が回路になるように制約することです。すべてのポリオミノのサイズが8未満である場合、単純に接続されていないものについて心配する必要はありません。

このコードは、すべての3884ソリューションを検出します。

from ortools.sat.python import cp_model

cells = {(x, y) for x in range(4) for y in range(4) if x > 1 or y > 0}
sizes = [4, 2, 5, 2, 1]
num_polyominos = len(sizes)
model = cp_model.CpModel()

# Each cell is a member of one polyomino
member = {
    (cell, p): model.NewBoolVar(f"member{cell, p}")
    for cell in cells
    for p in range(num_polyominos)
}
for cell in cells:
    model.Add(sum(member[cell, p] for p in range(num_polyominos)) == 1)

# Each polyomino contains the given number of cells
for p, size in enumerate(sizes):
    model.Add(sum(member[cell, p] for cell in cells) == size)

# Find the border of each polyomino
vertices = {
    v: i
    for i, v in enumerate(
        {(x + i, y + j) for x, y in cells for i in [0, 1] for j in [0, 1]}
    )
}
edges = [
    edge
    for x, y in cells
    for edge in [
        ((x, y), (x + 1, y)),
        ((x + 1, y), (x + 1, y + 1)),
        ((x + 1, y + 1), (x, y + 1)),
        ((x, y + 1), (x, y)),
    ]
]
border = {
    (edge, p): model.NewBoolVar(f"border{edge, p}")
    for edge in edges
    for p in range(num_polyominos)
}
for (((x0, y0), (x1, y1)), p), border_var in border.items():
    left_cell = ((x0 + x1 + y0 - y1) // 2, (y0 + y1 - x0 + x1) // 2)
    right_cell = ((x0 + x1 - y0 + y1) // 2, (y0 + y1 + x0 - x1) // 2)
    left_var = member[left_cell, p]
    model.AddBoolOr([border_var.Not(), left_var])
    if (right_cell, p) in member:
        right_var = member[right_cell, p]
        model.AddBoolOr([border_var.Not(), right_var.Not()])
        model.AddBoolOr([border_var, left_var.Not(), right_var])
    else:
        model.AddBoolOr([border_var, left_var.Not()])

# Each border is a circuit
for p in range(num_polyominos):
    model.AddCircuit(
        [(vertices[v0], vertices[v1], border[(v0, v1), p]) for v0, v1 in edges]
        + [(i, i, model.NewBoolVar(f"vertex_loop{v, p}")) for v, i in vertices.items()]
    )

# Print all solutions
x_range = range(min(x for x, y in cells), max(x for x, y in cells) + 1)
y_range = range(min(y for x, y in cells), max(y for x, y in cells) + 1)
solutions = 0


class SolutionPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    def OnSolutionCallback(self):
        global solutions
        solutions += 1
        for y in y_range:
            print(
                *(
                    next(
                        p
                        for p in range(num_polyominos)
                        if self.Value(member[(x, y), p])
                    )
                    if (x, y) in cells
                    else "-"
                    for x in x_range
                )
            )
        print()


solver = cp_model.CpSolver()
solver.SearchForAllSolutions(model, SolutionPrinter())
print("Number of solutions found:", solutions)

4

各polyonomino、および可能な各左上のセルには、このセルが囲んでいる四角形の左上の部分かどうかを示すブール変数があります。

各セルと各ポリオミノについて、このセルがこのポリオミノによって占められているかどうかを示すブール変数があります。

これで、各セルと各ポリオミノについて、一連の影響があります。左上のセルを選択すると、各セルがこのポリオミノによって実際に占有されていることになります。

次に、制約:各セルについて、各ポリオミノごとに多くても1つのポリオミノが占有します。その左上の部分であるセルは1つだけです。

これは純粋なブール問題です。


返信ありがとうございます!私は正直にor-toolsでこれを実装する方法がわかりません、特に私が始めるのを助けるためにあなたが提案するであろう(提供されたpythonの例からの)例はありますか?
solub

あなたの答えがよくわからないので、本当に申し訳ありません。「囲んでいる四角形」が何を指しているのか、または「各セルおよび各ポリオミノ」がコードでどのように変換されるのか(ネストされた「for」ループ?)とにかく、あなたの説明が無料のポリオミノのケースを扱っているかどうか教えていただけませんか(質問は明確にするために編集されています)。
solub
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