タイプ[[a]]の法則->（[a]、[a]）

私は宿題からこの質問をしようとしています：

任意の場合、リストとペアを含めfoo :: [[a]] -> ([a], [a])、関数がfoo満たす1つの法則を書き留めmapます。

いくつかのコンテキスト：私は関数型プログラミングのコースを受講する1年生です。コースはかなり入門的なものですが、講師はシラバスから多くのことを述べてきましたが、その中には自由定理があります。だから、Wadlerの論文を読むことを試みた後、私はそれを起算concat :: [[a]] -> [a]法律をmap f . concat = concat . map (map f)我々は持っている必要がありますから、私の問題に関連して見えるfoo xss = (concat xss, concat' xss)場所concatとconcat'種類のいずれかの機能です[[a]] -> [a]。次にをfoo満たしbimap (map f, map g) . foo = \xss -> ((fst . foo . map (map f)) xss, (snd . foo . map (map g)) xss)ます。

すでにこの「法則」は長すぎて正しくないように思われますが、自分の論理もよくわかりません。だから私はオンラインの無料の定理ジェネレーターを使うことを考えましたが、私は何をlift{(,)}意味するのかわかりません：

forall t1,t2 in TYPES, g :: t1 -> t2.
 forall x :: [[t1]].
  (f x, f (map (map g) x)) in lift{(,)}(map g,map g)

lift{(,)}(map g,map g)
  = {((x1, x2), (y1, y2)) | (map g x1 = y1) && (map g x2 = y2)}

この出力をどのように理解すればよいですか？そして、関数の法則をfoo適切に導出するにはどうすればよいですか？

haskell free-theorem

— ジンジー・ヤン
ソース

これは次のように言っていると思います(\(a,b) -> (map f a, map f b)) . foo = foo . map (map f)

— AJFarmar

場合R1とR2の関係（と言っているR_i間A_iとB_i、とi in {1,2}）、その後lift{(,)}(R1,R2)、関係のペアを「解除」される間A1 * A2とB1 * B2、と*（書かれた製品表す(,)Haskellでの）。

存続関係では、2つのペア(x1,x2) :: A1*A2、およびの(y1,y2) :: B1*B2場合にのみ関連x1 R1 y1しx2 R2 y2ます。あなたの場合、R1そしてR2は関数なmap g, map gので、リフティングも関数になります：y1 = map g x1 && y2 = map g x2。

したがって、生成された

(f x, f (map (map g) x)) in lift{(,)}(map g,map g)

手段：

fst (f (map (map g) x)) = map g (fst (f x))
AND
snd (f (map (map g) x)) = map g (snd (f x))

または、言い換えると：

f (map (map g) x) = (map g (fst (f x)), map g (snd (f x)))

私は次のように書いて使用しましたControl.Arrow：

f (map (map g) x) = (map g *** map g) (f x)

または、ポイントフリースタイル：

f . map (map g) = (map g *** map g) . f

あなたのfように書くことができるので、これは驚きではありません

f :: F a -> G a
where F a = [[a]]
      G a = ([a], [a])

そしてF、Gファンクタ（Haskellで私たちが使用する必要がありますされているnewtype数子のインスタンスを定義するために、それは無関係なので、私は、それを省略します）。このような一般的なケースでは、自由定理は非常に優れた形式を持っていますg。

f . fmap_of_F g = fmap_of_G g . f

これは自然と呼ばれる非常に素晴らしい形式です（f適切なカテゴリの自然な変換として解釈できます）。f上記の2つのは実際には別々の型でインスタンス化されるため、型を残りの型と一致させるために注意してください。

あなたの特定のケースではF a = [[a]]、それは[]それ自体でファンクターの構成なので、私たちは（当然のことながら）を取得しfmap_of_F g = fmap_of_[] (fmap_of_[] g) = map (map g)ます。

代わりに、G a = ([a],[a])ファンクタ[]とH a = (a,a)（技術的には、製品ファンクタで構成された対角ファンクタ）の構成です。我々は持ってfmap_of_H h = (h *** h) = (\x -> (h x, h x))いるから、fmap_of_G g = fmap_of_H (fmap_of_[] g) = (map g *** map g)。

— カイ
ソース

いい説明だ！ただの質問です。「すべてのgに対して」と言うとき、gは合計または厳密である必要がありますか、それともまったく制限がありませんか？

— Jingjie YANG

@JingjieYANGはい、Haskellを使用する場合、いくつかの制限があります。このような結果のほとんどは、すべてが終了する純粋な型システムで実際に行われます（したがって、それは合計です）。Haskellでは、私が正しく思い出せば、終了しないため、g合計を要求する必要があります。同様に、私たちは厳格であることseqを要求gする必要があるからです。正確な制限については100％確信が持てませんが、これで十分でしょう。しかし、それらについてどこで読んだか覚えていませんが、おそらく無料の定理ジェネレーターのページにいくつかの情報があります。

— チー

Data.Bifunctor（bimap）を支持して、タプルのControl.Arrow（***）は少しスタイルが狂っていませんか？後者に変更するための編集に対する異議はありますか？

— Joseph Sible-Reinstate Monica

@ JosephSible-ReinstateMonicaわかりません。それはmapvsに少し似ていると思いfmapます。map私たちがリストを扱っていることは明らかであるため（他のファンクターではなく）、人々は使い続けています。同様に、(***)ペアでのみ機能します（他のバイファンクターでは機能しません）。数学では私たちはf \times g積和関数を適用するように書く傾向があるので、私はおそらくそのほとんどをその固定性のために使用しています。たぶん、のバリアントのbimapように、そのインフィックスバリアントも必要<$>ですfmap。

— チー

本当だが(***)より具体的であるbimapことが唯一のペアではなく、任意のbifunctorsに動作することで、それはそれも事実だbimapより具体的である(***)ことが唯一の機能ではなく、任意の矢印の上に動作することでは。中置再、それがために全く同じではないであろうbimapとfmapするので、bimap3つのパラメータを受け取り、fmap唯一の2取る

— ジョセフSible-復活モニカの

セレモニーが少ない@chiの回答と同じです：

関数の前または後にasをbsに変更しても、同じ結果になります（fmap-like-thingを使用する限り）。

任意のfの場合：a-> b、

    [[a]] -------------> [[b]]
      | （map.map）f |
      | |
     foo foo
      | |
      vv
    （[a]、[a]）--------->（[b]、[b]）
              バイマップff

通勤。

— ルキ
ソース