差がマシンの精度よりも小さいかどうかを確認する正しい/標準的な方法は何ですか？

私はしばしば、得られた差が機械の精度を超えているかどうかを確認する必要がある状況に陥ります。この目的のために、Rには便利な変数があります.Machine$double.eps。ただし、この値の使用に関するガイドラインについてRソースコードを参照すると、複数の異なるパターンが表示されます。

例

statsライブラリの例をいくつか示します。

t.test.R

if(stderr < 10 *.Machine$double.eps * abs(mx))

chisq.test.R

if(abs(sum(p)-1) > sqrt(.Machine$double.eps))

統合します。

rel.tol < max(50*.Machine$double.eps, 0.5e-28)

lm.influence.R

e[abs(e) < 100 * .Machine$double.eps * median(abs(e))] <- 0

princomp.R

if (any(ev[neg] < - 9 * .Machine$double.eps * ev[1L]))

等

ご質問

1. どのようにして、これらの異なるすべての背後にある理由を理解することができ10 *、100 *、50 *およびsqrt()修飾子を？
2. .Machine$double.eps精度の問題による差異の調整に使用するガイドラインはありますか？

の機械精度はdouble、現在の値によって異なります。.Machine$double.eps値が1の場合の精度を示します。C関数nextAfterを使用して、他の値のマシン精度を取得できます。

library(Rcpp)
cppFunction("double getPrec(double x) {
  return nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x;}")

(pr <- getPrec(1))
#[1] 2.220446e-16
1 + pr == 1
#[1] FALSE
1 + pr/2 == 1
#[1] TRUE
1 + (pr/2 + getPrec(pr/2)) == 1
#[1] FALSE
1 + pr/2 + pr/2 == 1
#[1] TRUE
pr/2 + pr/2 + 1 == 1
#[1] FALSE

値を追加するa値にはb変更されませんbときaである<= ことのマシン精度の半分が。差がマシンの精度よりも小さいかどうかのチェックは、で行われ<ます。修飾子は、追加が変更を示さなかった頻度の典型的なケースを考慮します。

でR機械精度に推定することができます。

getPrecR <- function(x) {
  y <- log2(pmax(.Machine$double.xmin, abs(x)))
  ifelse(x < 0 & floor(y) == y, 2^(y-1), 2^floor(y)) * .Machine$double.eps
}
getPrecR(1)
#[1] 2.220446e-16

各double値は範囲を表しています。単純な加算の場合、結果の範囲は各加数の範囲とそれらの合計の範囲にも依存します。

library(Rcpp)
cppFunction("std::vector<double> getRange(double x) {return std::vector<double>{
   (nextafter(x, -std::numeric_limits<double>::infinity()) - x)/2.
 , (nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x)/2.};}")

x <- 2^54 - 2
getRange(x)
#[1] -1  1
y <- 4.1
getRange(y)
#[1] -4.440892e-16  4.440892e-16
z <- x + y
getRange(z)
#[1] -2  2
z - x - y #Should be 0
#[1] 1.9

2^54 - 2.9 + 4.1 - (2^54 + 5.9) #Should be -4.7
#[1] 0
2^54 - 2.9 == 2^54 - 2      #Gain 0.9
2^54 - 2 + 4.1 == 2^54 + 4  #Gain 1.9
2^54 + 5.9 == 2^54 + 4      #Gain 1.9

より高い精度のRmpfrために使用することができます。

library(Rmpfr)
mpfr("2", 1024L)^54 - 2.9 + 4.1 - (mpfr("2", 1024L)^54 + 5.9)
#[1] -4.700000000000000621724893790087662637233734130859375

整数に変換gmpできる場合は使用できます（Rmpfrにあるもの）。

library(gmp)
as.bigz("2")^54 * 10 - 29 + 41 - (as.bigz("2")^54 * 10 + 59)
#[1] -47

machine.epsの定義：それは最も低い値である  eps ためには  1+eps されていません 1

経験則として（基数2の浮動小数点表現を想定）：
これepsにより、範囲1 .. 2と
範囲2 .. 4で精度が異なります2*eps
。

残念ながら、ここには良い経験則はありません。プログラムのニーズによって完全に決定されます。

Rでは、おおよその同等性をテストするための組み込みの方法としてall.equalがあります。だからあなたはおそらくのようなものを使うことができます(x<y) | all.equal(x,y）

i <- 0.1
 i <- i + 0.05
 i
if(isTRUE(all.equal(i, .15))) { #code was getting sloppy &went to multiple lines
    cat("i equals 0.15\n") 
} else {
    cat("i does not equal 0.15\n")
}
#i equals 0.15

Googleモックには、およびを含む、倍精度比較用の多数の浮動小数点マッチャーがDoubleEqありDoubleNearます。次のように配列マッチャーで使用できます。

ASSERT_THAT(vec, ElementsAre(DoubleEq(0.1), DoubleEq(0.2)));

更新：

数値レシピは、片側差分商を使用することが、微分のsqrt有限差分近似のステップサイズの適切な選択であることを示すための派生を提供します。

ウィキペディアの記事サイトNumerical Recipes、第3版、セクション5.7、229〜230ページ（限られた数のページビューがhttp://www.nrbook.com/empanel/で入手可能）。

all.equal(target, current,
           tolerance = .Machine$double.eps ^ 0.5, scale = NULL,
           ..., check.attributes = TRUE)

これらのIEEE浮動小数点演算は、コンピューター演算のよく知られた制限であり、いくつかの場所で説明されています。

• RのFAQには、それに向けられた完全な質問があります。RFAQ 7.31
  • Patrick BurnsのR Infernoが最初の「Circle」をこの問題に捧げました（9ページ以降）
  • 数学メタで求められる算術合計証明問題
  • デビッド・ゴールドバーグ、「浮動小数点演算について何すべてのコンピュータ科学者することがわかっている、」ACMコンピューティング調査 23、1（1991年から1903年）、5-48 DOI> 10.1145 / 103162.103163（改訂版も利用可能）
  • 浮動小数点ガイド-浮動小数点演算についてすべてのプログラマが知っておくべきこと
  • 0.30000000000000004.comは、プログラミング言語間で浮動小数点演算を比較します
• 「浮動小数点は不正確」の正規の複製（この問題の正規の回答に関するメタディスカッション）
• を含むいくつかのスタックオーバーフローの質問
  • 10進数を2進数で正確に表現できないのはなぜですか？
  • 浮動小数点数が不正確なのはなぜですか？
  • 浮動小数点演算は壊れていますか？
• アーサーT.ベンジャミンによって説明された数学のトリック

。 dplyr::near()は、浮動小数点数の2つのベクトルが等しいかどうかをテストする別のオプションです。

この関数には、許容誤差パラメーターが組み込まれており、tol = .Machine$double.eps^0.5調整できます。デフォルトのパラメータは、のデフォルトと同じですall.equal()。