2 ** n-1を再帰関数として記述する方法は？

nを受け取り、2 ⁿ -1を返す関数が必要です。簡単に聞こえますが、関数は再帰的でなければなりません。これまでのところ、私は2 ⁿしかありません：

def required_steps(n):
    if n == 0:
        return 1
    return 2 * req_steps(n-1)

演習では、「パラメータnは常に正の整数であり、0より大きいと想定できます。

2**n -11 + 2 + 4 + ... + 2 ^n-1個（2の累乗から1を減算する第1せず）は、単一の再帰関数に作製することができます。

ヒント：1 + 2 *（1 + 2 *（...））

以下の解決策、最初にヒントを試したいかどうかを調べないでください。

これnは、ゼロより大きいことが保証されている場合に機能します（問題のステートメントで実際に約束されていたとおり）。

def required_steps(n):
    if n == 1: # changed because we need one less going down
        return 1
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

より堅牢なバージョンでは、ゼロと負の値も処理されます。

def required_steps(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("n must be non-negative")
    if n == 0:
        return 0
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

（非整数のチェックの追加は、演習として残します。）

再帰的アプローチの問題を解決するには、異なる入力を持つ同じ関数の観点から、特定の入力を持つ関数を定義する方法を見つける必要があります。この場合、なのでf(n) = 2 * f(n - 1) + 1、次のことができます。

def required_steps(n):
    return n and 2 * required_steps(n - 1) + 1

そのため：

for i in range(5):
    print(required_steps(i))

出力：

0
1
3
7
15

本当に再帰的な部分を別の関数に抽出できます

def f(n):
    return required_steps(n) - 1

または、フラグを設定して、いつ減算するかを定義できます

def required_steps(n, sub=True):
    if n == 0: return 1
    return 2 * required_steps(n-1, False) - sub

>>> print(required_steps(10))
1023

結果に追加のパラメーターを使用するr-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r * 2)

for x in range(6):
  print(f"f({x}) = {required_steps(x)}")

# f(0) = 0
# f(1) = 1
# f(2) = 3
# f(3) = 7
# f(4) = 15
# f(5) = 31

ビットごとの左シフトを使用してそれを書くこともできます<<-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r << 1)

出力は同じです

nの元の値を記憶するプレースホルダーを用意し、最初のステップ、つまりn == Nを返す2^n-1

n = 10
# constant to hold initial value of n
N = n
def required_steps(n, N):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == N:
        return 2 * required_steps(n-1, N) - 1
    return 2 * required_steps(n-1, N)

required_steps(n, N)

「-1」のオフセットを取得する1つの方法は、デフォルト値の引数を使用して最初の関数呼び出しからの戻り値に適用し、再帰呼び出し中にオフセット引数を明示的にゼロに設定することです。

def required_steps(n, offset = -1):
    if n == 0:
        return 1
    return offset + 2 * required_steps(n-1,0)

以前に与えられたすべての素晴らしい答えの上に、内部関数を使用したその実装を以下に示します。

def outer(n):
    k=n
    def p(n):
        if n==1:
            return 2
        if n==k:
            return 2*p(n-1)-1
        return 2*p(n-1)
    return p(n)

n=5
print(outer(n))

基本的に、それはnのグローバル値をkに割り当て、適切な比較でそれを繰り返します。