暗号で素数が重要なのはなぜですか？

常に暗号解読者ではない私を襲う1つのこと：なぜ素数を使用することがそれほど重要なのですか？それらが暗号化でそれほど特別なのはなぜですか？

誰もが持っていますシンプルな短い説明を？（私は多くの入門書があり、Applied Cryptographyが聖書であることを知っていますが、言ったように：私は自分の暗号アルゴリズムを実装するつもりはありません、そして私が見つけたものは私の脳を爆発させました-10ページの数式ではありませんお願いします ：））

すべての回答をありがとう。実際のコンセプトを最も明確にしたものを受け入れました。

最も基本的で一般的な説明：暗号化はすべて数論に関するものですであり、すべての整数（0と1を除く）は素数で構成されるため、数論では多くの素数を扱います。

具体的には、RSAなどのいくつかの重要な暗号化アルゴリズムは、大きな数の素因数分解に時間がかかるという事実に大きく依存しています。基本的に、メッセージの暗号化に使用される2つの大きな素数の積で構成される「公開鍵」と、メッセージの復号化に使用される2つの素数で構成される「秘密鍵」があります。あなたは公開鍵を公開することができ、誰もがそれを使用してあなたへのメッセージを暗号化することができますが、あなただけが主要な要素を知っており、メッセージを解読することができます。数論の現在の最先端技術を考えると、他の誰もが数を因数分解する必要がありますが、これは実際に実行するには時間がかかりすぎます。

簡単？うん。

2つの大きな素数を乗算すると、2つの（大きな）素数のみを持つ巨大な非素数になります。

その数を因数分解することは重要な操作であり、その事実は多くの暗号アルゴリズムのソースです。一方向関数を見るをしてください。

補遺：もう少し説明。2つの素数の積は公開鍵として使用でき、素数自体は秘密鍵として使用できます。2つの要因のいずれかを知っていることによってのみ元に戻すことができるデータに対して行われる操作は、暗号化を解除するのは簡単ではありません。

これは非常にシンプルで一般的な例です。

RSA暗号化アルゴリズム、一般的に安全な商取引のウェブサイトで使用され、反対のことを行うことは極めて困難であるのに対し、2（非常に大きな）素数と乗算それらを取ることは容易であるという事実に基づいている-意味：テイクA非常に大きな数であり、2つの素因数しかないため、それらを見つけます。

重要なのは素数そのものではなく、素数で動作するアルゴリズムです。特に、数（任意の数）の因子を見つける。

ご存知のように、数値には少なくとも2つの要素があります。素数には、1とそれ自体という2つの要素があるというユニークな特性があります。

因数分解が非常に重要である理由は、数学者とコンピューター科学者が、考えられるすべての組み合わせを試してみなければ数値を因数分解する方法を知らないためです。つまり、まず2で割り、次に3で割り、次に4で割ります。素数（特に非常に大きなもの）を因数分解しようとする場合、（本質的に）2とその大きな素数の間の可能なすべての数を試す必要があります。最速のコンピューターであっても、暗号化で使用される種類の素数を因数分解するには数年（数世紀も）かかります。

暗号アルゴリズムに強みを与える大きな数を効率的に因数分解する方法がわからないのは事実です。誰かがその方法を見つけた場合、私たちが現在使用しているすべての暗号化アルゴリズムは廃止されます。これは未だ研究のオープンエリアです。

整数を素因数に因数分解する高速アルゴリズムを誰も知らないからです。しかし、一連の素因数が特定の整数に乗算されるかどうかを確認するのは非常に簡単です。

暗号化を強化するための優れたリソースがいくつかあります。ここに一つあります：

• http://research.microsoft.com/en-us/groups/crypto/firstcrypto.aspx

そのページから：

1977年にRon Rivest、Adi Shamir、およびLen Adlemanによって発明された最も一般的に使用される公開鍵暗号化システムでは、公開鍵と秘密鍵の両方が、比較的単純な数式に従って、大きな素数のペアから導出されます。理論的には、式を逆に操作することにより、公開鍵から秘密鍵を導出できる可能性があります。しかし、大きな素数の積だけが公開され、そのサイズの素数を素数に因数分解することは非常に難しいので、世界で最も強力なスーパーコンピュータでさえ、通常の公開鍵を破ることはできません。

ブルース・シュナイアーの著書「応用暗号法」もまた別です。私はその本を強くお勧めします。楽しい読書です。

RSAは素数の性質をどのように使用するかについて、もう少し具体的には、RSAアルゴリズムは時に大きく依存オイラーの定理比較的素数「」と「N」のために、^ eは1と合同であると述べており、剰余ところ、N eは、Nのオイラーの張り関数です。

素数はどこに入るのですか？Nのオイラーの張り関数を効率的に計算するには、Nの素因数分解を知る必要があります。RSAアルゴリズムの場合、いくつかの素数 "p"と "q"のN = pqの場合、e =（p-1）（q -1）= N-p-q + 1.しかし、pとqを知らなければ、eの計算は非常に困難です。

より抽象的には、多くのクリポグラフィックプロトコルは、さまざまなトラップドア関数を使用します。これらの関数は、計算は簡単ですが、反転が困難です。数論は、そのようなトラップドア関数（大きな素数の乗算など）の豊富なソースであり、素数は数論の中心です。

私は本「A Mathematical Journey In Code」を提案します。この本は暗号に関するものなので、驚くほど素晴らしく感じられます。この本は、子供の頃のパズルの学習から16歳のときにCayley-Purser（CP）アルゴリズムを作成するまでのサラフラナリーの旅をまとめたものです。一方向の関数、数論、素数、およびそれらがどのように関連するかについて、驚くほど詳細な説明を提供します暗号化。

この本をあなたの質問にさらに具体的にしているのは、サラがマトリックスを使用して新しい公開鍵アルゴリズムを実装しようとしたことです。素数を使用するよりもはるかに高速でしたが、それを悪用できるループホールが見つかりました。彼女のアルゴリズムはプライベート暗号化メカニズムとしてよりよく使用されたことがわかりました。この本は、暗号化に素数を使用することの優れた証であり、非常に賢い個人の試練と挑戦に耐えてきました。

あなたのためのもう一つのリソース。 今すぐセキュリティ！エピソード30（〜30分のポッドキャスト、リンクはトランスクリプトへ）は暗号化の問題について語り、素数が重要である理由を説明します。

私は数学者でも暗号学者でもないので、ここに素人の言葉で外見を示します（派手な方程式はありません。申し訳ありません）。

この全体のスレッドがについての説明で満たされているどのように素数は暗号で使用されている、それは簡単な方法で説明するこのスレッドに人を見つけるのは難しいですなぜ素数が使用されている...最も可能性付与のために、誰もがその知識を要するため。

外部から問題を見るだけで、次のような反応が起こります。しかし、2つの素数の合計を使用する場合、2つの素数が生成できるすべての合計のリストを作成してはどうでしょうか。

このサイトには、455,042,511の素数のリストがあり、最高の素数は9,987,500,000（10桁）です。

既知の最大素数（2015年2月現在）は2の257,885,161 − 1の累乗であり、17,425,170桁です。

これは、すべての既知の素数のリストを保持する意味がないことを意味します。数値を取り、それが素数かどうかを確認する方が簡単です。

それ自体で大きな素数を計算することは記念碑的な作業なので、暗号学者と数学者の両方が互いに乗算した2つの素数を逆算することは、今日では十分難しいと言うでしょう...

暗号化アルゴリズムは一般に、「困難な問題」を抱えているというセキュリティに依存しています。最近のほとんどのアルゴリズムは、非常に大きな数の因数分解を困難な問題として使用しているようです。2つの大きな数を掛け合わせると、それらの因数の計算は「困難」です（つまり、時間がかかります）。これらの2つの数値が素数である場合、答えは1つしかないため、さらに困難になり、答えを見つけたときに正しい答えであることを保証します。同じ結果が得られるのは他の答えではありません。

私はどのような暗号で重要なことは、それ自体をプライムされていないと思うが、それは難しいの素因数分解問題

2つの素数mとnの積であることがわかっている非常に大きな整数があるとすると、mとnを見つけるのは簡単ではありません。RSAなどのアルゴリズムはこの事実に依存しています。

ちなみに、この素因数分解問題を量子コンピュータを使用して許容可能な時間で「解決」できるアルゴリズムに関する公開論文があります。そのため、暗号化の新しいアルゴリズムは、量子コンピューターが町にやってきたとき、素因数分解のこの「難しさ」にもはや依存しないかもしれません:)

因数分解アルゴリズムが見つかるごとにかなり高速になるからです。両方の秘密鍵を素数にすることで、最初に見つかった要素も最後になります。理想的には、弱いキーの強度のみが重要であるため、両方の秘密キーの値もほぼ等しくなります。

素数は、与えられた数が素数であるかどうかを判断するのにかなりの時間を費やすため、主に暗号で使用されます。ハッカーにとって、アルゴリズムを解読するのに長い時間がかかると、アルゴリズムは役に立たなくなります。