IEEE 754フロートが正確に表現できない最初の整数はどれですか？

わかりやすくするために、IEE 754 floatを実装する言語を使用していて、次のように宣言したとします。

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

...そしてそれらをプリントアウトすると、0.0000と1.0000が正確に得られます。

しかし、IEEE 754は実際の線に沿ったすべての数値を表すことができません。ゼロに近い、「ギャップ」は小さいです。遠ざかるにつれて、ギャップは大きくなります。

だから、私の質問は、IEEE 754 floatの場合、正確に表現できない最初の（ゼロに最も近い）整数ですか？私は今のところ、32ビットの浮動小数点数にのみ関心がありますが、誰かが64ビットの浮動小数点数を教えてくれれば、その答えを聞きたいと思います。

私は、これが2計算のような単純なようであろうと思っ^{bits_of_mantissaに} 1を加算し、bits_of_mantissaが何ビット標準露出させます。私のマシン（MSVC ++、Win64）で32ビットの浮動小数点に対してこれを行いましたが、問題はないようです。

2 ^{仮数ビット+ 1} + 1

指数の+1（仮数ビット+ 1）は、仮数に含まabcdef...れる数値が含まれている場合、実際にはであり1.abcdef... × 2^e、暗黙の精度ビットが追加されるためです。

したがって、正確に表現できず、丸められる最初の整数は、
For float16、777,217（2 ²⁴ + 1）です。
の場合double、9,007,199,254,740,993（2 ⁵³ + 1）。

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992

nビット整数で表現できる最大値は2 ⁿ -1です。上記のように、a floatは仮数部で24ビットの精度を持ち、2 ²⁴が適合しないことを意味すると思われます。

しかし。

指数の範囲内の2のべき乗は、1.0×2 ⁿとして正確に表現できるため、2 ²⁴ が適合し、その結果の最初の表現できない整数floatは2 ²⁴ +1になります。上記のとおり。再び。