Pythonで指数および対数曲線フィッティングを行う方法は？多項式フィッティングのみが見つかりました

データのセットがあり、どのラインがそれを最もよく表しているかを比較したい（異なる次数の多項式、指数または対数）。

私はPythonとNumpyを使用しており、多項式フィッティングには関数がありますpolyfit()。しかし、指数関数的および対数的フィッティングのためのそのような関数は見つかりませんでした。

いずれかがあります？またはそれ以外の場合の解決方法は？

フィッティングのためにYを = A + Bログはxは、ちょうどフィットY（ログに対してXが）。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

y = Ae ^Bxをフィッティングするには、両側の対数を取るとlog y = log A + Bxになります。したがって、xに対して（log y）を近似します。

（log y）が線形であるかのようにフィッティングすると、yの小さな値が強調され、大きなyに対して大きな偏差が生じることに注意してください。これはれるpolyfit（線形回帰）がΣ最小化することによって動作し_、I（Δ Y）² =Σ _I（Y _I - Y ^ _I）²。ときY _I =ログyの_私は、残基Δ Y _私は Δ=（ログをY _I）≈Δ yの_I / | y _i |。だからpolyfit大きいyに対して非常に悪い決定をします、 "divide-by- | y |" 係数はそれを補正し、polyfit小さい値を優先します。

これは、各エントリにyに比例する「重み」を与えることで軽減できます。キーワード引数をpolyfit介して加重最小二乗をサポートしwます。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Excel、LibreOffice、およびほとんどの関数電卓は、通常、指数回帰/傾向線に重み付けされていない（偏った）式を使用します。結果にこれらのプラットフォームとの互換性を持たせたい場合は、より良い結果が得られても、重みを含めないでください。

これで、scipyを使用できる場合は、scipy.optimize.curve_fit変換なしで任意のモデルに適合させることができます。

ため、Y = A + Bログは、xは結果が変換方法と同様です。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

yは = Aeの^Bxとし、それはΔ（ログを計算するので、しかし、私たちはより良いフィット感を得ることができ、Yを直接）。ただしcurve_fit、目的のローカルミニマムに到達できるように、初期化の推測を提供する必要があります。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

また、データのセットをcurve_fitfrom を使用して任意の関数に適合させることもできますscipy.optimize。たとえば、（ドキュメンテーションの）指数関数を近似したい場合：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

そして、あなたがプロットしたいなら、あなたはそうすることができます：

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

（注：*のフロントpoptあなたのプロットはに用語を拡大するときa、bおよびcそれをfunc期待しています。）

私はこれでいくつかの問題を抱えていたので、私のような初心者が理解できるように、非常に明確にしてください。

データファイルなどがあるとしましょう

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

結果は次のとおりです：a = 0.849195983017、b = -1.18101681765、c = 2.24061176543、d = 0.816643894816

まあ、私はあなたがいつでも使用できると思います：

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

IanVSの答えを少し変更する：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

この結果、次のグラフが表示されます。

scikit learnのツールを使用する単純なデータの線形化オプションを次に示します。

与えられた

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys

transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

コード

指数データに合わせる

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

ログデータの適合

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

細部

一般的な手順

1. ログデータ値への操作（適用x、yまたは両方）
2. データを線形化モデルに回帰する
3. ログ操作（を使用np.exp()）を「逆転」してプロットし、元のデータにフィット

我々のデータと仮定すると指数トレンドを、以下の、一般式^+があることがあります。

対数を取ることにより、後者の方程式（たとえば、y =切片+勾配* x）を線形化できます。

線形化された方程式⁺⁺と回帰パラメーターが与えられると、次のように計算できます。

• Aインターセプト経由（ln(A)）
• Bスロープ経由（B）

線形化手法のまとめ

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

_{⁺注：指数関数の線形化は、ノイズが小さく、C = 0の場合に最適に機能します。注意して使用してください。}

_{⁺⁺注：xデータの変更は指数データの線形化に役立ちますが、yデータの変更はログデータの線形化に役立ちます。}

lmfit両方の問題を解決しながらの機能を示します。

与えられた

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

コード

アプローチ1- lmfitモデル

指数データに合わせる

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

アプローチ2-カスタムモデル

ログデータの適合

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

細部

1. 回帰クラスを選択する
2. 関数のドメインを尊重する名前付きの初期推測を提供する

推論されたパラメーターは、リグレッサオブジェクトから決定できます。例：

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

注：ExponentialModel()以下は、2つのパラメーターを受け入れる減衰関数の 1つです。

より多くのパラメーターExponentialGaussianModel()を受け入れるも参照してください。

を介してライブラリをインストールします> pip install lmfit。

Wolframは指数関数をフィッティングするための閉じた形のソリューションを持っています。また、対数およびべき乗則をフィッティングするための同様のソリューションがあります。

これはscipyのcurve_fitよりもうまく機能することがわかりました。次に例を示します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()