あなたの再現手順によると、アプリケーションのプロパティで出力パスを変更することが、アプリケーションを作成した後の唯一の変更であると想定しました。この変更が行う唯一のことは、MSBuildの出力アセンブリを新しいフォルダーに配置するようにVisual Studioに指示することです。ただし、実行時には、ASP.Netは、\ binフォルダーではなく、この新しいフォルダーからアセンブリを読み込む必要があるとは考えません。
この答えは、WebApiアプリケーションのビルド出力ディレクトリを変更する方法を示しています。その投稿で示されたまったく同じエラーを取得するには、web.configの<system.codedom>セクション全体をコメント化する必要があります。そして、指示に従って出力パスを変更できます。
アプリケーションを動作させたら、<system.codedom>セクションのコメントを解除できます。アプリケーションでC#6の新しい構文をまったく使用しない場合は、アプリケーションからMicrosoft.CodeDom.Providers.DotNetCompilerPlatformをアンインストールできます。それ以外の場合は、ビルド後のイベントに次のコマンドラインを追加できます。
xcopy /Q /Y "$(TargetDir)roslyn\*.*" "$(TargetDir)..\roslyn\"
新しいCodeDomプロバイダーは、常に\ bin内の "\ roslyn"フォルダーを探します。上記のコマンドは回避策として機能し、\ roslynフォルダーを新しい出力フォルダーから\ binにコピーします。
しかし、私の実験では、Visual Studioの発行ツールは、出力パスの設定に関係なく、出力場所を展開場所の\ binフォルダーに発行しました。私はあなたのアプリケーションが実際の展開で動作するはずだと思います。