|| そして！可能なすべての論理式を作成するのに十分な演算子？

論理式は、( a && b ) （両方aとはbブール値を有する）のように書くことができる!(!a || !b)、例えば、。これ&&は「不必要」という意味ではありませんか？これは、すべての論理式が||and のみを使用して作成できることを意味し!ますか？

他の回答が指摘したようにはい、であって演算子のセット||とは、!ある機能的に完全な。これがその建設的な証明であり、ブール変数Aとの間の16の可能な論理接続をすべて表現するためにそれらを使用する方法を示していますB。

• 真：A || !A
• A NAND B：!A || !B
• BはAを意味します。!B || A
• AはBを意味します。!A || B
• AまたはB：A || B
• Bではない：!B
• Aではない：!A
• A XOR B：!(!A || B) || !(A || !B)
• A XNOR B：!(!A || !B) || !(A || B)
• A：A
• B：B
• A NOR B：!(A || B)
• AはBを意味しません。!(!A || B)
• BはAを意味しません。!(!B || A)
• AとB：!(!A || !B)
• 誤り：!(A || !A)

NANDとNORの両方がそれ自体機能的に完全であることに注意してください（上記と同じ方法を使用して証明できます）。したがって、オペレーターのセットが機能的に完全であることを確認したい場合は、NANDまたはNORのいずれかを表現できることを示すだけで十分です。それと。

上記の各接続詞のベン図を示すグラフは次のとおりです。

[ ソース ]

あなたが説明しているのは機能の完全性です。

これは、「可能なすべての真理値表を表現する」のに十分な論理演算子のセットを記述します。Javaオペレーターセット{ ||、!}で十分です。これは、「最小の機能的に完全な演算子セット」のセクションにリストされているセット{∨、¬}に対応しています。

すべての真理値表のセットは、2つのブール値の間の演算の結果である可能性がある4つのブール値のすべての可能なセットを意味します。ブール値には2つの可能な値があるため、2 ^つの4または16の可能な真理値表があります。

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

ここで真理値表番号のテーブルは、（0-15）である||と!、それを生み出す組み合わせ、および説明。

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

Javaには対応する単一の演算子を持たない1つの要素セット{NAND}と{NOR}を含む、このような機能的に完全なセットが他にもたくさんあります。

はい。

すべての論理ゲートは、NORゲートから作成できます。

NORゲートはNOTおよびORから作成できるため、結果は次のようになります。

できれば、時間をかけてDeMorganの法則を読んでください。

そこにあるリーディングや論理的な証明への参照で答えを見つけるでしょう。

しかし、本質的には、答えはイエスです。

編集：明確にするために、私のポイントは、AND式からOR式を論理的に推論することができ、その逆も可能であるということです。論理的等価性と推論のための法律も他にもありますが、これは最も適切だと思います。

編集2：次の式の論理的等価性を示す真理値表による証明があります。

デモルガンの法則： !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | B | ！A | ！B | ！A || ！B | ！（！A ||！B）| A && B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________

NANDとNORは汎用的であり、どこでも必要な論理演算を構築するために使用できます。その他の演算子は、プログラミング言語で使用できるため、コードを簡単に記述し、読みやすくすることができます。

また、回路に組み込まれる必要があるすべての論理演算も、NANDまたはNORのみのICを使用して開発されます。

はい、ブール代数によれば、ブール関数はmintermsの合計またはmaxtermsの積として表すことができます。これは、正規形と呼ばれます。このようなロジックを、コンピューターサイエンスで使用されているのと同じ演算子に適用できない理由はありません。

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form