0.0と1.0の間にはいくつの倍数がありますか？

これは何年も頭に浮かんだことですが、前に尋ねる時間はありませんでした。

多くの（疑似）乱数ジェネレーターが0.0〜1.0の乱数を生成します。数学的には、この範囲には無限の数がありますdoubleが、浮動小数点数なので、精度は有限です。

だから質問は：

1. double0.0と1.0の間にいくつの数字があるのですか？
2. 1と2の間の数だけありますか？100から101の間？10 ^ 100と10 ^ 100 + 1の間？

注：違いがある場合はdouble、特にJavaの定義に興味があります。

Java doubleはIEEE-754形式であるため、52ビットの端数があります。したがって、2つの隣接する2の累乗（1を含み、次の1をdouble除く）の間には、2から52の累乗の異なるs（つまり、4503599627370496）があります。たとえば、これdoubleは0.5が含まれていることと1.0が除外されていることの明確なsの数であり、その多くは含まれている1.0と2.0が除外されていることも同様です。

doubles0.0と1.0 の間を数えることは、2のべき乗の間で行うよりも、その範囲に含まれる2のべき乗が多く、非正規化数の厄介な問題に遭遇するため、困難です。指数の11ビットの10が問題の範囲をカバーしているので、非正規化数（および私はいくつかの種類のものを含むNaN）を使用するとdouble、2のべき乗の間に1024倍のsが存在します- 2**62とにかく全体で。非正規化された＆cを除いて、数は1023倍になると思います2**52。

「100〜100.1」のような任意の範囲の場合、上限をaとして正確に表すことができないためdouble（2の累乗の正確な倍数ではないため）、さらに困難になります。便利な近似として、2の累乗間の進行は線形であるため、この範囲は0.1 / 64周囲の2の累乗（64と128）の間のスパンのthであると言えます。

(0.1 / 64) * 2**52

明確なdoubles-これは7036874417766.4004... 1つまたは2つを与えるか取る;-)。

double表現が間0x0000000000000000に0x3ff0000000000000あり、区間[0.0、1.0]内にあるすべての値。これは（2 ^ 62-2 ^ 52）の異なる値です（エンドポイントをカウントするかどうかに応じて、プラスまたはマイナスのカップル）。

区間[1.0、2.0]の間の表現に対応する0x3ff0000000000000と0x400000000000000、それは2 ^ 52の異なる値です。

間隔[100.0、101.0]は、0x4059000000000000との間の表現に対応し0x4059400000000000ます。それは2 ^ 46の異なる値です。

10 ^ 100と10 ^ 100 + 1の間には倍数はありません。これらの数値のどちらも倍精度で表現できず、それらの間にある倍精度はありません。最も近い2つの倍精度数は次のとおりです。

99999999999999982163600188718701095...

そして

10000000000000000159028911097599180...

[0.0、1.0]の範囲に約2 ^ 62の倍数があることをすでに説明している人もいます。
（本当に驚くべきことではない：ほとんどの2 ^ 64の異なる有限のダブルスがあり、これらのうち、半分は正であり、そして約半分のものを <1.0です。）

しかし、乱数ジェネレータについて言及します。0.0と1.0の間の数を生成する乱数ジェネレータは、一般にこれらのすべての数を生成できるわけではないことに注意してください。通常、n / 2整数のn / 2 ^ 53の形式の数値のみを生成します（たとえば、nextDoubleの Javaドキュメントを参照）。そのため、random()出力には通常、約2 ^ 53（含まれるエンドポイントに応じて+/- 1）の可能な値しかありません。つまり、[0.0、1.0]のほとんどのdoubleは生成されません。

記事Javaの新しい数学、パート2： IBMからの浮動小数点数は、これを解決するために次のコードスニペットを提供します（floatでですが、doubleでも機能すると思われます）。

public class FloatCounter {

    public static void main(String[] args) {
        float x = 1.0F;
        int numFloats = 0;
        while (x <= 2.0) {
            numFloats++;
            System.out.println(x);
            x = Math.nextUp(x);
        }
        System.out.println(numFloats);
    }
}

彼らはそれについてこのコメントを持っています：

1.0と2.0の間には正確に8,388,609の浮動小数点数があることがわかります。この範囲に存在する実数の数え切れないほどの無限大はほとんどありません。連続する数値は約0.0000001離れています。この距離は、精度が最も低い単位または最後の単位のULPと呼ばれます。

1. 2 ^ 53-隠しビットを含む64ビット浮動小数点数の仮数/仮数のサイズ。
2. sifnificandは固定されていますが、指数は変化するので、大体はい。

詳細については、ウィキペディアの記事を参照してください。

Javaのdoubleは、IEEE 754のbinary64数です。

つまり、次のことを考慮する必要があります。

1. 仮数は52ビット
2. 指数は、1023バイアスの11ビット数です（つまり、1023が追加されています）。
3. 指数がすべて0で仮数がゼロ以外の場合、数値は正規化されていないと言われます

これは基本的に、2 ^ 62-2 ^ 52 + 1の合計があり、規格に従って0と1の間である可能性がある二重表現であることを意味します。2^ 52 + 1は、正規化されていないケースを削除することに注意してください番号。

仮数が正であるが指数が負である場合、数値は正であるが1未満であることに注意してください。

他の数値の場合、IEEE 754表現ではエッジの整数が正確に表現できない可能性があるため、また、数値を表すために指数で使用される他のビットがあるため、少し難しいです。異なる値。