ビットシフトと加算のみを使用して乗算と除算を行うにはどうすればよいですか？

ビットシフトと加算のみを使用して乗算と除算を行うにはどうすればよいですか？

加算とシフトの観点から乗算するには、次のように、数値の1つを2の累乗で分解します。

21 * 5 = 10101_2 * 101_2             (Initial step)
       = 10101_2 * (1 * 2^2  +  0 * 2^1  +  1 * 2^0)
       = 10101_2 * 2^2 + 10101_2 * 2^0 
       = 10101_2 << 2 + 10101_2 << 0 (Decomposed)
       = 10101_2 * 4 + 10101_2 * 1
       = 10101_2 * 5
       = 21 * 5                      (Same as initial expression)

（_2基数2を意味します）

ご覧のとおり、乗算は加算とシフトに分解でき、また元に戻すことができます。これは、乗算がビットシフトや加算よりも時間がかかる理由でもあります。ビット数はO（n）ではなくO（n ^ 2）です。実際のコンピューターシステム（理論上のコンピューターシステムとは対照的に）のビット数は有限であるため、乗算は加算やシフトに比べて一定の倍数の時間がかかります。私が正しく思い出せば、最新のプロセッサは、適切にパイプライン化されていれば、プロセッサ内のALU（算術ユニット）の利用をいじることによって、加算とほぼ同じ速さで乗算を行うことができます。

アンドリュートゥールーズによる答えは、除算に拡張することができます。

整数定数による除算については、ヘンリーS.ウォーレンの著書「ハッカーのたのしみ」（ISBN 9780201914658）で詳しく説明されています。

分数を実装するための最初のアイデアは、基数2に分母の逆の値を書き込むことです。

例えば、 1/3 = (base-2) 0.0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 .....

したがって、 a/3 = (a >> 2) + (a >> 4) + (a >> 6) + ... + (a >> 30) 32ビット演算の場合。

明白な方法で用語を組み合わせると、操作の数を減らすことができます。

b = (a >> 2) + (a >> 4)

b += (b >> 4)

b += (b >> 8)

b += (b >> 16)

除算と剰余を計算するためのよりエキサイティングな方法があります。

編集1：

OPが定数による除算ではなく、任意の数の乗算と除算を意味する場合、このスレッドが役立つ可能性があります：https：//stackoverflow.com/a/12699549/1182653

EDIT2：

整数定数で除算する最も速い方法の1つは、モジュラー算術とモンゴメリリダクションを利用することです。整数を3で除算する最も速い方法は何ですか？

X * 2 = 1ビット左シフト
X / 2 = 1ビット右シフト
X * 3 =左シフト1ビットしてからXを追加

x << k == x multiplied by 2 to the power of k
x >> k == x divided by 2 to the power of k

これらのシフトを使用して、任意の乗算演算を実行できます。例えば：

x * 14 == x * 16 - x * 2 == (x << 4) - (x << 1)
x * 12 == x * 8 + x * 4 == (x << 3) + (x << 2)

数値を2の累乗以外で除算するために、低レベルのロジックを実装し、他の2項演算を使用し、何らかの形式の反復を使用する場合を除いて、簡単な方法はわかりません。

1. 1桁左シフトは、2を掛けるのに似ています。右シフトは、2で割るのに似ています。
2. ループに追加して乗算することができます。ループ変数と加算変数を正しく選択することで、パフォーマンスを制限できます。それを調べたら、PeasantMultiplicationを使用する必要があります

PythonコードをCに翻訳しました。与えられた例には小さな欠陥がありました。32ビットすべてを占める被除数の場合、シフトは失敗します。この問題を回避するために、内部で64ビット変数を使用しました。

int No_divide(int nDivisor, int nDividend, int *nRemainder)
{
    int nQuotient = 0;
    int nPos = -1;
    unsigned long long ullDivisor = nDivisor;
    unsigned long long ullDividend = nDividend;

    while (ullDivisor <  ullDividend)
    {
        ullDivisor <<= 1;
        nPos ++;
    }

    ullDivisor >>= 1;

    while (nPos > -1)
    {
        if (ullDividend >= ullDivisor)
        {
            nQuotient += (1 << nPos);
            ullDividend -= ullDivisor;
        }

        ullDivisor >>= 1;
        nPos -= 1;
    }

    *nRemainder = (int) ullDividend;

    return nQuotient;
}

シフトと加算を使用して整数を除算する手順は、小学校で教えられているように、10進数のロングハンド除算から簡単に導き出すことができます。桁が0と1のいずれかであるため、各商の桁の選択が簡略化されます。現在の剰余が除数以上の場合、部分商の最下位ビットは1です。

10進数のロングハンド除算と同様に、配当の桁は、一度に1桁ずつ、最上位から最下位まで考慮されます。これは、2進除算の左シフトによって簡単に実現できます。また、商ビットは、現在の商ビットを1桁左にシフトしてから、新しい商ビットを追加することによって収集されます。

古典的な配置では、これらの2つの左シフトは、1つのレジスタペアの左シフトに結合されます。上半分は現在の剰余を保持し、下半分の初期値は配当を保持します。被除数ビットが左シフトによって剰余レジスタに転送されると、下半分の未使用の最下位ビットが商ビットの累積に使用されます。

以下は、このアルゴリズムのx86アセンブリ言語とC実装です。シフト＆アド除算のこの特定のバリアントは、剰余が除数以上でない限り、現在の剰余から除数を減算しないため、「パフォーマンスなし」バリアントと呼ばれることがあります。Cでは、レジスタペアの左シフトでアセンブリバージョンによって使用されるキャリーフラグの概念はありません。代わりに、2 ⁿを法とする加算の結果は、実行があった場合にのみ加算するよりも小さくなる可能性があるという観察に基づいてエミュレートされます。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>

#define USE_ASM 0

#if USE_ASM
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
    uint32_t quot;
    __asm {
        mov  eax, [dividend];// quot = dividend
        mov  ecx, [divisor]; // divisor
        mov  edx, 32;        // bits_left
        mov  ebx, 0;         // rem
    $div_loop:
        add  eax, eax;       // (rem:quot) << 1
        adc  ebx, ebx;       //  ...
        cmp  ebx, ecx;       // rem >= divisor ?
        jb  $quot_bit_is_0;  // if (rem < divisor)
    $quot_bit_is_1:          // 
        sub  ebx, ecx;       // rem = rem - divisor
        add  eax, 1;         // quot++
    $quot_bit_is_0:
        dec  edx;            // bits_left--
        jnz  $div_loop;      // while (bits_left)
        mov  [quot], eax;    // quot
    }            
    return quot;
}
#else
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
    uint32_t quot, rem, t;
    int bits_left = CHAR_BIT * sizeof (uint32_t);

    quot = dividend;
    rem = 0;
    do {
            // (rem:quot) << 1
            t = quot;
            quot = quot + quot;
            rem = rem + rem + (quot < t);

            if (rem >= divisor) {
                rem = rem - divisor;
                quot = quot + 1;
            }
            bits_left--;
    } while (bits_left);
    return quot;
}
#endif

2つの数字、たとえば9と10を取り、それらを2進数（1001と1010）として記述します。

結果Rを0から始めます。

番号の1つ（この場合は1010）を取得し、それをAと呼び、1ビット右にシフトします。1をシフトアウトする場合は、最初の番号を追加します。これをBと呼びます。

ここで、Bを1ビット左にシフトし、すべてのビットがAからシフトアウトされるまで繰り返します。

書き出されているのを見ると、何が起こっているのかがわかりやすくなります。これが例です。

      0
   0000      0
  10010      1
 000000      0
1001000      1
 ------
1011010

ここから撮影。

これは除算専用です：

int add(int a, int b) {
        int partialSum, carry;
        do {
            partialSum = a ^ b;
            carry = (a & b) << 1;
            a = partialSum;
            b = carry;
        } while (carry != 0);
        return partialSum;
}

int subtract(int a, int b) {
    return add(a, add(~b, 1));
}

int division(int dividend, int divisor) {
        boolean negative = false;
        if ((dividend & (1 << 31)) == (1 << 31)) { // Check for signed bit
            negative = !negative;
            dividend = add(~dividend, 1);  // Negation
        }
        if ((divisor & (1 << 31)) == (1 << 31)) {
            negative = !negative;
            divisor = add(~divisor, 1);  // Negation
        }
        int quotient = 0;
        long r;
        for (int i = 30; i >= 0; i = subtract(i, 1)) {
            r = (divisor << i);
           // Left shift divisor until it's smaller than dividend
            if (r < Integer.MAX_VALUE && r >= 0) { // Avoid cases where comparison between long and int doesn't make sense
                if (r <= dividend) { 
                    quotient |= (1 << i);    
                    dividend = subtract(dividend, (int) r);
                }
            }
        }
        if (negative) {
            quotient = add(~quotient, 1);
        }
        return quotient;
}

それは基本的に基本パワー2で乗算と除算です

左にシフト= x * 2 ^ y

右シフト= x / 2 ^ y

shl eax、2 = 2 * 2 ^ 2 = 8

shr eax、3 = 2/2 ^ 3 = 1/4

これは乗算で機能するはずです：

.data

.text
.globl  main

main:

# $4 * $5 = $2

    addi $4, $0, 0x9
    addi $5, $0, 0x6

    add  $2, $0, $0 # initialize product to zero

Loop:   
    beq  $5, $0, Exit # if multiplier is 0,terminate loop
    andi $3, $5, 1 # mask out the 0th bit in multiplier
    beq  $3, $0, Shift # if the bit is 0, skip add
    addu $2, $2, $4 # add (shifted) multiplicand to product

Shift: 
    sll $4, $4, 1 # shift up the multiplicand 1 bit
    srl $5, $5, 1 # shift down the multiplier 1 bit
    j Loop # go for next  

Exit: #


EXIT: 
li $v0,10
syscall

以下の方法は、両方の数値が正であることを考慮した2進除算の実装です。減算が問題になる場合は、二項演算子を使用してそれを実装することもできます。

コード

-(int)binaryDivide:(int)numerator with:(int)denominator
{
    if (numerator == 0 || denominator == 1) {
        return numerator;
    }

    if (denominator == 0) {

        #ifdef DEBUG
            NSAssert(denominator==0, @"denominator should be greater then 0");
        #endif
        return INFINITY;
    }

    // if (numerator <0) {
    //     numerator = abs(numerator);
    // }

    int maxBitDenom = [self getMaxBit:denominator];
    int maxBitNumerator = [self getMaxBit:numerator];
    int msbNumber = [self getMSB:maxBitDenom ofNumber:numerator];

    int qoutient = 0;

    int subResult = 0;

    int remainingBits = maxBitNumerator-maxBitDenom;

    if (msbNumber >= denominator) {
        qoutient |=1;
        subResult = msbNumber - denominator;
    }
    else {
        subResult = msbNumber;
    }

    while (remainingBits > 0) {
        int msbBit = (numerator & (1 << (remainingBits-1)))>0?1:0;
        subResult = (subResult << 1) | msbBit;
        if(subResult >= denominator) {
            subResult = subResult - denominator;
            qoutient= (qoutient << 1) | 1;
        }
        else{
            qoutient = qoutient << 1;
        }
        remainingBits--;

    }
    return qoutient;
}

-(int)getMaxBit:(int)inputNumber
{
    int maxBit = 0;
    BOOL isMaxBitSet = NO;
    for (int i=0; i<sizeof(inputNumber)*8; i++) {
        if (inputNumber & (1<<i)) {
            maxBit = i;
            isMaxBitSet=YES;
        }
    }
    if (isMaxBitSet) {
        maxBit+=1;
    }
    return maxBit;
}


-(int)getMSB:(int)bits ofNumber:(int)number
{
    int numbeMaxBit = [self getMaxBit:number];
    return number >> (numbeMaxBit - bits);
}

乗算の場合：

-(int)multiplyNumber:(int)num1 withNumber:(int)num2
{
    int mulResult = 0;
    int ithBit;

    BOOL isNegativeSign = (num1<0 && num2>0) || (num1>0 && num2<0);
    num1 = abs(num1);
    num2 = abs(num2);


    for (int i=0; i<sizeof(num2)*8; i++)
    {
        ithBit =  num2 & (1<<i);
        if (ithBit>0) {
            mulResult += (num1 << i);
        }

    }

    if (isNegativeSign) {
        mulResult =  ((~mulResult)+1);
    }

    return mulResult;
}

16ビットx86ソリューションに興味のある人のために、ここにJasonKnightによるコードがあります1（彼には、私がテストしていない署名された乗算ピースも含まれています）。ただし、そのコードには、「add bx、bx」部分がオーバーフローする大きな入力に関する問題があります。

修正バージョン：

softwareMultiply:
;    INPUT  CX,BX
;   OUTPUT  DX:AX - 32 bits
; CLOBBERS  BX,CX,DI
    xor   ax,ax     ; cheap way to zero a reg
    mov   dx,ax     ; 1 clock faster than xor
    mov   di,cx
    or    di,bx     ; cheap way to test for zero on both regs
    jz    @done
    mov   di,ax     ; DI used for reg,reg adc
@loop:
    shr   cx,1      ; divide by two, bottom bit moved to carry flag
    jnc   @skipAddToResult
    add   ax,bx
    adc   dx,di     ; reg,reg is faster than reg,imm16
@skipAddToResult:
    add   bx,bx     ; faster than shift or mul
    adc   di,di
    or    cx,cx     ; fast zero check
    jnz   @loop
@done:
    ret

または、GCCインラインアセンブリでも同じです。

asm("mov $0,%%ax\n\t"
    "mov $0,%%dx\n\t"
    "mov %%cx,%%di\n\t"
    "or %%bx,%%di\n\t"
    "jz done\n\t"
    "mov %%ax,%%di\n\t"
    "loop:\n\t"
    "shr $1,%%cx\n\t"
    "jnc skipAddToResult\n\t"
    "add %%bx,%%ax\n\t"
    "adc %%di,%%dx\n\t"
    "skipAddToResult:\n\t"
    "add %%bx,%%bx\n\t"
    "adc %%di,%%di\n\t"
    "or %%cx,%%cx\n\t"
    "jnz loop\n\t"
    "done:\n\t"
    : "=d" (dx), "=a" (ax)
    : "b" (bx), "c" (cx)
    : "ecx", "edi"
);

これを試して。https://gist.github.com/swguru/5219592

import sys
# implement divide operation without using built-in divide operator
def divAndMod_slow(y,x, debug=0):
    r = 0
    while y >= x:
            r += 1
            y -= x
    return r,y 


# implement divide operation without using built-in divide operator
def divAndMod(y,x, debug=0):

    ## find the highest position of positive bit of the ratio
    pos = -1
    while y >= x:
            pos += 1
            x <<= 1
    x >>= 1
    if debug: print "y=%d, x=%d, pos=%d" % (y,x,pos)

    if pos == -1:
            return 0, y

    r = 0
    while pos >= 0:
            if y >= x:
                    r += (1 << pos)                        
                    y -= x                
            if debug: print "y=%d, x=%d, r=%d, pos=%d" % (y,x,r,pos)

            x >>= 1
            pos -= 1

    return r, y


if __name__ =="__main__":
    if len(sys.argv) == 3:
        y = int(sys.argv[1])
        x = int(sys.argv[2])
     else:
            y = 313271356
            x = 7

print "=== Slow Version ...."
res = divAndMod_slow( y, x)
print "%d = %d * %d + %d" % (y, x, res[0], res[1])

print "=== Fast Version ...."
res = divAndMod( y, x, debug=1)
print "%d = %d * %d + %d" % (y, x, res[0], res[1])