Cはsin（）やその他の数学関数をどのように計算しますか？

私は.NET逆アセンブリとGCCソースコードを調べてきましたが、実際の実装sin()や他の数学関数をどこにも見つけることができません...それらは常に何か他のものを参照しているようです。

誰かが私を見つけてくれますか？Cを実行するすべてのハードウェアがハードウェアのトリガー関数をサポートすることはありそうにないので、どこかにソフトウェアアルゴリズムがあるはずですよね？

私は関数を計算できるいくつかの方法を知っており、楽しみのためにテイラー級数を使用して関数を計算するための独自のルーチンを作成しました。私のアルゴリズムはかなり賢いと思いますが（明らかにそうではありません）、私の実装のすべてが常に数桁遅いので、実際のプロダクション言語がどのようにそれを行うかについて知りたいです。

GNU libmでは、の実装sinはシステムに依存しています。したがって、各プラットフォームの実装は、sysdepsの適切なサブディレクトリのどこかにあります。

1つのディレクトリーには、IBM提供のCでの実装が含まれています。2011年10月以降、これはsin()典型的なx86-64 Linuxシステムを呼び出したときに実際に実行されるコードです。どうやら、fsinアセンブリ命令よりも高速です。ソースコード：sysdeps / ieee754 / dbl-64 / s_sin.c、を探します__sin (double x)。

このコードは非常に複雑です。1つのソフトウェアアルゴリズムが可能な限り高速で、x値の範囲全体で正確でもないため、ライブラリはいくつかの異なるアルゴリズムを実装します。その最初の仕事は、xを調べて使用するアルゴリズムを決定することです。

• xが0 に非常に近い場合sin(x) == xは、正解です。

• 少し先にsin(x)、おなじみのテイラーシリーズを使用します。ただし、これは0付近でのみ正確であるため、...

• 角度が約7°を超えると、別のアルゴリズムが使用され、sin（x）とcos（x）の両方のテイラー級数近似が計算されます。次に、事前計算されたテーブルの値を使用して近似を調整します。

• いつ| x | > 2、上記のアルゴリズムはどれも機能しないため、コードは、0に近い、sinまたはcosその代わりにます。

• xがNaNまたは無限大であることを処理する別のブランチがあります。

このコードは、これまで見たことのない数値ハックを使用していますが、浮動小数点の専門家の間ではよく知られているかもしれません。時には、数行のコードで説明するのに数段落かかることがあります。たとえば、次の2行

double t = (x * hpinv + toint);
double xn = t - toint;

還元に（時々 ）に使用されるXを 0に値近くまでとは異なるX π/ 2の倍数で、具体的にはxn×π/ 2。分割や分岐なしでこれを行う方法は、かなり賢いです。しかし、コメントは一切ありません！

GCC / glibcの古い32ビットバージョンでは、 fsin命令をが、これは一部の入力では驚くほど不正確です。たった2行のコードでこれを説明する魅力的なブログ投稿があります。。

sin純粋なC でのfdlibmの実装は、glibc の実装よりもはるかに単純で、コメントが適切です。ソースコード：fdlibm / s_sin.cおよびfdlibm / k_sin.c

サインやコサインなどの機能は、マイクロプロセッサ内のマイクロコードに実装されています。たとえば、Intelチップにはこれらの組み立て手順があります。Cコンパイラは、これらのアセンブリ命令を呼び出すコードを生成します。（対照的に、Javaコンパイラーは動作しません。Javaはハードウェアではなくソフトウェアでトリガー関数を評価するため、実行速度が大幅に低下します。）

チップは、少なくとも完全にではなく、トリガー関数を計算するためにテイラー級数を使用しません。最初にCORDICを使用しますが、CORDICの結果を洗練するために、または非常に小さな角度で高い相対精度で正弦を計算するなどの特別な場合に、短いTaylorシリーズを使用することもできます。詳細については、このStackOverflowの回答をご覧ください。

OKキディ、プロの時間...これは、経験の浅いソフトウェアエンジニアに対する私の最大の不満の1つです。彼らは、超越関数をゼロから計算します（テイラーのシリーズを使用）。まるで、誰もこれまでにこれらの計算を行ったことがないかのように。違います。これは明確に定義された問題であり、非常に巧妙なソフトウェアおよびハードウェアエンジニアによって何千回もアプローチされてきており、明確に定義されたソリューションがあります。基本的に、超越関数のほとんどは、チェビシェフ多項式を使用して計算します。使用される多項式に関しては、状況によって異なります。まず、この問題に関する聖書は、ハートとチェイニーによる「Computer Approximations」と呼ばれる本です。その本では、ハードウェアの加算器、乗算器、除算器などがあるかどうかを判断し、どの演算が最も高速かを判断できます。たとえば、本当に速いディバイダーがあったら、サインを計算する最も速い方法は、P1（x）/ P2（x）です。ここで、P1、P2はチェビシェフ多項式です。高速除算器がない場合、それは単にP（x）になる可能性があります。ここで、PはP1またはP2よりもはるかに多くの項を持っています。したがって、最初のステップは、ハードウェアとそれができることを決定することです。次に、チェビシェフ多項式の適切な組み合わせを選択します（通常、コサインの場合はcos（ax）= aP（x）の形式で、ここでもPはチェビシェフ多項式です）。次に、必要な小数精度を決定します。たとえば、7桁の精度が必要な場合は、前述の本の適切な表を参照すると、（精度= 7.33の場合）数値N = 4および多項式番号3502が得られます。Nは、 N = 4であるため、多項式（つまり、p4.x ^ 4 + p3.x ^ 3 + p2.x ^ 2 + p1.x + p0です）。次に、p4、p3、p2、p1の実際の値を調べます。本の巻末の3502未満のp0値（浮動小数点になります）。次に、アルゴリズムを次の形式でソフトウェアに実装します：（（（p4.x + p3）.x + p2）.x + p1）.x + p0 ....これは、コサインを7桁の10進数に計算する方法ですそのハードウェア上の場所。

FPUでの超越演算のほとんどのハードウェア実装には、通常、いくつかのマイクロコードとこのような演算が含まれます（ハードウェアによって異なります）。チェビシェフ多項式は、すべてではなく、ほとんどの超越関数に使用されます。たとえば、平方根は、ルックアップテーブルを最初に使用して、ニュートンラフソン法の二重反復を使用する方が高速です。繰り返しますが、その本「コンピュータの近似」はあなたにそれを教えてくれます。

これらの機能を実装する予定がある場合は、その本のコピーを入手することをどなたにもお勧めします。それは本当にこれらの種類のアルゴリズムの聖書です。コーディックなどのこれらの値を計算するための代替手段がたくさんあることに注意してください。これらは、低い精度しか必要としない特定のアルゴリズムに最適な傾向があります。毎回精度を保証するには、チェビシェフ多項式が適しています。私が言ったように、明確に定義された問題。50年前から解決されています.....そしてそれがどのように行われたかです。

さて、言われているように、チェビシェフ多項式を使用して、低次の多項式で単精度の結果を得ることができるテクニックがあります（上記のコサインの例のように）。次に、「Galの正確なテーブル法」など、より大きな多項式に行かなくても値を補間して精度を上げる他の手法があります。この後者の手法は、ACM文献を参照する投稿が参照しているものです。しかし、最終的には、チェビシェフ多項式がそこに到達するための90％を達成するために使用されるものです。

楽しい。

ために sin具体的には、テイラー展開を使用すると、あなたを与えるだろう。

sin（x）：= x-x ^ 3/3！+ x ^ 5/5！-x ^ 7/7！+ ...（1）

それらの間の差が許容される許容レベルよりも低くなるまで、または有限量のステップ（高速ですが精度が低くなる）になるまで、用語を追加し続けます。例は次のようになります：

float sin(float x)
{
  float res=0, pow=x, fact=1;
  for(int i=0; i<5; ++i)
  {
    res+=pow/fact;
    pow*=-1*x*x;
    fact*=(2*(i+1))*(2*(i+1)+1);
  }

  return res;
}

注：（1）は、小さな角度の近似sin（x）= xのために機能します。角度が大きい場合、許容できる結果を得るには、より多くの項を計算する必要があります。while引数を使用して、一定の精度で続行できます。

double sin (double x){
    int i = 1;
    double cur = x;
    double acc = 1;
    double fact= 1;
    double pow = x;
    while (fabs(acc) > .00000001 &&   i < 100){
        fact *= ((2*i)*(2*i+1));
        pow *= -1 * x*x; 
        acc =  pow / fact;
        cur += acc;
        i++;
    }
    return cur;

}

はい、計算のためのソフトウェアアルゴリズムsinもあります。基本的に、これらの種類のものをデジタルコンピューターで計算するには、通常、テイラー級数を近似するような数値的方法を使用します、関数を表すます。

数値メソッドは、関数を任意の精度で近似することができます。浮動小数点数の精度は有限であるため、これらのタスクに非常に適しています。

テイラー級数を使用し、級数間の関係を見つけて、何度も計算しないようにします。

これは余弦の例です：

double cosinus(double x, double prec)
{
    double t, s ;
    int p;
    p = 0;
    s = 1.0;
    t = 1.0;
    while(fabs(t/s) > prec)
    {
        p++;
        t = (-t * x * x) / ((2 * p - 1) * (2 * p));
        s += t;
    }
    return s;
}

これを使用すると、すでに使用されているものを使用して合計の新しい項を取得できます（階乗とx ^2pは避けます）

それは複雑な問題です。x86ファミリのIntelライクなCPUには、sin()関数のハードウェア実装がありますが、x87 FPUの一部であり、64ビットモードでは使用されません（代わりにSSE2レジスタが使用されます）。そのモードでは、ソフトウェア実装が使用されます。

そこにいくつかのそのような実装があります。1つはfdlibmにあり、Javaで使用されます。私の知る限り、glibcの実装にはfdlibmの一部と、IBMが提供するその他の部分が含まれています。

超越関数のソフトウェア実装は、sin()通常、多項式による近似を使用します。これは、しばしばテイラー級数から取得されます。

チェビシェフ多項式は、別の回答で述べたように、関数と多項式の最大の差ができるだけ小さい多項式です。それは素晴らしいスタートです。

場合によっては、最大誤差は関心のあるものではなく、最大相対誤差です。たとえば、正弦関数の場合、x = 0付近の誤差は、大きな値の場合よりもはるかに小さくなければなりません。小さな相対誤差が必要です。したがって、sin x / xのチェビシェフ多項式を計算し、その多項式にxを乗算します。

次に、多項式を評価する方法を理解する必要があります。中間値が小さく、丸め誤差が小さくなるように評価したいとします。そうしないと、丸め誤差が多項式の誤差よりもはるかに大きくなる可能性があります。また、正弦関数などの関数では、不注意である場合、x <yであっても、sin xに対して計算した結果がsin yの結果よりも大きくなる可能性があります。したがって、計算順序を慎重に選択し、丸め誤差の上限を計算する必要があります。

たとえば、sin x = x-x ^ 3/6 + x ^ 5/120-x ^ 7/5040 ...単純にsin x = x *（1-x ^ 2/6 + x ^ 4 / 120 - X ^ / 5040 6 ...）、次いで括弧内の関数が減少していること、そしてそれがあろう yはxに次に大きい数である場合、時々 yは罪xより小さくなる罪を犯すことが起こります。代わりに、sin x = x-x ^ 3 *（1/6-x ^ 2/120 + x ^ 4/5040 ...）を計算してください。

たとえば、チェビシェフ多項式を計算するときは、通常、係数を倍精度に丸める必要があります。しかし、チェビシェフ多項式は最適ですが、倍精度に丸められた係数を持つチェビシェフ多項式は、倍精度係数を持つ最適多項式ではありません！

たとえば、sin（x）の場合、x、x ^ 3、x ^ 5、x ^ 7などの係数が必要です。次のようにします。多項式（ax + bx ^ 3 + cx ^ 5 + dx ^ 7）を倍精度より高くしてから、aを倍精度に丸め、Aを与えます。aとAの差は非常に大きくなります。次に、（sin x-Ax）の最良の近似を多項式（bx ^ 3 + cx ^ 5 + dx ^ 7）で計算します。aとAの差に適応するため、異なる係数が得られます。bを倍精度Bに丸めます。次に、（sin x-Ax-Bx ^ 3）を多項式cx ^ 5 + dx ^ 7で近似します。元のチェビシェフ多項式とほぼ同じ多項式が得られますが、倍精度に丸められたチェビシェフよりもはるかに優れています。

次に、多項式の選択で丸め誤差を考慮する必要があります。丸め誤差を無視した多項式で誤差が最小の多項式を見つけましたが、多項式と丸め誤差を最適化したいと考えています。チェビシェフ多項式を取得したら、丸め誤差の範囲を計算できます。たとえば、f（x）は関数、P（x）は多項式、E（x）は丸め誤差です。最適化したくない| f（x）-P（x）|、最適化したい| f（x）-P（x）+/- E（x）|。丸め誤差が大きい場合は多項式誤差を抑え、丸め誤差が小さい場合は多項式誤差を少し緩和するわずかに異なる多項式が得られます。

これにより、最後のビットの最大0.55倍の丸め誤差が簡単に得られます。ここで、+、-、*、/は、最後のビットの最大0.50倍の丸め誤差があります。

以下のような三角関数についてはsin()、cos()、tan()：高品質の三角関数の重要な側面で、5年後、何も言及がなかった範囲の減少。

これらの関数のいずれかの最初のステップは、角度をラジアンで2 *πの範囲に縮小することです。しかし、πは非合理的であるため、x = remainder(x, 2*M_PI)導入誤差のような単純な削減M_PI、またはマシンpiは、πの近似値です。だから、どうやってx = remainder(x, 2*π)？

初期のライブラリは、拡張された精度または細工されたプログラミングを使用して高品質の結果を提供しましたが、それでもの範囲は限られていますdouble。のように大きな値が要求された場合sin(pow(2,30))、結果は意味をなさないか0.0、エラーフラグがTLOSS完全な精度のPLOSS損失または部分的な精度の損失などに設定されている可能性があります。

大きな値を-πからπのような間隔に縮小することはsin()、自体のような基本的なトリガー関数の課題に匹敵する挑戦的な問題です。

優れたレポートは、巨大な引数に対する引数の削減です。問題を適切にカバーします。さまざまなプラットフォーム（SPARC、PC、HP、30以上）での必要性と状況について説明し、からまでのすべてに 高品質の結果をもたらすソリューションアルゴリズムを提供します。double-DBL_MAXDBL_MAX

元の引数が度単位であり、値が大きい可能性がある場合は、fmod()精度を上げるために最初に使用します。良いものfmod()はエラーを引き起こさないので、優れた範囲縮小を提供します。

// sin(degrees2radians(x))
sin(degrees2radians(fmod(x, 360.0))); // -360.0 < fmod(x,360) < +360.0

さまざまなトリガーIDがあり、remquo()さらに改善されています。サンプル：sind（）

ライブラリ関数の実際の実装は、特定のコンパイラやライブラリプロバイダ、またはその両方です。ハードウェアで行われるかソフトウェアで行われるか、テイラー展開であるかどうかなどは異なります。

私はそれが絶対に役に立たないことを理解しています。

通常、これらはソフトウェアで実装されており、ほとんどの場合、対応するハードウェア（つまり、アセンブリ）呼び出しを使用しません。ただし、Jasonが指摘したように、これらは実装固有のものです。

これらのソフトウェアルーチンはコンパイラソースの一部ではなく、clibやGNUコンパイラのglibcなどの対応するライブラリにあります。http://www.gnu.org/software/libc/manual/html_mono/libc.html#Trig-Functionsを参照してください

より詳細な制御が必要な場合は、必要なものを正確に慎重に評価する必要があります。典型的な方法のいくつかは、ルックアップテーブルの補間、アセンブリ呼び出し（多くの場合遅い）、または平方根のNewton-Raphsonなどの他の近似スキームです。

ハードウェアではなくソフトウェアでの実装が必要な場合は、この質問に対する明確な回答を探す場所は、数値レシピの第5章です。私のコピーは箱に入っているので詳細を述べることはできませんが、短いバージョン（私がこの権利を覚えている場合）はtan(theta/2)、プリミティブな操作として他の操作を計算することです。計算は級数近似で行われますが、これはテイラー級数よりもはるかに速く収束します。

申し訳ありませんが、本を手に入れずにこれ以上思い出すことはできません。

ソースにアクセスして、一般的に使用されているライブラリーで実際に誰かがそれをどのように実行したかを確認することに他なりません。特に1つのCライブラリの実装を見てみましょう。私はuLibCを選びました。

sin関数は次のとおりです。

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/s_sin.c

これは、いくつかの特殊なケースを処理し、入力を範囲[-pi / 4、pi / 4]にマップするために引数の削減を実行するように見えます（引数を2つの部分、大きな部分と末尾に分割します）。呼び出す前に

http://git.uclibc.org/uClibc/tree/libm/k_sin.c

次に、これらの2つの部分で動作します。テールがない場合は、次数13の多項式を使用して近似解が生成されます。テールがある場合は、次の原則に基づいて小さな修正が追加されます。sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')y

そのような関数が評価されるときはいつでも、あるレベルではおそらく次のいずれかが存在します：

• 補間された値のテーブル（高速で不正確なアプリケーション-コンピュータグラフィックスなど）
• 目的の値に収束するシリーズの評価---おそらくテイラーシリーズではなく、おそらくクレンショウカーティスのような派手な求積法に基づくものです。

ハードウェアサポートがない場合、コンパイラはおそらく後者の方法を使用し、acライブラリを使用するのではなく、アセンブラコードのみ（デバッグシンボルなし）を発行します---デバッガーで実際のコードを追跡するのは難しいです。

多くの人々が指摘したように、それは実装に依存しています。しかし、私があなたの質問を理解している限り、数学関数の実際のソフトウェア実装に興味を持っていましたが、それを見つけることができませんでした。これが事実である場合、あなたはここにいます：

• http://ftp.gnu.org/gnu/glibc/からglibcソースコードをダウンロードします。
• 解凍されたglibcルート \ sysdeps \ ieee754 \ dbl-64フォルダーにdosincos.cあるファイルを確認します
• 同様に、数学ライブラリの残りの実装を見つけることができます。適切な名前のファイルを探してください

.tbl拡張子が付いたファイルを確認することもできます。その内容は、バイナリ形式のさまざまな関数の事前計算された値の巨大なテーブルにすぎません。そのため、実装は非常に高速です。使用する系列のすべての係数を計算する代わりに、クイックルックアップを実行するだけで、はるかに高速です。ところで、彼らはTailorシリーズを使ってサインとコサインを計算しています。

これがお役に立てば幸いです。

sin()現在のx86プロセッサー（Intel Core 2 Duoとしましょう）でGCCのCコンパイラーを使用してコンパイルされたCプログラムの場合について、お答えします。

C言語で標準Cライブラリ（例えば、言語自体に含まれていない、一般的な数学関数を含みpow、sinそしてcos、電源のための正弦、それぞれ余弦）。ヘッダーはmath.hに含まれています。

現在GNU / Linuxシステムでは、これらのライブラリ関数はglibc（GNU libcまたはGNU Cライブラリ）によって提供されています。ただし、GCCコンパイラは、コンパイラフラグを使用して数学ライブラリ（libm.so）にリンクし、-lmこれらの数学関数の使用を有効にすることを求めています。標準Cライブラリに含まれていない理由がわかりません。これらは、浮動小数点関数のソフトウェアバージョン、つまり「ソフトフロート」になります。

余談：数学関数を分離する理由は歴史的であり、私が知る限り、おそらく共有ライブラリが利用可能になる前に、非常に古いUnixシステムで実行可能プログラムのサイズを削減することのみを目的としていました。

これでコンパイラは、標準のCライブラリ関数sin()（によって提供されるlibm.so）を最適化して、CPU / FPUの組み込みsin（）関数へのネイティブ命令の呼び出しに置き換えることができます。これは、FPU命令（FSINx86 / x87用）としてCore 2シリーズのような新しいプロセッサー（これはi486DXまでさかのぼります）。これは、gccコンパイラーに渡される最適化フラグに依存します。コンパイラーがi386以降のプロセッサーで実行されるコードを作成するように指示された場合、そのような最適化は行われません。-mcpu=486フラグは、このような最適化を行うために安全であることをコンパイラに通知します。

プログラムがsin（）関数のソフトウェアバージョンを実行すると、CORDICに基づいて実行されます（回転デジタルコンピュータを座標）またはBKMアルゴリズム、またはより多くの可能性が一般的に計算するのに使用されるようになりましたテーブルやパワーシリーズの計算そのような超越関数。[ソース：http : //en.wikipedia.org/wiki/Cordic#Application]

gccの最近のバージョン（約2.9x以降）には、sinの組み込みバージョンも用意されています。__builtin_sin()これは、最適化として、Cライブラリバージョンへの標準呼び出しを置き換えるために使用されます。

泥のようにはっきりしていると思いますが、期待していたよりも多くの情報が得られることを期待しています。

Cでこれらの関数の実際のGNU実装を確認する場合は、glibcの最新のトランクを確認してください。GNU C Libraryを参照してください。

Taylorシリーズを使用しないでください。上記の数人の人々が指摘したように、チェビシェフ多項式はより高速で正確です。ここに実装があります（元はZX Spectrum ROMから）：https : //albertveli.wordpress.com/2015/01/10/zx-sine/

サイン/コサイン/タンジェントの計算は、テイラー級数を使用するコードで実際に行うのが非常に簡単です。自分で書くには5秒ほどかかります。

ここでは、プロセス全体をこの式で要約できます。

以下は、私がC用に作成したルーチンの一部です。

double _pow(double a, double b) {
    double c = 1;
    for (int i=0; i<b; i++)
        c *= a;
    return c;
}

double _fact(double x) {
    double ret = 1;
    for (int i=1; i<=x; i++) 
        ret *= i;
    return ret;
}

double _sin(double x) {
    double y = x;
    double s = -1;
    for (int i=3; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _cos(double x) {
    double y = 1;
    double s = -1;
    for (int i=2; i<=100; i+=2) {
        y+=s*(_pow(x,i)/_fact(i));
        s *= -1;
    }  
    return y;
}
double _tan(double x) {
     return (_sin(x)/_cos(x));  
}

ブリンディの答えからのコードの改良版

#define EPSILON .0000000000001
// this is smallest effective threshold, at least on my OS (WSL ubuntu 18)
// possibly because factorial part turns 0 at some point
// and it happens faster then series element turns 0;
// validation was made against sin() from <math.h>
double ft_sin(double x)
{
    int k = 2;
    double r = x;
    double acc = 1;
    double den = 1;
    double num = x;

//  precision drops rapidly when x is not close to 0
//  so move x to 0 as close as possible
    while (x > PI)
        x -= PI;
    while (x < -PI)
        x += PI;
    if (x > PI / 2)
        return (ft_sin(PI - x));
    if (x < -PI / 2)
        return (ft_sin(-PI - x));
//  not using fabs for performance reasons
    while (acc > EPSILON || acc < -EPSILON)
    {
        num *= -x * x;
        den *= k * (k + 1);
        acc = num / den;
        r += acc;
        k += 2;
    }
    return (r);
}

これを行う方法の本質は、Gerald WheatleyによるApplied Numerical Analysisからのこの抜粋にあります。

ソフトウェアプログラムがコンピュータにまたはの値を取得するように要求したときに、 計算できる最も強力な関数が多項式である場合、どのようにして値を取得できるのか疑問に思いましたか？テーブルでこれらを調べて補間しません！むしろ、コンピュータは、値を非常に正確に与えるように調整された多項式から、多項式以外のすべての関数を近似します。

上記で言及すべきいくつかのポイントは、最初の数回の反復のみであるにもかかわらず、一部のアルゴリズムはテーブルから完全に補間することです。また、コンピュータがどのタイプの近似多項式を指定することなく、近似多項式を利用することについても言及しています。スレッドの他の人が指摘したように、この場合、チェビシェフ多項式はテイラー多項式よりも効率的です。

あなたがしたい場合はsin、その後

 __asm__ __volatile__("fsin" : "=t"(vsin) : "0"(xrads));

あなたがしたい場合はcos、その後

 __asm__ __volatile__("fcos" : "=t"(vcos) : "0"(xrads));

あなたがしたい場合はsqrt、その後

 __asm__ __volatile__("fsqrt" : "=t"(vsqrt) : "0"(value));

それでは、機械語命令が実行するのになぜ不正確なコードを使用するのでしょうか。