N以下のすべての素数をリストする最速の方法


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これは私が思いつく最高のアルゴリズムです。

def get_primes(n):
    numbers = set(range(n, 1, -1))
    primes = []
    while numbers:
        p = numbers.pop()
        primes.append(p)
        numbers.difference_update(set(range(p*2, n+1, p)))
    return primes

>>> timeit.Timer(stmt='get_primes.get_primes(1000000)', setup='import   get_primes').timeit(1)
1.1499958793645562

さらに速くできますか?

このコードには欠陥があります。numbersは順序付けられていないセットであるnumbers.pop()ため、セットから最小数を削除する保証はありません。それにもかかわらず、それはいくつかの入力番号に対して(少なくとも私にとっては)機能します:

>>> sum(get_primes(2000000))
142913828922L
#That's the correct sum of all numbers below 2 million
>>> 529 in get_primes(1000)
False
>>> 529 in get_primes(530)
True

問題のコードスニペットは、numbers = set(range(n、2、-2))のように宣言された数値の場合、はるかに高速です。しかし、sundaram3を倒すことはできません。ご質問ありがとうございます。
シェカール

3
回答に関数のPython 3バージョンがあるとよいでしょう。
Michael Foukarakis、2011

確かにこれを行うためのライブラリがあるので、自分でロールする必要はありません> xkcdは、Pythonがと同じくらい簡単であることを約束しましたimport antigravityrequire 'prime'; Prime.take(10)(ルビー)のようなものはありませんか?
大佐パニック

2
@ColonelPanicたまたまPy3のgithub.com/jaredks/pyprimesieveを更新し、PyPiに追加しました。それは確かにこれらよりも速いですが、桁違いではありません。
Jared、2015

3
@ColonelPanic:古い回答を編集して、古くなっていることを指摘することは適切だと思います。「受け入れられた」回答が最適ではなくなった場合は、2015年の更新でメモを質問に編集して、現在の最良の方法を紹介してください。
Peter Cordes

回答:


366

警告: timeitハードウェアやPythonのバージョンの違いにより、結果が異なる場合があります。

以下は、いくつかの実装を比較するスクリプトです。

私の関心をsieve_wheel_30にしてくれたstephanに感謝します。クレジットは、primesfrom2to、primesfrom3to、rwh_primes、rwh_primes1、およびrwh_primes2のRobert William Hanksに提供されます。

psycoを使用してテストされた単純なPythonメソッドの中で、n = 1000000の場合、 rwh_primes1が最も速くテストされました。

+---------------------+-------+
| Method              | ms    |
+---------------------+-------+
| rwh_primes1         | 43.0  |
| sieveOfAtkin        | 46.4  |
| rwh_primes          | 57.4  |
| sieve_wheel_30      | 63.0  |
| rwh_primes2         | 67.8  |    
| sieveOfEratosthenes | 147.0 |
| ambi_sieve_plain    | 152.0 |
| sundaram3           | 194.0 |
+---------------------+-------+

psycoなしでテストされたプレーンなPythonメソッドの中で、n = 1000000の場合、 rwh_primes2が最速でした。

+---------------------+-------+
| Method              | ms    |
+---------------------+-------+
| rwh_primes2         | 68.1  |
| rwh_primes1         | 93.7  |
| rwh_primes          | 94.6  |
| sieve_wheel_30      | 97.4  |
| sieveOfEratosthenes | 178.0 |
| ambi_sieve_plain    | 286.0 |
| sieveOfAtkin        | 314.0 |
| sundaram3           | 416.0 |
+---------------------+-------+

テストされたすべてのメソッドの中で、numpyを許可し、n = 1000000の場合、 primesfrom2toが最もテストされました。

+---------------------+-------+
| Method              | ms    |
+---------------------+-------+
| primesfrom2to       | 15.9  |
| primesfrom3to       | 18.4  |
| ambi_sieve          | 29.3  |
+---------------------+-------+

タイミングは次のコマンドを使用して測定されました:

python -mtimeit -s"import primes" "primes.{method}(1000000)"

{method}メソッド名のそれぞれに置き換えます。

primes.py:

#!/usr/bin/env python
import psyco; psyco.full()
from math import sqrt, ceil
import numpy as np

def rwh_primes(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * n
    for i in xrange(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i]:
            sieve[i*i::2*i]=[False]*((n-i*i-1)/(2*i)+1)
    return [2] + [i for i in xrange(3,n,2) if sieve[i]]

def rwh_primes1(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * (n/2)
    for i in xrange(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i/2]:
            sieve[i*i/2::i] = [False] * ((n-i*i-1)/(2*i)+1)
    return [2] + [2*i+1 for i in xrange(1,n/2) if sieve[i]]

def rwh_primes2(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Input n>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < n """
    correction = (n%6>1)
    n = {0:n,1:n-1,2:n+4,3:n+3,4:n+2,5:n+1}[n%6]
    sieve = [True] * (n/3)
    sieve[0] = False
    for i in xrange(int(n**0.5)/3+1):
      if sieve[i]:
        k=3*i+1|1
        sieve[      ((k*k)/3)      ::2*k]=[False]*((n/6-(k*k)/6-1)/k+1)
        sieve[(k*k+4*k-2*k*(i&1))/3::2*k]=[False]*((n/6-(k*k+4*k-2*k*(i&1))/6-1)/k+1)
    return [2,3] + [3*i+1|1 for i in xrange(1,n/3-correction) if sieve[i]]

def sieve_wheel_30(N):
    # http://zerovolt.com/?p=88
    ''' Returns a list of primes <= N using wheel criterion 2*3*5 = 30

Copyright 2009 by zerovolt.com
This code is free for non-commercial purposes, in which case you can just leave this comment as a credit for my work.
If you need this code for commercial purposes, please contact me by sending an email to: info [at] zerovolt [dot] com.'''
    __smallp = ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
    61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139,
    149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227,
    229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311,
    313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401,
    409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491,
    499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599,
    601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683,
    691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797,
    809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887,
    907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997)

    wheel = (2, 3, 5)
    const = 30
    if N < 2:
        return []
    if N <= const:
        pos = 0
        while __smallp[pos] <= N:
            pos += 1
        return list(__smallp[:pos])
    # make the offsets list
    offsets = (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 1)
    # prepare the list
    p = [2, 3, 5]
    dim = 2 + N // const
    tk1  = [True] * dim
    tk7  = [True] * dim
    tk11 = [True] * dim
    tk13 = [True] * dim
    tk17 = [True] * dim
    tk19 = [True] * dim
    tk23 = [True] * dim
    tk29 = [True] * dim
    tk1[0] = False
    # help dictionary d
    # d[a , b] = c  ==> if I want to find the smallest useful multiple of (30*pos)+a
    # on tkc, then I need the index given by the product of [(30*pos)+a][(30*pos)+b]
    # in general. If b < a, I need [(30*pos)+a][(30*(pos+1))+b]
    d = {}
    for x in offsets:
        for y in offsets:
            res = (x*y) % const
            if res in offsets:
                d[(x, res)] = y
    # another help dictionary: gives tkx calling tmptk[x]
    tmptk = {1:tk1, 7:tk7, 11:tk11, 13:tk13, 17:tk17, 19:tk19, 23:tk23, 29:tk29}
    pos, prime, lastadded, stop = 0, 0, 0, int(ceil(sqrt(N)))
    # inner functions definition
    def del_mult(tk, start, step):
        for k in xrange(start, len(tk), step):
            tk[k] = False
    # end of inner functions definition
    cpos = const * pos
    while prime < stop:
        # 30k + 7
        if tk7[pos]:
            prime = cpos + 7
            p.append(prime)
            lastadded = 7
            for off in offsets:
                tmp = d[(7, off)]
                start = (pos + prime) if off == 7 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 7 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 11
        if tk11[pos]:
            prime = cpos + 11
            p.append(prime)
            lastadded = 11
            for off in offsets:
                tmp = d[(11, off)]
                start = (pos + prime) if off == 11 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 11 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 13
        if tk13[pos]:
            prime = cpos + 13
            p.append(prime)
            lastadded = 13
            for off in offsets:
                tmp = d[(13, off)]
                start = (pos + prime) if off == 13 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 13 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 17
        if tk17[pos]:
            prime = cpos + 17
            p.append(prime)
            lastadded = 17
            for off in offsets:
                tmp = d[(17, off)]
                start = (pos + prime) if off == 17 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 17 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 19
        if tk19[pos]:
            prime = cpos + 19
            p.append(prime)
            lastadded = 19
            for off in offsets:
                tmp = d[(19, off)]
                start = (pos + prime) if off == 19 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 19 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 23
        if tk23[pos]:
            prime = cpos + 23
            p.append(prime)
            lastadded = 23
            for off in offsets:
                tmp = d[(23, off)]
                start = (pos + prime) if off == 23 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 23 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 29
        if tk29[pos]:
            prime = cpos + 29
            p.append(prime)
            lastadded = 29
            for off in offsets:
                tmp = d[(29, off)]
                start = (pos + prime) if off == 29 else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 29 else 0) + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # now we go back to top tk1, so we need to increase pos by 1
        pos += 1
        cpos = const * pos
        # 30k + 1
        if tk1[pos]:
            prime = cpos + 1
            p.append(prime)
            lastadded = 1
            for off in offsets:
                tmp = d[(1, off)]
                start = (pos + prime) if off == 1 else (prime * (const * pos + tmp) )//const
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
    # time to add remaining primes
    # if lastadded == 1, remove last element and start adding them from tk1
    # this way we don't need an "if" within the last while
    if lastadded == 1:
        p.pop()
    # now complete for every other possible prime
    while pos < len(tk1):
        cpos = const * pos
        if tk1[pos]: p.append(cpos + 1)
        if tk7[pos]: p.append(cpos + 7)
        if tk11[pos]: p.append(cpos + 11)
        if tk13[pos]: p.append(cpos + 13)
        if tk17[pos]: p.append(cpos + 17)
        if tk19[pos]: p.append(cpos + 19)
        if tk23[pos]: p.append(cpos + 23)
        if tk29[pos]: p.append(cpos + 29)
        pos += 1
    # remove exceeding if present
    pos = len(p) - 1
    while p[pos] > N:
        pos -= 1
    if pos < len(p) - 1:
        del p[pos+1:]
    # return p list
    return p

def sieveOfEratosthenes(n):
    """sieveOfEratosthenes(n): return the list of the primes < n."""
    # Code from: <dickinsm@gmail.com>, Nov 30 2006
    # http://groups.google.com/group/comp.lang.python/msg/f1f10ced88c68c2d
    if n <= 2:
        return []
    sieve = range(3, n, 2)
    top = len(sieve)
    for si in sieve:
        if si:
            bottom = (si*si - 3) // 2
            if bottom >= top:
                break
            sieve[bottom::si] = [0] * -((bottom - top) // si)
    return [2] + [el for el in sieve if el]

def sieveOfAtkin(end):
    """sieveOfAtkin(end): return a list of all the prime numbers <end
    using the Sieve of Atkin."""
    # Code by Steve Krenzel, <Sgk284@gmail.com>, improved
    # Code: https://web.archive.org/web/20080324064651/http://krenzel.info/?p=83
    # Info: http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Atkin
    assert end > 0
    lng = ((end-1) // 2)
    sieve = [False] * (lng + 1)

    x_max, x2, xd = int(sqrt((end-1)/4.0)), 0, 4
    for xd in xrange(4, 8*x_max + 2, 8):
        x2 += xd
        y_max = int(sqrt(end-x2))
        n, n_diff = x2 + y_max*y_max, (y_max << 1) - 1
        if not (n & 1):
            n -= n_diff
            n_diff -= 2
        for d in xrange((n_diff - 1) << 1, -1, -8):
            m = n % 12
            if m == 1 or m == 5:
                m = n >> 1
                sieve[m] = not sieve[m]
            n -= d

    x_max, x2, xd = int(sqrt((end-1) / 3.0)), 0, 3
    for xd in xrange(3, 6 * x_max + 2, 6):
        x2 += xd
        y_max = int(sqrt(end-x2))
        n, n_diff = x2 + y_max*y_max, (y_max << 1) - 1
        if not(n & 1):
            n -= n_diff
            n_diff -= 2
        for d in xrange((n_diff - 1) << 1, -1, -8):
            if n % 12 == 7:
                m = n >> 1
                sieve[m] = not sieve[m]
            n -= d

    x_max, y_min, x2, xd = int((2 + sqrt(4-8*(1-end)))/4), -1, 0, 3
    for x in xrange(1, x_max + 1):
        x2 += xd
        xd += 6
        if x2 >= end: y_min = (((int(ceil(sqrt(x2 - end))) - 1) << 1) - 2) << 1
        n, n_diff = ((x*x + x) << 1) - 1, (((x-1) << 1) - 2) << 1
        for d in xrange(n_diff, y_min, -8):
            if n % 12 == 11:
                m = n >> 1
                sieve[m] = not sieve[m]
            n += d

    primes = [2, 3]
    if end <= 3:
        return primes[:max(0,end-2)]

    for n in xrange(5 >> 1, (int(sqrt(end))+1) >> 1):
        if sieve[n]:
            primes.append((n << 1) + 1)
            aux = (n << 1) + 1
            aux *= aux
            for k in xrange(aux, end, 2 * aux):
                sieve[k >> 1] = False

    s  = int(sqrt(end)) + 1
    if s  % 2 == 0:
        s += 1
    primes.extend([i for i in xrange(s, end, 2) if sieve[i >> 1]])

    return primes

def ambi_sieve_plain(n):
    s = range(3, n, 2)
    for m in xrange(3, int(n**0.5)+1, 2): 
        if s[(m-3)/2]: 
            for t in xrange((m*m-3)/2,(n>>1)-1,m):
                s[t]=0
    return [2]+[t for t in s if t>0]

def sundaram3(max_n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/2073279#2073279
    numbers = range(3, max_n+1, 2)
    half = (max_n)//2
    initial = 4

    for step in xrange(3, max_n+1, 2):
        for i in xrange(initial, half, step):
            numbers[i-1] = 0
        initial += 2*(step+1)

        if initial > half:
            return [2] + filter(None, numbers)

################################################################################
# Using Numpy:
def ambi_sieve(n):
    # http://tommih.blogspot.com/2009/04/fast-prime-number-generator.html
    s = np.arange(3, n, 2)
    for m in xrange(3, int(n ** 0.5)+1, 2): 
        if s[(m-3)/2]: 
            s[(m*m-3)/2::m]=0
    return np.r_[2, s[s>0]]

def primesfrom3to(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Returns a array of primes, p < n """
    assert n>=2
    sieve = np.ones(n/2, dtype=np.bool)
    for i in xrange(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i/2]:
            sieve[i*i/2::i] = False
    return np.r_[2, 2*np.nonzero(sieve)[0][1::]+1]    

def primesfrom2to(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Input n>=6, Returns a array of primes, 2 <= p < n """
    sieve = np.ones(n/3 + (n%6==2), dtype=np.bool)
    sieve[0] = False
    for i in xrange(int(n**0.5)/3+1):
        if sieve[i]:
            k=3*i+1|1
            sieve[      ((k*k)/3)      ::2*k] = False
            sieve[(k*k+4*k-2*k*(i&1))/3::2*k] = False
    return np.r_[2,3,((3*np.nonzero(sieve)[0]+1)|1)]

if __name__=='__main__':
    import itertools
    import sys

    def test(f1,f2,num):
        print('Testing {f1} and {f2} return same results'.format(
            f1=f1.func_name,
            f2=f2.func_name))
        if not all([a==b for a,b in itertools.izip_longest(f1(num),f2(num))]):
            sys.exit("Error: %s(%s) != %s(%s)"%(f1.func_name,num,f2.func_name,num))

    n=1000000
    test(sieveOfAtkin,sieveOfEratosthenes,n)
    test(sieveOfAtkin,ambi_sieve,n)
    test(sieveOfAtkin,ambi_sieve_plain,n) 
    test(sieveOfAtkin,sundaram3,n)
    test(sieveOfAtkin,sieve_wheel_30,n)
    test(sieveOfAtkin,primesfrom3to,n)
    test(sieveOfAtkin,primesfrom2to,n)
    test(sieveOfAtkin,rwh_primes,n)
    test(sieveOfAtkin,rwh_primes1,n)         
    test(sieveOfAtkin,rwh_primes2,n)

スクリプトを実行すると、すべての実装で同じ結果が得られることがテストされます。


4
純粋なPython以外のコードに興味がある場合は、チェックアウトする必要があります。その型のメソッドをgmpy介して、素数をかなりサポートしています。next_primempz
Alex Martelli、2010年

1
pypyを使用している場合、これらのベンチマーク(psycoのベンチマーク)はかなりずれているように見えます。驚いたことに、pypyを使用すると、sieveOfEratosthenesとambi_sieve_plainが最速であることがわかりました。これは私が非派手
Ehsan Kia

1
ここの関数がpsycoもpypyもない純粋なpython のWikibooksのPG7.8にどのように対応しているのか疑問に思った場合:for n = 1000000:PG7.8:ループあたり4.93秒。rwh_primes1:ループあたり69ミリ秒; rwh_primes2:ループあたり57.1ミリ秒
過酷な2015

8
これをPyPyで更新できますか?psycoは死んでいて、PyPyはこれに取って代わりましたか?
noɥʇʎԀʎzɐɹƆ

3
これらの関数とタイミングをpython3用に更新できたら素晴らしいと思います。
cs95 2018年

135

より高速でメモリ単位の純粋なPythonコード:

def primes(n):
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * n
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i]:
            sieve[i*i::2*i]=[False]*((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2] + [i for i in range(3,n,2) if sieve[i]]

または半分のふるいから始める

def primes1(n):
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * (n//2)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = [False] * ((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2] + [2*i+1 for i in range(1,n//2) if sieve[i]]

より速く、より多くのメモリ単位のnumpyコード:

import numpy
def primesfrom3to(n):
    """ Returns a array of primes, 3 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//2, dtype=numpy.bool)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = False
    return 2*numpy.nonzero(sieve)[0][1::]+1

ふるいの3分の1から始まるより速いバリエーション:

import numpy
def primesfrom2to(n):
    """ Input n>=6, Returns a array of primes, 2 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//3 + (n%6==2), dtype=numpy.bool)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
        if sieve[i]:
            k=3*i+1|1
            sieve[       k*k//3     ::2*k] = False
            sieve[k*(k-2*(i&1)+4)//3::2*k] = False
    return numpy.r_[2,3,((3*numpy.nonzero(sieve)[0][1:]+1)|1)]

上記のコードの(コード化が難しい)pure-pythonバージョンは次のようになります。

def primes2(n):
    """ Input n>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < n """
    n, correction = n-n%6+6, 2-(n%6>1)
    sieve = [True] * (n//3)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
      if sieve[i]:
        k=3*i+1|1
        sieve[      k*k//3      ::2*k] = [False] * ((n//6-k*k//6-1)//k+1)
        sieve[k*(k-2*(i&1)+4)//3::2*k] = [False] * ((n//6-k*(k-2*(i&1)+4)//6-1)//k+1)
    return [2,3] + [3*i+1|1 for i in range(1,n//3-correction) if sieve[i]]

残念ながら、pure-pythonは割り当てを行うためのより単純で高速な派手な方法を採用しておらずlen()、ループ内での呼び出し[False]*len(sieve[((k*k)//3)::2*k])が遅すぎる。そのため、入力を修正して(より多くの数学を避けて)極端な(そして苦痛な)数学マジックを即興で行わなければなりませんでした。

個人的には、numpy(非常に広く使用されている)がPython標準ライブラリの一部ではなく、構文と速度の改善がPython開発者によって完全に見落とされているように見えるのは残念です。


2
NumpyはPython 3と互換性があるようになりました。Numpyが標準ライブラリにないという事実は、彼らが独自のリリースサイクルを持つことができるという点で優れています。
アダム

ただ配列にバイナリ値を格納するために私が提案するbitarray-ここで使用されるように(最も簡単プライムふるいのために、レースではない候補をここに!)stackoverflow.com/questions/31120986/...
ヒロの主人公

primesfrom2to()メソッドでキャストする場合、分割は括弧内にある必要がありますか?
355durch113 2015年

3
Python 3と互換性のある純粋なPythonバージョンの場合は、次のリンクにアクセスしてください。stackoverflow.com
Moebius

1
この吸盤は高速です。
スコット

42

ここに Pythonクックブックからのかなりきちんとしたサンプルがあります -そのURLで提案されている最速のバージョンは次のとおりです:

import itertools
def erat2( ):
    D = {  }
    yield 2
    for q in itertools.islice(itertools.count(3), 0, None, 2):
        p = D.pop(q, None)
        if p is None:
            D[q*q] = q
            yield q
        else:
            x = p + q
            while x in D or not (x&1):
                x += p
            D[x] = p

それは与えるでしょう

def get_primes_erat(n):
  return list(itertools.takewhile(lambda p: p<n, erat2()))

(私が好むように)pri.pyのこのコードを使用してシェルプロンプトで測定すると、次のようになります。

$ python2.5 -mtimeit -s'import pri' 'pri.get_primes(1000000)'
10 loops, best of 3: 1.69 sec per loop
$ python2.5 -mtimeit -s'import pri' 'pri.get_primes_erat(1000000)'
10 loops, best of 3: 673 msec per loop

したがって、Cookbookソリューションは2倍以上の速さであるように見えます。


1
@jbochi、あなたしている歓迎-クレジットを含むが、それを見てくださいURL:それは取った10のようにティム・ピーターズとレイモンドヘッティンガーとしてPythonのパフォーマンスの著名含め、総称してこのポイントにコードを改良するために、私たちの(私が書きました印刷されたクックブックを編集してからのレシピの最後のテキストですが、コーディングに関しては、私の貢献は他のものと同等でした)-結局、それは本当に微妙で細かく調整されたコードであり、それは驚くべきことではありません!-)
アレックスマルテッリ

@Alex:あなたのコードが私の「2倍」しかないことを知っていると、私はかなり誇りに思うでしょう。:) URLも非常に興味深い内容でした。再度、感謝します。
jbochi 2010年

そして、それはマイナーな変更でも、高速化することができます参照stackoverflow.com/questions/2211990/...
tzot

1
...そして、さらに1.2x〜1.3xのスピードアップ、O(n)からO(sqrt(n))へのメモリフットプリントの大幅な削減、および経験的な時間の複雑さの改善により、さらに高速化できます。入力に正方形が表示されるまで、dictを素数にします。ここでテストしてください
ネスは

28

SundaramのSieveを使用して、純粋なPythonの記録を破ったと思います。

def sundaram3(max_n):
    numbers = range(3, max_n+1, 2)
    half = (max_n)//2
    initial = 4

    for step in xrange(3, max_n+1, 2):
        for i in xrange(initial, half, step):
            numbers[i-1] = 0
        initial += 2*(step+1)

        if initial > half:
            return [2] + filter(None, numbers)

比較:

C:\USERS>python -m timeit -n10 -s "import get_primes" "get_primes.get_primes_erat(1000000)"
10 loops, best of 3: 710 msec per loop

C:\USERS>python -m timeit -n10 -s "import get_primes" "get_primes.daniel_sieve_2(1000000)"
10 loops, best of 3: 435 msec per loop

C:\USERS>python -m timeit -n10 -s "import get_primes" "get_primes.sundaram3(1000000)"
10 loops, best of 3: 327 msec per loop

1
関数の上部に "zero = 0"を追加し、フィルターのラムダを "zero .__ sub__"に置き換えることで、関数を約20%高速化することができました。世界で最も
かわいらしい

1
@truppo:コメントをありがとう!私はちょうど渡すことに気づいたNone元の関数の動作の代わりに、それはより速くよりもだzero.__sub__
jbochi

7
合格すればsundaram3(9)戻ることをご存知[2, 3, 5, 7, 9]ですか?多数(おそらくすべて)の奇数(これが素数でない場合でも)でこれを行うようです
wrhall

1
問題があります:sundaram3(7071)には7071が含まれていますが、素数ではありません
bigOther

18

アルゴリズムは高速ですが、重大な欠陥があります。

>>> sorted(get_primes(530))
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163,
167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251,
257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443,
449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 527, 529]
>>> 17*31
527
>>> 23*23
529

あなたはそれnumbers.pop()がセットの最小数を返すと仮定しますが、これはまったく保証されていません。セットは順序付けされておらずpop()任意の要素を削除して返すため、残りの数値から次の素数を選択するために使用することはできません。


17

以下のために本当に十分大きなNとの最速のソリューションダウンロードすることです素数の予め計算されたリストを、タプルとして保存し、のようなものを実行します。

for pos,i in enumerate(primes):
    if i > N:
        print primes[:pos]

場合N > primes[-1] にのみ、より多くの素数を計算し、あなたのコードで新しいリストを保存するので、次回はそれが速いとしても同様です。

常に枠の外で考えます。


9
ただし、公平に言うと、素数をダウンロード、解凍、フォーマットする時間を数えて、アルゴリズムを使用して素数を生成する時間と比較する必要があります。これらのアルゴリズムのいずれでも、後で結果をファイルに簡単に書き込むことができます。使用する。その場合、982,451,653未満のすべての素数を実際に計算するのに十分なメモリがあれば、numpyソリューションの方がより高速になると思います。
ダニエル・G

3
@ダニエル正解。しかし、あなたが持っているもの、必要なときにいつでも続くものはまだ立っています...
Kimvais

@Daniel GIは、ダウンロード時間は重要ではないと考えています。それは実際に数値を生成することではないので、ダウンロードしているリストを作成するために使用されたアルゴリズムを考慮する必要があります。そして、どんな時間の複雑さでも、O(n)が与えられれば、一度のファイル転送は無視されます。
ロス

UTM素数ページのFAQは、小さい素数を計算する方がディスクから読み取るよりも速いことを示唆しています(問題はどのような小さな手段かということです)。
バットマン

12

ホイールを作り直したくない場合は、シンボリック数学ライブラリsympyをインストールできます(はい、それはPython 3互換です)。

pip install sympy

そして、primerange関数を使用します。

from sympy import sieve
primes = list(sieve.primerange(1, 10**6))

8

itertoolsを受け入れてもnumpyを受け入れない場合は、Python 3用のrwh_primes2を適応させて、私のマシンで約2倍の速度で実行します。唯一の大きな変更は、ブール値のリストの代わりにバイト配列を使用し、リストの内包表記の代わりに圧縮を使用して最終的なリストを作成することです。(できれば、これをmoarningsunのようなコメントとして追加します。)

import itertools
izip = itertools.zip_longest
chain = itertools.chain.from_iterable
compress = itertools.compress
def rwh_primes2_python3(n):
    """ Input n>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < n """
    zero = bytearray([False])
    size = n//3 + (n % 6 == 2)
    sieve = bytearray([True]) * size
    sieve[0] = False
    for i in range(int(n**0.5)//3+1):
      if sieve[i]:
        k=3*i+1|1
        start = (k*k+4*k-2*k*(i&1))//3
        sieve[(k*k)//3::2*k]=zero*((size - (k*k)//3 - 1) // (2 * k) + 1)
        sieve[  start ::2*k]=zero*((size -   start  - 1) // (2 * k) + 1)
    ans = [2,3]
    poss = chain(izip(*[range(i, n, 6) for i in (1,5)]))
    ans.extend(compress(poss, sieve))
    return ans

比較:

>>> timeit.timeit('primes.rwh_primes2(10**6)', setup='import primes', number=1)
0.0652179726976101
>>> timeit.timeit('primes.rwh_primes2_python3(10**6)', setup='import primes', number=1)
0.03267321276325674

そして

>>> timeit.timeit('primes.rwh_primes2(10**8)', setup='import primes', number=1)
6.394284538007014
>>> timeit.timeit('primes.rwh_primes2_python3(10**8)', setup='import primes', number=1)
3.833829450302801

非常にクールな実装。:)
クリッシュ

7

独自の素数を見つけるコードを書くことは有益ですが、手元にある高速で信頼できるライブラリを用意しておくことも役に立ちます。C ++ライブラリprimesieveのラッパーを書いて、primesieeve-pythonという名前を付けました

それを試してみてください pip install primesieve

import primesieve
primes = primesieve.generate_primes(10**8)

速度を比較したいと思います。


それは正確にはOPが注文したものではありませんが、なぜ反対票を投じたのかはわかりません。他の外部モジュールとは異なり、2.8秒のソリューションです。ソースでスレッド化されていることに気付きましたが、それがどれほど適切にスケーリングされているかについてのテストはありましたか?
ljetibo 2015

@ljetibo乾杯。ボトルネックがC ++ベクトルをPythonリストにコピーしているように見えるため、count_primes関数は非常に高速ですgenerate_primes
パニック大佐

私のコンピューターでは、1e8までの素数を快適に生成でき(1e9にMemoryErrorを与えます)、1e10までの素数をカウントできます。上記の@HappyLeapSecondは1e6のアルゴリズムを比較します
大佐パニック

7

ここに、最速の関数の1つを更新した(純粋なPython 3.6)バージョンを2つ示します。

from itertools import compress

def rwh_primes1v1(n):
    """ Returns  a list of primes < n for n > 2 """
    sieve = bytearray([True]) * (n//2)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = bytearray((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2,*compress(range(3,n,2), sieve[1:])]

def rwh_primes1v2(n):
    """ Returns a list of primes < n for n > 2 """
    sieve = bytearray([True]) * (n//2+1)
    for i in range(1,int(n**0.5)//2+1):
        if sieve[i]:
            sieve[2*i*(i+1)::2*i+1] = bytearray((n//2-2*i*(i+1))//(2*i+1)+1)
    return [2,*compress(range(3,n,2), sieve[1:])]

1
Python 3では、この関数stackoverflow.com/a/3035188/7799269を使用しましたが、/を//に置き換え、xrangeをrangeに置き換えました。
samerivertwice

4

N <9,080,191であるという仮定に基づくMiller-Rabinの素数性テストの確定的な実装

import sys
import random

def miller_rabin_pass(a, n):
    d = n - 1
    s = 0
    while d % 2 == 0:
        d >>= 1
        s += 1

    a_to_power = pow(a, d, n)
    if a_to_power == 1:
        return True
    for i in xrange(s-1):
        if a_to_power == n - 1:
            return True
        a_to_power = (a_to_power * a_to_power) % n
    return a_to_power == n - 1


def miller_rabin(n):
    for a in [2, 3, 37, 73]:
      if not miller_rabin_pass(a, n):
        return False
    return True


n = int(sys.argv[1])
primes = [2]
for p in range(3,n,2):
  if miller_rabin(p):
    primes.append(p)
print len(primes)

ウィキペディアの記事(http://en.wikipedia.org/wiki/Miller–Rabin_primality_test)によると、N <9,080,191をa = 2,3,37でテストすると、Nが複合であるかどうかを判断するには73で十分です。

そして、私はここにある元のミラーラビンのテストの確率論的実装からのソースコードを適合させました:http : //en.literateprograms.org/Miller-Rabin_primality_test_(Python)


1
Miller-Rabin素数性テストに感謝しますが、このコードは実際には遅く、正しい結果を提供していません。37は素数で、テストに合格しません。
jbochi

37は特殊なケースの1つだと思います。私は決定論的なバージョンに期待していましたが:)
Ruggiero Spearman 2010年

ラビンミラーの特別なケースはありません。
ミスガイド2013年

2
あなたは記事を読み間違えた。37ではなく31です。これが、実装が失敗する理由です。
Logan

4

Nを制御できる場合、すべての素数をリストする最も速い方法は、それらを事前計算することです。真剣に。事前計算は最適化を見落とす方法です。


3
または、primes.utm.edu / lists / small / millionsからダウンロードしてください。ただし、Pythonの制限をテストして、最適化によって美しいコードが出現するかどうかを確認するのが目的です。
jbochi

4

Pythonで素数を生成するために通常使用するコードは次のとおりです。

$ python -mtimeit -s'import sieve' 'sieve.sieve(1000000)' 
10 loops, best of 3: 445 msec per loop
$ cat sieve.py
from math import sqrt

def sieve(size):
 prime=[True]*size
 rng=xrange
 limit=int(sqrt(size))

 for i in rng(3,limit+1,+2):
  if prime[i]:
   prime[i*i::+i]=[False]*len(prime[i*i::+i])

 return [2]+[i for i in rng(3,size,+2) if prime[i]]

if __name__=='__main__':
 print sieve(100)

ここに掲載されているより高速なソリューションと競合することはできませんが、少なくとも純粋なpythonです。

この質問を投稿していただきありがとうございます。今日は本当にたくさん学びました。


3

最速のコードには、numpyソリューションが最適です。ただし、純粋に学術的な理由で、私は純粋なpythonバージョンを投稿しています。これは、上記のクックブックバージョンよりも50%少し速いです。リスト全体をメモリに作成するので、すべてを保持するのに十分なスペースが必要ですが、それはかなり適切にスケーリングされるようです。

def daniel_sieve_2(maxNumber):
    """
    Given a number, returns all numbers less than or equal to
    that number which are prime.
    """
    allNumbers = range(3, maxNumber+1, 2)
    for mIndex, number in enumerate(xrange(3, maxNumber+1, 2)):
        if allNumbers[mIndex] == 0:
            continue
        # now set all multiples to 0
        for index in xrange(mIndex+number, (maxNumber-3)/2+1, number):
            allNumbers[index] = 0
    return [2] + filter(lambda n: n!=0, allNumbers)

そして結果:

>>>mine = timeit.Timer("daniel_sieve_2(1000000)",
...                    "from sieves import daniel_sieve_2")
>>>prev = timeit.Timer("get_primes_erat(1000000)",
...                    "from sieves import get_primes_erat")
>>>print "Mine: {0:0.4f} ms".format(min(mine.repeat(3, 1))*1000)
Mine: 428.9446 ms
>>>print "Previous Best {0:0.4f} ms".format(min(prev.repeat(3, 1))*1000)
Previous Best 621.3581 ms

3

Numpyを使用したハーフシーブのわずかに異なる実装:

http://rebrained.com/?p=458

数学をインポートする
numpyをインポートする
def prime6(upto):
    primes = numpy.arange(3、upto + 1,2)
    isprime = numpy.ones((upto-1)/ 2、dtype = bool)
    素数の因数の場合[:int(math.sqrt(upto))]:
        if isprime [(factor-2)/ 2]:isprime [(factor * 3-2)/ 2:(upto-1)/ 2:factor] = 0
    numpy.insert(primes [isprime]、0,2)を返します

誰かがこれを他のタイミングと比較できますか?私のマシンでは、他のNumpyのふるいにかなり匹敵するようです。


upto=10**6primesfrom2to()-7 ms; prime6()-12 ms ideone.com/oDg2Y
jfs

3

すべて記述され、テストされています。したがって、ホイールを再発明する必要はありません。

python -m timeit -r10 -s"from sympy import sieve" "primes = list(sieve.primerange(1, 10**6))"

12.2ミリ秒を記録する記録を提供します。

10 loops, best of 10: 12.2 msec per loop

これが十分に速くない場合は、PyPyを試すことができます。

pypy -m timeit -r10 -s"from sympy import sieve" "primes = list(sieve.primerange(1, 10**6))"

その結果:

10 loops, best of 10: 2.03 msec per loop

247の賛成票での回答は、最良のソリューションとして15.9ミリ秒を示しています。これを比較してください!!!


3

私はいくつかのunutbuの関数をテストしました、私は数百万の数を使ってそれを計算しました

勝者はnumpyライブラリを使用する関数です。

:メモリ使用率テストを行うことも興味深いでしょう:)

計算時間結果

サンプルコード

githubリポジトリの完全なコード

#!/usr/bin/env python

import lib
import timeit
import sys
import math
import datetime

import prettyplotlib as ppl
import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt
from prettyplotlib import brewer2mpl

primenumbers_gen = [
    'sieveOfEratosthenes',
    'ambi_sieve',
    'ambi_sieve_plain',
    'sundaram3',
    'sieve_wheel_30',
    'primesfrom3to',
    'primesfrom2to',
    'rwh_primes',
    'rwh_primes1',
    'rwh_primes2',
]

def human_format(num):
    # /programming/579310/formatting-long-numbers-as-strings-in-python?answertab=active#tab-top
    magnitude = 0
    while abs(num) >= 1000:
        magnitude += 1
        num /= 1000.0
    # add more suffixes if you need them
    return '%.2f%s' % (num, ['', 'K', 'M', 'G', 'T', 'P'][magnitude])


if __name__=='__main__':

    # Vars
    n = 10000000 # number itereration generator
    nbcol = 5 # For decompose prime number generator
    nb_benchloop = 3 # Eliminate false positive value during the test (bench average time)
    datetimeformat = '%Y-%m-%d %H:%M:%S.%f'
    config = 'from __main__ import n; import lib'
    primenumbers_gen = {
        'sieveOfEratosthenes': {'color': 'b'},
        'ambi_sieve': {'color': 'b'},
        'ambi_sieve_plain': {'color': 'b'},
         'sundaram3': {'color': 'b'},
        'sieve_wheel_30': {'color': 'b'},
# # #        'primesfrom2to': {'color': 'b'},
        'primesfrom3to': {'color': 'b'},
        # 'rwh_primes': {'color': 'b'},
        # 'rwh_primes1': {'color': 'b'},
        'rwh_primes2': {'color': 'b'},
    }


    # Get n in command line
    if len(sys.argv)>1:
        n = int(sys.argv[1])

    step = int(math.ceil(n / float(nbcol)))
    nbs = np.array([i * step for i in range(1, int(nbcol) + 1)])
    set2 = brewer2mpl.get_map('Paired', 'qualitative', 12).mpl_colors

    print datetime.datetime.now().strftime(datetimeformat)
    print("Compute prime number to %(n)s" % locals())
    print("")

    results = dict()
    for pgen in primenumbers_gen:
        results[pgen] = dict()
        benchtimes = list()
        for n in nbs:
            t = timeit.Timer("lib.%(pgen)s(n)" % locals(), setup=config)
            execute_times = t.repeat(repeat=nb_benchloop,number=1)
            benchtime = np.mean(execute_times)
            benchtimes.append(benchtime)
        results[pgen] = {'benchtimes':np.array(benchtimes)}

fig, ax = plt.subplots(1)
plt.ylabel('Computation time (in second)')
plt.xlabel('Numbers computed')
i = 0
for pgen in primenumbers_gen:

    bench = results[pgen]['benchtimes']
    avgs = np.divide(bench,nbs)
    avg = np.average(bench, weights=nbs)

    # Compute linear regression
    A = np.vstack([nbs, np.ones(len(nbs))]).T
    a, b = np.linalg.lstsq(A, nbs*avgs)[0]

    # Plot
    i += 1
    #label="%(pgen)s" % locals()
    #ppl.plot(nbs, nbs*avgs, label=label, lw=1, linestyle='--', color=set2[i % 12])
    label="%(pgen)s avg" % locals()
    ppl.plot(nbs, a * nbs + b, label=label, lw=2, color=set2[i % 12])
print datetime.datetime.now().strftime(datetimeformat)

ppl.legend(ax, loc='upper left', ncol=4)

# Change x axis label
ax.get_xaxis().get_major_formatter().set_scientific(False)
fig.canvas.draw()
labels = [human_format(int(item.get_text())) for item in ax.get_xticklabels()]

ax.set_xticklabels(labels)
ax = plt.gca()

plt.show()

2
アルゴリズムのパフォーマンスを比較するには、対数-対数スケールでプロットすることをお勧めします
ネスは

3

Python 3の場合

def rwh_primes2(n):
    correction = (n%6>1)
    n = {0:n,1:n-1,2:n+4,3:n+3,4:n+2,5:n+1}[n%6]
    sieve = [True] * (n//3)
    sieve[0] = False
    for i in range(int(n**0.5)//3+1):
      if sieve[i]:
        k=3*i+1|1
        sieve[      ((k*k)//3)      ::2*k]=[False]*((n//6-(k*k)//6-1)//k+1)
        sieve[(k*k+4*k-2*k*(i&1))//3::2*k]=[False]*((n//6-(k*k+4*k-2*k*(i&1))//6-1)//k+1)
    return [2,3] + [3*i+1|1 for i in range(1,n//3-correction) if sieve[i]]

3

Pure Pythonで最速の素数ふるい

from itertools import compress

def half_sieve(n):
    """
    Returns a list of prime numbers less than `n`.
    """
    if n <= 2:
        return []
    sieve = bytearray([True]) * (n // 2)
    for i in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        if sieve[i // 2]:
            sieve[i * i // 2::i] = bytearray((n - i * i - 1) // (2 * i) + 1)
    primes = list(compress(range(1, n, 2), sieve))
    primes[0] = 2
    return primes

私は速度と記憶のためにエラトステネスのふるいを最適化しました。

基準

from time import clock
import platform

def benchmark(iterations, limit):
    start = clock()
    for x in range(iterations):
        half_sieve(limit)
    end = clock() - start
    print(f'{end/iterations:.4f} seconds for primes < {limit}')

if __name__ == '__main__':
    print(platform.python_version())
    print(platform.platform())
    print(platform.processor())
    it = 10
    for pw in range(4, 9):
        benchmark(it, 10**pw)

出力

>>> 3.6.7
>>> Windows-10-10.0.17763-SP0
>>> Intel64 Family 6 Model 78 Stepping 3, GenuineIntel
>>> 0.0003 seconds for primes < 10000
>>> 0.0021 seconds for primes < 100000
>>> 0.0204 seconds for primes < 1000000
>>> 0.2389 seconds for primes < 10000000
>>> 2.6702 seconds for primes < 100000000

2

初めてpythonを使用するので、これで使用する方法のいくつかは少し面倒に見えるかもしれません。私はまっすぐにc ++コードをpythonに変換しましたが、これは私が持っているものです(Pythonでは少し遅いですが)

#!/usr/bin/env python
import time

def GetPrimes(n):

    Sieve = [1 for x in xrange(n)]

    Done = False
    w = 3

    while not Done:

        for q in xrange (3, n, 2):
            Prod = w*q
            if Prod < n:
                Sieve[Prod] = 0
            else:
                break

        if w > (n/2):
            Done = True
        w += 2

    return Sieve



start = time.clock()

d = 10000000
Primes = GetPrimes(d)

count = 1 #This is for 2

for x in xrange (3, d, 2):
    if Primes[x]:
        count+=1

elapsed = (time.clock() - start)
print "\nFound", count, "primes in", elapsed, "seconds!\n"

pythonw Primes.py

12.799119秒で664579の素数が見つかりました!

#!/usr/bin/env python
import time

def GetPrimes2(n):

    Sieve = [1 for x in xrange(n)]

    for q in xrange (3, n, 2):
        k = q
        for y in xrange(k*3, n, k*2):
            Sieve[y] = 0

    return Sieve



start = time.clock()

d = 10000000
Primes = GetPrimes2(d)

count = 1 #This is for 2

for x in xrange (3, d, 2):
    if Primes[x]:
        count+=1

elapsed = (time.clock() - start)
print "\nFound", count, "primes in", elapsed, "seconds!\n"

pythonw Primes2.py

10.230172秒で664579の素数が見つかりました!

#!/usr/bin/env python
import time

def GetPrimes3(n):

    Sieve = [1 for x in xrange(n)]

    for q in xrange (3, n, 2):
        k = q
        for y in xrange(k*k, n, k << 1):
            Sieve[y] = 0

    return Sieve



start = time.clock()

d = 10000000
Primes = GetPrimes3(d)

count = 1 #This is for 2

for x in xrange (3, d, 2):
    if Primes[x]:
        count+=1

elapsed = (time.clock() - start)
print "\nFound", count, "primes in", elapsed, "seconds!\n"

python Primes2.py

7.113776秒で664579の素数が見つかりました!


2

競争が数年間閉鎖されていることを知っています。…

それにもかかわらず、これは、ふるいを前方に処理するときに適切な手順を使用して2、3、および5の倍数を省略することに基づく、純粋なpython素数ふるいに対する私の提案です。それにもかかわらず、N <10 ^ 9の場合、@ Robert William Hanksの優れたソリューションであるrwh_primes2およびrwh_primes1よりも実際には遅くなります。1.5 * 10 ^ 8を超えるctypes.c_ushortふるい配列を使用することで、メモリ制限にいくらか適応できます。

10 ^ 6

$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.primeSieveSeq(1000000)" 10ループ、3つのうち46.7ミリ秒

比較する:$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes1(1000000)" 10ループ、3つのうち43.2ミリ秒が比較対象:$ python -m timeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes2 (1000000) "10ループ、最高3:ループあたり34.5ミリ秒

10 ^ 7

$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.primeSieveSeq(10000000)" 10ループ、3のベスト:530ミリ秒/ループ

比較する:$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes1(10000000)" 10ループ、3つのうちの最高:494ミリ秒/比較:$ python -m timeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes2 (10000000) "10ループ、最高3:ループあたり375ミリ秒

10 ^ 8

$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.primeSieveSeq(100000000)" 10ループ、3:ループあたり5.55秒

比較する:$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes1(100000000)" 10ループ、3つのうちの比較に最適:5.33秒:python -m timeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes2 (100000000) "10ループ、最高3:ループあたり3.95秒

10 ^ 9

$ python -mtimeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.primeSieveSeq(1000000000)" 10ループ、3つのうち61.2

比較する:$ python -mtimeit -n 3 -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes1(1000000000)" 3ループ、3つのうちの最高:97.8 秒/ループ

比較する:$ python -m timeit -s "import primeSieveSpeedComp" "primeSieveSpeedComp.rwh_primes2(1000000000)" 10ループ、3つのうちの最高:41.9秒/ループ

以下のコードをubuntus primeSieveSpeedCompにコピーして、このテストを確認できます。

def primeSieveSeq(MAX_Int):
    if MAX_Int > 5*10**8:
        import ctypes
        int16Array = ctypes.c_ushort * (MAX_Int >> 1)
        sieve = int16Array()
        #print 'uses ctypes "unsigned short int Array"'
    else:
        sieve = (MAX_Int >> 1) * [False]
        #print 'uses python list() of long long int'
    if MAX_Int < 10**8:
        sieve[4::3] = [True]*((MAX_Int - 8)/6+1)
        sieve[12::5] = [True]*((MAX_Int - 24)/10+1)
    r = [2, 3, 5]
    n = 0
    for i in xrange(int(MAX_Int**0.5)/30+1):
        n += 3
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 2
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 1
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 2
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 1
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 2
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 3
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
        n += 1
        if not sieve[n]:
            n2 = (n << 1) + 1
            r.append(n2)
            n2q = (n2**2) >> 1
            sieve[n2q::n2] = [True]*(((MAX_Int >> 1) - n2q - 1) / n2 + 1)
    if MAX_Int < 10**8:
        return [2, 3, 5]+[(p << 1) + 1 for p in [n for n in xrange(3, MAX_Int >> 1) if not sieve[n]]]
    n = n >> 1
    try:
        for i in xrange((MAX_Int-2*n)/30 + 1):
            n += 3
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 2
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 1
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 2
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 1
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 2
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 3
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
            n += 1
            if not sieve[n]:
                r.append((n << 1) + 1)
    except:
        pass
    return r

テスト結果を視覚化し、それらを対数-対数スケールでプロットして、経験的な成長の順序確認して比較します。
ネス

入力のためのウィルのおかげ@、私は心の中で私は、このような比較を必要とする次の時間にこれを持っています
アブリ

1

以下は、複雑さ(長さnの配列のソートよりも低い)とベクトル化の両方を備えた、エラトステネスのSieveの派手なバージョンです。@unutbuの時間と比較すると、これは100万未満のすべての素数を見つけるための46マイクロ秒のパッケージと同じくらい高速です。

import numpy as np 
def generate_primes(n):
    is_prime = np.ones(n+1,dtype=bool)
    is_prime[0:2] = False
    for i in range(int(n**0.5)+1):
        if is_prime[i]:
            is_prime[i**2::i]=False
    return np.where(is_prime)[0]

タイミング:

import time    
for i in range(2,10):
    timer =time.time()
    generate_primes(10**i)
    print('n = 10^',i,' time =', round(time.time()-timer,6))

>> n = 10^ 2  time = 5.6e-05
>> n = 10^ 3  time = 6.4e-05
>> n = 10^ 4  time = 0.000114
>> n = 10^ 5  time = 0.000593
>> n = 10^ 6  time = 0.00467
>> n = 10^ 7  time = 0.177758
>> n = 10^ 8  time = 1.701312
>> n = 10^ 9  time = 19.322478

1

私はPython 3のコードの大部分を更新し、perfplot(私のプロジェクト)にそれを投げて、どれが実際に最速かを確認しました。大規模なn場合primesfrom{2,3}toは、ケーキを取る:

ここに画像の説明を入力してください


プロットを再現するコード:

import perfplot
from math import sqrt, ceil
import numpy as np
import sympy


def rwh_primes(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * n
    for i in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        if sieve[i]:
            sieve[i * i::2 * i] = [False] * ((n - i * i - 1) // (2 * i) + 1)
    return [2] + [i for i in range(3, n, 2) if sieve[i]]


def rwh_primes1(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Returns  a list of primes < n """
    sieve = [True] * (n // 2)
    for i in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        if sieve[i // 2]:
            sieve[i * i // 2::i] = [False] * ((n - i * i - 1) // (2 * i) + 1)
    return [2] + [2 * i + 1 for i in range(1, n // 2) if sieve[i]]


def rwh_primes2(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """Input n>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < n"""
    assert n >= 6
    correction = n % 6 > 1
    n = {0: n, 1: n - 1, 2: n + 4, 3: n + 3, 4: n + 2, 5: n + 1}[n % 6]
    sieve = [True] * (n // 3)
    sieve[0] = False
    for i in range(int(n ** 0.5) // 3 + 1):
        if sieve[i]:
            k = 3 * i + 1 | 1
            sieve[((k * k) // 3)::2 * k] = [False] * (
                (n // 6 - (k * k) // 6 - 1) // k + 1
            )
            sieve[(k * k + 4 * k - 2 * k * (i & 1)) // 3::2 * k] = [False] * (
                (n // 6 - (k * k + 4 * k - 2 * k * (i & 1)) // 6 - 1) // k + 1
            )
    return [2, 3] + [3 * i + 1 | 1 for i in range(1, n // 3 - correction) if sieve[i]]


def sieve_wheel_30(N):
    # http://zerovolt.com/?p=88
    """ Returns a list of primes <= N using wheel criterion 2*3*5 = 30

Copyright 2009 by zerovolt.com
This code is free for non-commercial purposes, in which case you can just leave this comment as a credit for my work.
If you need this code for commercial purposes, please contact me by sending an email to: info [at] zerovolt [dot] com."""
    __smallp = (
        2,
        3,
        5,
        7,
        11,
        13,
        17,
        19,
        23,
        29,
        31,
        37,
        41,
        43,
        47,
        53,
        59,
        61,
        67,
        71,
        73,
        79,
        83,
        89,
        97,
        101,
        103,
        107,
        109,
        113,
        127,
        131,
        137,
        139,
        149,
        151,
        157,
        163,
        167,
        173,
        179,
        181,
        191,
        193,
        197,
        199,
        211,
        223,
        227,
        229,
        233,
        239,
        241,
        251,
        257,
        263,
        269,
        271,
        277,
        281,
        283,
        293,
        307,
        311,
        313,
        317,
        331,
        337,
        347,
        349,
        353,
        359,
        367,
        373,
        379,
        383,
        389,
        397,
        401,
        409,
        419,
        421,
        431,
        433,
        439,
        443,
        449,
        457,
        461,
        463,
        467,
        479,
        487,
        491,
        499,
        503,
        509,
        521,
        523,
        541,
        547,
        557,
        563,
        569,
        571,
        577,
        587,
        593,
        599,
        601,
        607,
        613,
        617,
        619,
        631,
        641,
        643,
        647,
        653,
        659,
        661,
        673,
        677,
        683,
        691,
        701,
        709,
        719,
        727,
        733,
        739,
        743,
        751,
        757,
        761,
        769,
        773,
        787,
        797,
        809,
        811,
        821,
        823,
        827,
        829,
        839,
        853,
        857,
        859,
        863,
        877,
        881,
        883,
        887,
        907,
        911,
        919,
        929,
        937,
        941,
        947,
        953,
        967,
        971,
        977,
        983,
        991,
        997,
    )
    # wheel = (2, 3, 5)
    const = 30
    if N < 2:
        return []
    if N <= const:
        pos = 0
        while __smallp[pos] <= N:
            pos += 1
        return list(__smallp[:pos])
    # make the offsets list
    offsets = (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 1)
    # prepare the list
    p = [2, 3, 5]
    dim = 2 + N // const
    tk1 = [True] * dim
    tk7 = [True] * dim
    tk11 = [True] * dim
    tk13 = [True] * dim
    tk17 = [True] * dim
    tk19 = [True] * dim
    tk23 = [True] * dim
    tk29 = [True] * dim
    tk1[0] = False
    # help dictionary d
    # d[a , b] = c  ==> if I want to find the smallest useful multiple of (30*pos)+a
    # on tkc, then I need the index given by the product of [(30*pos)+a][(30*pos)+b]
    # in general. If b < a, I need [(30*pos)+a][(30*(pos+1))+b]
    d = {}
    for x in offsets:
        for y in offsets:
            res = (x * y) % const
            if res in offsets:
                d[(x, res)] = y
    # another help dictionary: gives tkx calling tmptk[x]
    tmptk = {1: tk1, 7: tk7, 11: tk11, 13: tk13, 17: tk17, 19: tk19, 23: tk23, 29: tk29}
    pos, prime, lastadded, stop = 0, 0, 0, int(ceil(sqrt(N)))

    # inner functions definition
    def del_mult(tk, start, step):
        for k in range(start, len(tk), step):
            tk[k] = False

    # end of inner functions definition
    cpos = const * pos
    while prime < stop:
        # 30k + 7
        if tk7[pos]:
            prime = cpos + 7
            p.append(prime)
            lastadded = 7
            for off in offsets:
                tmp = d[(7, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 7
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 7 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 11
        if tk11[pos]:
            prime = cpos + 11
            p.append(prime)
            lastadded = 11
            for off in offsets:
                tmp = d[(11, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 11
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 11 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 13
        if tk13[pos]:
            prime = cpos + 13
            p.append(prime)
            lastadded = 13
            for off in offsets:
                tmp = d[(13, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 13
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 13 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 17
        if tk17[pos]:
            prime = cpos + 17
            p.append(prime)
            lastadded = 17
            for off in offsets:
                tmp = d[(17, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 17
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 17 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 19
        if tk19[pos]:
            prime = cpos + 19
            p.append(prime)
            lastadded = 19
            for off in offsets:
                tmp = d[(19, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 19
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 19 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 23
        if tk23[pos]:
            prime = cpos + 23
            p.append(prime)
            lastadded = 23
            for off in offsets:
                tmp = d[(23, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 23
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 23 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # 30k + 29
        if tk29[pos]:
            prime = cpos + 29
            p.append(prime)
            lastadded = 29
            for off in offsets:
                tmp = d[(29, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 29
                    else (prime * (const * (pos + 1 if tmp < 29 else 0) + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
        # now we go back to top tk1, so we need to increase pos by 1
        pos += 1
        cpos = const * pos
        # 30k + 1
        if tk1[pos]:
            prime = cpos + 1
            p.append(prime)
            lastadded = 1
            for off in offsets:
                tmp = d[(1, off)]
                start = (
                    (pos + prime)
                    if off == 1
                    else (prime * (const * pos + tmp)) // const
                )
                del_mult(tmptk[off], start, prime)
    # time to add remaining primes
    # if lastadded == 1, remove last element and start adding them from tk1
    # this way we don't need an "if" within the last while
    if lastadded == 1:
        p.pop()
    # now complete for every other possible prime
    while pos < len(tk1):
        cpos = const * pos
        if tk1[pos]:
            p.append(cpos + 1)
        if tk7[pos]:
            p.append(cpos + 7)
        if tk11[pos]:
            p.append(cpos + 11)
        if tk13[pos]:
            p.append(cpos + 13)
        if tk17[pos]:
            p.append(cpos + 17)
        if tk19[pos]:
            p.append(cpos + 19)
        if tk23[pos]:
            p.append(cpos + 23)
        if tk29[pos]:
            p.append(cpos + 29)
        pos += 1
    # remove exceeding if present
    pos = len(p) - 1
    while p[pos] > N:
        pos -= 1
    if pos < len(p) - 1:
        del p[pos + 1 :]
    # return p list
    return p


def sieve_of_eratosthenes(n):
    """sieveOfEratosthenes(n): return the list of the primes < n."""
    # Code from: <dickinsm@gmail.com>, Nov 30 2006
    # http://groups.google.com/group/comp.lang.python/msg/f1f10ced88c68c2d
    if n <= 2:
        return []
    sieve = list(range(3, n, 2))
    top = len(sieve)
    for si in sieve:
        if si:
            bottom = (si * si - 3) // 2
            if bottom >= top:
                break
            sieve[bottom::si] = [0] * -((bottom - top) // si)
    return [2] + [el for el in sieve if el]


def sieve_of_atkin(end):
    """return a list of all the prime numbers <end using the Sieve of Atkin."""
    # Code by Steve Krenzel, <Sgk284@gmail.com>, improved
    # Code: https://web.archive.org/web/20080324064651/http://krenzel.info/?p=83
    # Info: http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Atkin
    assert end > 0
    lng = (end - 1) // 2
    sieve = [False] * (lng + 1)

    x_max, x2, xd = int(sqrt((end - 1) / 4.0)), 0, 4
    for xd in range(4, 8 * x_max + 2, 8):
        x2 += xd
        y_max = int(sqrt(end - x2))
        n, n_diff = x2 + y_max * y_max, (y_max << 1) - 1
        if not (n & 1):
            n -= n_diff
            n_diff -= 2
        for d in range((n_diff - 1) << 1, -1, -8):
            m = n % 12
            if m == 1 or m == 5:
                m = n >> 1
                sieve[m] = not sieve[m]
            n -= d

    x_max, x2, xd = int(sqrt((end - 1) / 3.0)), 0, 3
    for xd in range(3, 6 * x_max + 2, 6):
        x2 += xd
        y_max = int(sqrt(end - x2))
        n, n_diff = x2 + y_max * y_max, (y_max << 1) - 1
        if not (n & 1):
            n -= n_diff
            n_diff -= 2
        for d in range((n_diff - 1) << 1, -1, -8):
            if n % 12 == 7:
                m = n >> 1
                sieve[m] = not sieve[m]
            n -= d

    x_max, y_min, x2, xd = int((2 + sqrt(4 - 8 * (1 - end))) / 4), -1, 0, 3
    for x in range(1, x_max + 1):
        x2 += xd
        xd += 6
        if x2 >= end:
            y_min = (((int(ceil(sqrt(x2 - end))) - 1) << 1) - 2) << 1
        n, n_diff = ((x * x + x) << 1) - 1, (((x - 1) << 1) - 2) << 1
        for d in range(n_diff, y_min, -8):
            if n % 12 == 11:
                m = n >> 1
                sieve[m] = not sieve[m]
            n += d

    primes = [2, 3]
    if end <= 3:
        return primes[: max(0, end - 2)]

    for n in range(5 >> 1, (int(sqrt(end)) + 1) >> 1):
        if sieve[n]:
            primes.append((n << 1) + 1)
            aux = (n << 1) + 1
            aux *= aux
            for k in range(aux, end, 2 * aux):
                sieve[k >> 1] = False

    s = int(sqrt(end)) + 1
    if s % 2 == 0:
        s += 1
    primes.extend([i for i in range(s, end, 2) if sieve[i >> 1]])

    return primes


def ambi_sieve_plain(n):
    s = list(range(3, n, 2))
    for m in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        if s[(m - 3) // 2]:
            for t in range((m * m - 3) // 2, (n >> 1) - 1, m):
                s[t] = 0
    return [2] + [t for t in s if t > 0]


def sundaram3(max_n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/2073279#2073279
    numbers = range(3, max_n + 1, 2)
    half = (max_n) // 2
    initial = 4

    for step in range(3, max_n + 1, 2):
        for i in range(initial, half, step):
            numbers[i - 1] = 0
        initial += 2 * (step + 1)

        if initial > half:
            return [2] + filter(None, numbers)


# Using Numpy:
def ambi_sieve(n):
    # http://tommih.blogspot.com/2009/04/fast-prime-number-generator.html
    s = np.arange(3, n, 2)
    for m in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        if s[(m - 3) // 2]:
            s[(m * m - 3) // 2::m] = 0
    return np.r_[2, s[s > 0]]


def primesfrom3to(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Returns an array of primes, p < n """
    assert n >= 2
    sieve = np.ones(n // 2, dtype=np.bool)
    for i in range(3, int(n ** 0.5) + 1, 2):
        if sieve[i // 2]:
            sieve[i * i // 2::i] = False
    return np.r_[2, 2 * np.nonzero(sieve)[0][1::] + 1]


def primesfrom2to(n):
    # /programming/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
    """ Input n>=6, Returns an array of primes, 2 <= p < n """
    assert n >= 6
    sieve = np.ones(n // 3 + (n % 6 == 2), dtype=np.bool)
    sieve[0] = False
    for i in range(int(n ** 0.5) // 3 + 1):
        if sieve[i]:
            k = 3 * i + 1 | 1
            sieve[((k * k) // 3)::2 * k] = False
            sieve[(k * k + 4 * k - 2 * k * (i & 1)) // 3::2 * k] = False
    return np.r_[2, 3, ((3 * np.nonzero(sieve)[0] + 1) | 1)]


def sympy_sieve(n):
    return list(sympy.sieve.primerange(1, n))


perfplot.save(
    "prime.png",
    setup=lambda n: n,
    kernels=[
        rwh_primes,
        rwh_primes1,
        rwh_primes2,
        sieve_wheel_30,
        sieve_of_eratosthenes,
        sieve_of_atkin,
        # ambi_sieve_plain,
        # sundaram3,
        ambi_sieve,
        primesfrom3to,
        primesfrom2to,
        sympy_sieve,
    ],
    n_range=[2 ** k for k in range(3, 25)],
    logx=True,
    logy=True,
    xlabel="n",
)

0

私の推測では、すべての方法の中で最も速いのは、コード内の素数をハードコーディングすることです。

それでは、すべての数値が組み込まれた別のソースファイルを生成する低速のスクリプトを作成し、実際のプログラムを実行するときにそのソースファイルをインポートしないでください。

もちろん、これはコンパイル時にNの上限がわかっている場合にのみ機能しますが、(ほぼ)すべてのプロジェクトオイラー問題に当てはまります。

 

PS: 固定された素数でソースを解析する場合は、そもそもそれらを計算するよりも遅いですが、Pythonがコンパイル済み.pycファイルから実行されることを知っているので、間違っている可能性があります。その場合は高速です。


0

申し訳ありませんが、erat2()にはアルゴリズムに重大な欠陥があります。

次のコンポジットを検索するとき、奇数のみをテストする必要があります。q、pは両方とも奇数です。その場合、q + pは偶数であり、テストする必要はありませんが、q + 2 * pは常に奇数です。これにより、whileループ条件での「if if」テストが不要になり、実行時間の約30%が節約されます。

ここでは、エレガントな「D.pop(q、None)」のgetおよびdeleteメソッドの代わりに、「if q in D:p = D [q]、del D [q]」を使用して、2倍の速さで処理します。 !少なくとも私のマシン(P3-1Ghz)では。したがって、この賢いアルゴリズムのこの実装をお勧めします。

def erat3( ):
    from itertools import islice, count

    # q is the running integer that's checked for primeness.
    # yield 2 and no other even number thereafter
    yield 2
    D = {}
    # no need to mark D[4] as we will test odd numbers only
    for q in islice(count(3),0,None,2):
        if q in D:                  #  is composite
            p = D[q]
            del D[q]
            # q is composite. p=D[q] is the first prime that
            # divides it. Since we've reached q, we no longer
            # need it in the map, but we'll mark the next
            # multiple of its witnesses to prepare for larger
            # numbers.
            x = q + p+p        # next odd(!) multiple
            while x in D:      # skip composites
                x += p+p
            D[x] = p
        else:                  # is prime
            # q is a new prime.
            # Yield it and mark its first multiple that isn't
            # already marked in previous iterations.
            D[q*q] = q
            yield q

プライムの追加が延期された場合(プライムの2乗が入力に表示されるまで)は、stackoverflow.com / a / 10733621/849891を参照してください。
ネスは

0

これまでに試した最速の方法は、Pythonクックブックerat2関数に基づいています。

import itertools as it
def erat2a( ):
    D = {  }
    yield 2
    for q in it.islice(it.count(3), 0, None, 2):
        p = D.pop(q, None)
        if p is None:
            D[q*q] = q
            yield q
        else:
            x = q + 2*p
            while x in D:
                x += 2*p
            D[x] = p

高速化の説明については、この回答を参照してください。


0

パーティーに遅れる可能性がありますが、これには自分のコードを追加する必要があります。偶数を格納する必要がないため、空間で約n / 2を使用します。また、bitarray pythonモジュールを使用し、さらにメモリ消費を大幅に削減し、最大1,000,000,000までのすべての素数を計算できるようにします

from bitarray import bitarray
def primes_to(n):
    size = n//2
    sieve = bitarray(size)
    sieve.setall(1)
    limit = int(n**0.5)
    for i in range(1,limit):
        if sieve[i]:
            val = 2*i+1
            sieve[(i+i*val)::val] = 0
    return [2] + [2*i+1 for i, v in enumerate(sieve) if v and i > 0]

python -m timeit -n10 -s "import euler" "euler.primes_to(1000000000)"
10 loops, best of 3: 46.5 sec per loop

これは64ビット2.4GHZ MAC OSX 10.8.3で実行されました


1
不明なマシンに1つのタイミングを投稿しても何も起こりません。ここで受け入れられた答えは、「psycoなしで、n = 1000000の場合、rwh_primes2が最速でした」です。そのため、同じマシン上で、そのコードと同様に、2、4、10分でそのコードのタイミングを提供する場合それははるかに有益です。
Will Ness、

-1、このコードはCに実装されたbitarrayの特別な機能に依存します。そのため、ほとんどの作業はスライス割り当てのネイティブコードで行われるため、コードは高速です。bitarrayパッケージはBREAKS純粋なPythonのための標準的な動作は、そうです、一方、それは、単一のブール0/1またはスライスのすべての要素に対して真/偽を割り当てることができ、その中に可変配列のために(範囲にわたってインデックス付け)適切なスライスのための標準的な定義をこれを許可せず、割り当て値0のみを許可します。その場合、シーケンス/配列からのすべてのスライス要素のデルとして扱われます。
GordonBGood 2013

続き:非標準のネイティブコードの呼び出しを比較する場合は、Kim Walischの首相のようなCコードに基づく「fastprimes」シーケンスジェネレータパッケージを作成して、40億と32のすべての素数を生成することもできます。シーケンスジェネレーターを1回呼び出すだけで、ほんの数秒でビット範囲が変わります。また、リンクされたコードはエラトステネスのセグメント化されたSieveに基づいているため、メモリをほとんど使用しません。したがって、数十KBのRAMしか使用せず、シーケンスが生成された場合、リストストレージは必要ありません。
GordonBGood 2013

0

私はいくつかの素数のふるいを時間をかけて集めました。私のコンピュータで最速はこれです:

from time import time
# 175 ms for all the primes up to the value 10**6
def primes_sieve(limit):
    a = [True] * limit
    a[0] = a[1] = False
    #a[2] = True
    for n in xrange(4, limit, 2):
        a[n] = False
    root_limit = int(limit**.5)+1
    for i in xrange(3,root_limit):
        if a[i]:
            for n in xrange(i*i, limit, 2*i):
                a[n] = False
    return a

LIMIT = 10**6
s=time()
primes = primes_sieve(LIMIT)
print time()-s

0

私はこの質問への応答が遅いですが、それは楽しい練習のようでした。私は不正行為の可能性があるnumpyを使用していますが、この方法が最速であるとは思いませんが、明確であるはずです。インデックスのみを参照するブール配列をふるいにかけ、すべてのTrue値のインデックスから素数を引き出します。モジュロは必要ありません。

import numpy as np
def ajs_primes3a(upto):
    mat = np.ones((upto), dtype=bool)
    mat[0] = False
    mat[1] = False
    mat[4::2] = False
    for idx in range(3, int(upto ** 0.5)+1, 2):
        mat[idx*2::idx] = False
    return np.where(mat == True)[0]

ajs_primes3a(10)->のように間違っていarray([2, 3, 5, 7, 9])ます。9プライムではありません
jfs

あなたは私が見つけなかったエッジケースを見つけました–よくやった!問題は 'idx in range(3、int(up to ** 0.5)、2):'にあり、 'idx for range(3、int(upto ** 0.5)+ 1、2):'でなければなりません。ありがとうございますが、現在は機能しています。
アランジェームスサルモニー2015

その理由は、idxループが 'upto ** 05'に達したためです。これは、15までのケースでは16から正常に機能します。これは、私がテストしていないエッジケースのセットでした。1を追加すると、すべての数値で機能します。
アランジェームスサルモニー2015

今は動いているようです。numpy配列を返すベースのソリューションの中で最も遅いです。注:真のSito of Eratosthenes実装ではモジュロを使用していません-言及する必要はありません。のmat[idx*idx::idx]代わりに使用できますmat[idx*2::idx]。そしてのnp.nonzero(mat)[0]代わりにnp.where(mat == True)[0]
jfs

JFに感謝します。私はprime6()に対してテストし、prime6()が引き継いだとき、結果が(IIRC)約250kまで速くなりました。primesfrom2to()の方が高速でした。最大20分で、ajs_primes3a()は0.034744977951ms、prime6()は0.0222899913788ms、primesfrom2to()は0.0104751586914ms(同じマシン、同じ負荷、最高10のタイミング)を要しました。それは思ったより正直にいいです!
アランジェームスサルモニー2015

0

pythonのリスト内包表記を使用して素数を生成する興味深い手法(まだ最も効率的ではありません)を次に示します。

noprimes = [j for i in range(2, 8) for j in range(i*2, 50, i)]
primes = [x for x in range(2, 50) if x not in noprimes]

あなたはここで例といくつかの説明を見つけることができます

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