私たちは皆、0⁰⁰が不定であるは。

しかし、javascriptは次のように述べています。

Math.pow(0, 0) === 1 // true

およびC ++は同じことを言います：

pow(0, 0) == 1 // true

どうして？

そんなこと知ってる：

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

しかし、なぜMath.pow(0, 0)エラーをスローしないのですか？または多分NaNより良いでしょう1。

C ++でPOW（0、0）の結果、数学的に、我々は矛盾した状況があるので、結果は基本的には、実装定義された動作ですN^0常にする必要があります1が、0^N常にあるべき0ためにN > 0あなたがいずれかの数学的にこの結果に関しては何の期待を持つべきではないのでが、。このWolframAlphaフォーラムの投稿では、もう少し詳しく説明します。

pow(0,0)結果が得られることは、国際標準1の理論的根拠-プログラミング言語-Cが、IEC 60559浮動小数点演算のサポートをカバーするセクションで述べているように、多くのアプリケーションに役立ちます。

一般に、C99は、数値が役立つNaN結果を避けます。[...] pow（∞、0）とpow（0,0）の結果は両方とも1です。これは、この定義を利用できるアプリケーションがあるためです。たとえば、x（p）とy（p）がp = aでゼロになる分析関数である場合、exp（y * log（x））に等しいpow（x、y）は、pが近づくにつれて1に近づきます。 a。

C ++を更新します

leemesが正しく指摘したように、私、もともとのための参照にリンクされている複雑なバージョンのPOWながら、非複雑なことがあるバージョンの主張ドメイン・エラードラフトC ++標準はにフォールバックドラフトCの標準との両方のC99とC11のセクションで7.12.7.4 POW関数段落2は言う（私の強調）：

[...] xがゼロでyがゼロの場合、ドメインエラーが発生する可能性があります。[...]

私が知る限り、これはこの動作が不特定の動作であることを意味します。ビットセクションを巻き戻す7.12.1 エラー状態の処理は次のように述べています。

[...]入力引数が数学関数が定義されているドメインの外にある場合、ドメインエラーが発生します。[...]ドメインエラーの場合、関数は実装定義の値を返します。整数式math_errhandling＆MATH_ERRNOがゼロ以外の場合、整数式errnoは値EDOMを取得します。[...]

あったのであれば、ドメイン・エラーこれは次のようになり、実装定義された行動が、最新バージョンの両方にgccとclangの値errnoである0ことはないので、ドメイン・エラーこれらのコンパイラのために。

Javascriptを更新する

Javascriptの場合、セクション「pow（x、y）の下の数学オブジェクト」のECMAScript®言語仕様は、他の条件の中で次のように述べています。15.8 15.8.2.13

yが+0の場合、xがNaNであっても、結果は1になります。

JavaScriptMath.powでは次のように定義されています：

• yがNaNの場合、結果はNaNになります。
• yが+0の場合、xがNaNであっても、結果は1になります。
• yが-0の場合、xがNaNであっても、結果は1になります。
• xがNaNで、yがゼロ以外の場合、結果はNaNになります。
• abs（x）> 1でyが+∞の場合、結果は+∞になります。
• abs（x）> 1でyが-∞の場合、結果は+0になります。
• abs（x）== 1でyが+∞の場合、結果はNaNになります。
• abs（x）== 1でyが-∞の場合、結果はNaNになります。
• abs（x）<1でyが+∞の場合、結果は+0になります。
• abs（x）<1でyが-∞の場合、結果は+∞になります。
• xが+∞でy> 0の場合、結果は+∞になります。
• xが+∞でy <0の場合、結果は+0になります。
• xが-∞でy> 0で、yが奇数の整数の場合、結果は-∞になります。
• xが-∞でy> 0であり、yが奇数の整数でない場合、結果は+∞になります。
• xが-∞でy <0で、yが奇数の整数の場合、結果は-0になります。
• xが-∞でy <0であり、yが奇数の整数でない場合、結果は+0になります。
• xが+0でy> 0の場合、結果は+0になります。
• xが+0でy <0の場合、結果は+∞になります。
• xが-0でy> 0で、yが奇数の整数の場合、結果は-0になります。
• xが-0でy> 0であり、yが奇数の整数でない場合、結果は+0になります。
• xが-0でy <0で、yが奇数の整数の場合、結果は-∞になります。
• xが-0でy <0であり、yが奇数の整数でない場合、結果は+∞になります。
• x <0でxが有限で、yが有限で、yが整数でない場合、結果はNaNになります。

_強調鉱山

原則として、任意の言語のネイティブ関数は、言語仕様で説明されているように機能する必要があります。これには、結果がどうあるべきかを決定するのは実装者次第である明示的な「未定義の動作」が含まれる場合がありますが、これは未定義の動作の場合ではありません。

として定義するか1、0そのままにしておくのは単なる慣例undefinedです。この定義は、次の定義のために広く普及しています。

ECMA-Scriptのドキュメントには、次のことが記載されていますpow(x,y)。

• yが+0の場合、xがNaNであっても、結果は1になります。
• yが-0の場合、xがNaNであっても、結果は1になります。

[ http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13 ]

ウィキペディアによると：

指数の連続性を含まないほとんどの設定では、0 ⁰を1として解釈すると、式が単純化され、定理での特別な場合の必要性がなくなります。

0**0それぞれに賛否両論を扱ういくつかの可能な方法があります（詳細な議論についてはウィキペディアを参照してください）。

IEEE 754-2008浮動小数点標準は、3つの異なる機能をお勧めします。

• pow0**0として扱います1。これは最も古い定義済みバージョンです。累乗が正確な整数の場合、結果はと同じになりますpown。それ以外の場合、結果はと同じになりますpowr（一部の例外的な場合を除く）。
• pown0 ** 0を1として扱います。累乗は正確な整数でなければなりません。値は負の基数に対して定義されます。たとえば、pown(−3,5)です−243。
• powr0 ** 0をNaN（Not-a-Number –未定義）として扱います。powr(−3,2)底がゼロ未満の場合など、値もNaNです。値はexp（power '×log（base））で定義されます。

ドナルド・クヌース

1992年にこの議論を次のように解決しました。

そして、彼の論文「Two NotesonNotation」でさらに詳しく説明しました。

基本的に、f(x)/g(x)すべてではないすべての関数f(x)との制限として1はありませんがg(x)、それでも組み合わせ論の定義が非常に簡単に0^0=1なり、などの関数を考慮する必要があるいくつかの場所で特別なケースを作成します0^x。とにかく変です。結局のところx^0、もっと頻繁に出てきます。

このトピックについて私が知っている最高の議論のいくつか（クヌースの論文を除く）は次のとおりです。

• http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html
• http://www.quora.com/Mathematics/What-is-math-0-0-math?share=1
• /math/475337/the-binomial-formula-and-the-value-of-00

で直接計算できないf(a)場合にどの値を指定する必要があるかを知りたい場合fはa、fにx向かう傾向の限界を計算しますa。

の場合x^y、通常の制限は、1にxなりyがち0であり、特にx^xに1なりxがち0です。

http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtmlを参照してください

C言語の定義によると（7.12.7.4/2）：

xがゼロでyがゼロの場合、ドメインエラーが発生する可能性があります。

また、（7.12.1 / 2）と書かれています。

ドメインエラーの場合、関数は実装定義の値を返します。整数式math_errhandling＆MATH_ERRNOがゼロ以外の場合、整数式errnoは値EDOMを取得します。整数式math_errhandling＆MATH_ERREXCEPTがゼロ以外の場合、「無効な」浮動小数点例外が発生します。

デフォルトでは、の値はmath_errhandlingです。値をMATH_ERRNO確認errnoしてくださいEDOM。

0 ^ 0を0ではなく1として定義するのは慣例または便宜の問題である（さまざまな定理のいくつかの特別な場合などをカバーする）という以前の回答の主張のいくつかに同意したくありません。

べき乗は実際には他の数学表記とうまく適合しないため、私たち全員が学ぶ定義には混乱の余地があります。少し異なるアプローチ方法は、a ^ b（または必要に応じてexp（a、b））が、他のものにaを掛けてb回繰り返すのと同等の値を返すと言うことです。

5に4を2回掛けると、80になります。5に16を掛けたので、4 ^ 2 = 16になります。

14に0を0倍すると、14が残ります。1を掛けたので、0 ^ 0 = 1です。

この考え方は、負の指数と分数の指数を明確にするのにも役立つ可能性があります。4 ^（-2）は16番目です。これは、「負の乗算」が除算であるためです。4で2回除算します。

a ^（1/2）はroot（a）です。これは、何かにaのルートを掛けることは、それ自体を掛ける場合の半分の乗法作業であるためです。何かを4 = 4 ^ 1 =で掛けるには、2回行う必要があります。 （4 ^（1/2））^ 2

これを理解するには、微積分を解く必要があります。

x^xテイラー級数を使用してゼロ付近を展開すると、次のようになります。

したがって、xゼロになったときに制限で何が起こっているのかを理解するにはx log(x)、他の項がに比例するため、第2項で何が起こっているのかを知る必要があります。x log(x)あるべき乗にです。

変換を使用する必要があります。

この変換の後、次のように述べているロピタルの定理を使用できます。

その変換を差別化することで、次のことが可能になります。

だから私たちはその用語を計算しました log(x)*x、xが0に近づくが0に近づくとた。他の連続する項もゼロに近づき、2番目の項よりもさらに速くなることは簡単にわかります。

したがって、ポイントでx=0、シリーズは1 + 0 + 0 + 0 + ...1になり、したがって1に等しくなります。