なぜpow（a、d、n）はa ** d％nよりもはるかに速いのですか？

私はMiller-Rabin素数性テストを実装しようとしていましたが、中規模の数値（約7桁）でこれほど長い時間（> 20秒）がかかるのはなぜですか。最終的に次のコード行が問題の原因であることがわかりました。

x = a**d % n

（ここaで、、、dおよびnはすべて類似していますが、中規模の数値が等しくなく**、指数演算子であり%、モジュロ演算子です）

次に、次のものに置き換えてみました。

x = pow(a, d, n)

それに比べると、それはほとんど瞬時です。

コンテキストについては、元の関数は次のとおりです。

from random import randint

def primalityTest(n, k):
    if n < 2:
        return False
    if n % 2 == 0:
        return False
    s = 0
    d = n - 1
    while d % 2 == 0:
        s += 1
        d >>= 1
    for i in range(k):
        rand = randint(2, n - 2)
        x = rand**d % n         # offending line
        if x == 1 or x == n - 1:
            continue
        for r in range(s):
            toReturn = True
            x = pow(x, 2, n)
            if x == 1:
                return False
            if x == n - 1:
                toReturn = False
                break
        if toReturn:
            return False
    return True

print(primalityTest(2700643,1))

時限計算の例：

from timeit import timeit

a = 2505626
d = 1520321
n = 2700643

def testA():
    print(a**d % n)

def testB():
    print(pow(a, d, n))

print("time: %(time)fs" % {"time":timeit("testA()", setup="from __main__ import testA", number=1)})
print("time: %(time)fs" % {"time":timeit("testB()", setup="from __main__ import testB", number=1)})

出力（PyPy 1.9.0で実行）：

2642565
time: 23.785543s
2642565
time: 0.000030s

出力（Python 3.3.0、2.7.2で実行すると、非常に類似した時間を返します）：

2642565
time: 14.426975s
2642565
time: 0.000021s

そして関連する質問、なぜこの計算はPython 2または3で実行すると、通常PyPyの方がPyPyの場合よりも2倍速くなるのですか？

モジュラ指数に関するウィキペディアの記事を参照してください。基本的に、を実行する場合a**d % n、実際にはを計算する必要がありますがa**d、これは非常に大きくなる可能性があります。しかし、それ自体a**d % nを計算する必要のない計算の方法がa**dあり、それが何をするかpowです。**それはあなたがすぐにモジュラスを取るしようとしていることを知って、「未来に見る」ことができないので、オペレータは、これを行うことはできません。

ブレンバーンはあなたの主な質問に答えました。あなたのために：

Python 2または3で実行すると、通常PyPyの方がはるかに高速なのに、なぜPyPyの2倍近い速度になるのですか？

PyPyのパフォーマンスページを読んだ場合、これはまさにPyPyが得意ではないことです。実際、PyPyが提供する最初の例は次のとおりです。

悪い例としては、長いlongで計算を行うことが挙げられます。これは、最適化できないサポートコードによって実行されます。

理論的には、巨大な指数に続いてmodをモジュラー指数に変換すること（少なくとも最初のパスの後）は、JITが実行できる変換ですが、PyPyのJITは変換できません。

余談ですが、巨大な整数で計算する必要gmpyがある場合は、のようなサードパーティのモジュールを確認することをお勧めします。これは、場合によっては、CPythonのネイティブ実装よりもはるかに高速で、メインストリーム以外で使用されることもあり、便利ではないという犠牲を払って、他の方法では自分で記述しなければならない追加機能の。

べき乗剰余を実行するためのショートカットがあります。たとえば、必要な中間結果をa**(2i) mod nすべてifromから1to log(d)に乗算して乗算（mod n）できます。3引数のような専用のモジュラー指数関数pow()は、モジュラー演算を実行していることを認識しているため、このようなトリックを活用できます。Pythonパーサーは、最小限の式を指定するとこれを認識できないa**d % nため、完全な計算を実行します（これにはかなり時間がかかります）。

x = a**d % n計算方法はa、d累乗し、それをでモジュロしnます。まず、aが大きい場合、膨大な数が作成され、その後切り捨てられます。ただし、x = pow(a, d, n)最後のn桁のみが追跡されるように最適化されている可能性が高く、これらはすべて、数値を法とする乗算の​​計算に必要なものです。