イプシロンを使用してdoubleと0を比較する

今日、私は（他の誰かが書いた）C ++コードを調べていて、このセクションを見つけました：

double someValue = ...
if (someValue <  std::numeric_limits<double>::epsilon() && 
    someValue > -std::numeric_limits<double>::epsilon()) {
  someValue = 0.0;
}

私はこれが理にかなっているかどうかを理解しようとしています。

のドキュメントはepsilon()言う：

この関数は、1と[double]で表現できる1より大きい最小値の差を返します。

これは0にも適用されepsilon()ますか？つまり、最小値は0より大きいですか？またはそこに数字の間である0と0 + epsilonで表すことができますかdouble？

そうでない場合、比較は同等someValue == 0.0ですか？

64ビットのIEEE doubleを想定すると、仮数は52ビット、指数は11ビットになります。それをビットに分解しましょう：

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 × 2^0 = 1

1より大きい最小の表現可能な数：

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000001 × 2^0 = 1 + 2^-52

したがって：

epsilon = (1 + 2^-52) - 1 = 2^-52

0とイプシロンの間の数字はありますか？たくさん...例えば、最小の正の表現可能な（通常の）数は：

1.0000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 × 2^-1022 = 2^-1022

実際(1022 - 52 + 1)×2^52 = 4372995238176751616、0とイプシロンの間の数値があります。これは、表現可能なすべての正の数値の47％です...

テストは確かに同じではありませんsomeValue == 0。浮動小数点数の全体的な考え方は、指数と仮数を格納することです。したがって、それらは、特定の数の2進数の有効桁数（IEEE doubleの場合は53）で値を表します。表現可能な値は、1に近い場合よりも0に近い場合の方がはるかに密にパックされます。

より一般的な10進法を使用するために、指数付きの「有効数字4桁まで」の10進値を格納するとします。次に、1is 1.001 * 10^0とepsilonis よりも大きい次の表現可能な値です1.000 * 10^-3。ただし1.000 * 10^-4、指数が-4を格納できると仮定すると、これも表現可能です。IEEEのdouble はの指数よりも小さい指数を格納できると私の言葉で言うことができepsilonます。

このコードだけではepsilon、特にバインドとして使用するのが理にかなっているかどうかを判断できないため、コンテキストを確認する必要があります。これepsilonは、を生成した計算のエラーの合理的な推定値であるsomeValue可能性がありますが、そうではない可能性があります。

0とイプシロンの間に存在する数値があります。イプシロンは1と1の上で表すことができる次の最大数の差であり、0と0の上で表すことができる次の最大数の差ではないためです（ある場合、コードはほとんど何もしません）：-

#include <limits>

int main ()
{
  struct Doubles
  {
      double one;
      double epsilon;
      double half_epsilon;
  } values;

  values.one = 1.0;
  values.epsilon = std::numeric_limits<double>::epsilon();
  values.half_epsilon = values.epsilon / 2.0;
}

デバッガーを使用して、メインの最後でプログラムを停止し、結果を確認すると、イプシロン/ 2がイプシロン、0、1とは異なることがわかります。

したがって、この関数は+/-イプシロンの間の値を取り、それらをゼロにします。

次のプログラムを使用して、数値（1.0、0.0、...）の周りのイプシロンの近似（可能な限り小さい差）を印刷できます。次の出力を出力します。
epsilon for 0.0 is 4.940656e-324
epsilon for 1.0 is 2.220446e-16
少し考えてみると、指数がその数のサイズに調整できるため、イプシロン値を調べるために使用する数値が小さいほどイプシロンが小さくなることがわかります。

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
double getEps (double m) {
  double approx=1.0;
  double lastApprox=0.0;
  while (m+approx!=m) {
    lastApprox=approx;
    approx/=2.0;
  }
  assert (lastApprox!=0);
  return lastApprox;
}
int main () {
  printf ("epsilon for 0.0 is %e\n", getEps (0.0));
  printf ("epsilon for 1.0 is %e\n", getEps (1.0));
  return 0;
}

16ビットのレジスターに収まるおもちゃの浮動小数点数を扱っているとします。符号ビット、5ビットの指数、および10ビットの仮数があります。

この浮動小数点数の値は、2進数の10進数値として解釈される仮数であり、指数の2乗です。

約1の指数はゼロです。したがって、仮数の最小桁は1024の一部です。

指数の1/2近くはマイナス1なので、仮数の最小部分は半分の大きさです。5ビットの指数では、負の16に達する可能性があり、その時点で、仮数の最小部分は32mで1つの部分に相当します。また、負の16指数では、値は32kで約1パーツであり、上記で計算した1のイプシロンよりもゼロにはるかに近いです！

これは、実際の浮動小数点システムのすべての癖を反映しないおもちゃの浮動小数点モデルですが、イプシロンより小さい値を反映する機能は、実際の浮動小数点値とかなり似ています。

差Xとの次の値Xに応じて変化しますX。との次の値の
epsilon()違いのみ1です1。との次の値
の差は0で0はありませんepsilon()。

代わりに、次のようにstd::nextafterを使用してdouble値を比較でき0ます。

bool same(double a, double b)
{
  return std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::lowest()) <= b
    && std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::max()) >= b;
}

double someValue = ...
if (same (someValue, 0.0)) {
  someValue = 0.0;
}

それはあなたのコンピュータの精度に依存すると思います。この表を見てください。イプシロンがdoubleで表されているが、精度が高い場合、比較は以下と同等ではないことがわかります

someValue == 0.0

とにかく良い質問です！

仮数部と指数部のため、これを0に適用することはできません。指数のため、イプシロンよりも小さい数を格納できますが、（1.0-"非常に小さい数"）のようなことを行おうとすると、1.0になります。イプシロンは、値ではなく、仮数である値の精度のインジケータです。格納できる数の正しい後続の10進数の数を示します。

IEEE浮動小数点では、最小の非ゼロの正の値と最小の非ゼロの負の値の間に、正のゼロと負のゼロの2つの値が存在します。値がゼロ以外の最小値の間にあるかどうかをテストすることは、ゼロと等しいかどうかをテストすることと同じです。ただし、負のゼロを正のゼロに変更するため、割り当てには効果がある場合があります。

浮動小数点形式では、正の有限小値と負の有限値の間に、正の小小、符号なしゼロ、負の小小の3つの値がある可能性があります。私は実際にそのように機能する浮動小数点形式に精通していませんが、そのような動作は完全に合理的であり、間違いなくIEEEの動作よりも優れています（おそらく、それをサポートするハードウェアを追加するだけの価値はありませんが、数学的には1 /（1 / INF）、1 /（-1 / INF）、および1 /（1-1）は、3つの異なるゼロを示す3つの異なるケースを表す必要があります）。存在する場合、ゼロに等しいと比較する必要があるであろうCの標準が署名された無限小を義務付けるかどうかはわかりません。そうでない場合、上記のようなコードは、たとえば

したがって、システムが1.000000000000000000000と1.000000000000000000001を区別できないとしましょう。それは1.0と1.0 + 1e-20です。-1e-20と+ 1e-20の間で表現できる値がまだあると思いますか？

また、このような関数を使用する理由は、「デノーマル」（暗黙の先頭の「1」を使用できなくなり、特別なFP表現を持つことができない非常に小さい数値）を削除するためです。なぜこれをしたいのですか？一部のマシン（特に、一部の古いPentium 4s）は、デノーマルの処理時に本当に遅くなります。その他は少し遅くなるだけです。アプリケーションがこれらの非常に小さい数を本当に必要としない場合、それらをゼロにフラッシュすることは良い解決策です。これを検討するのに適した場所は、IIRフィルターまたは減衰関数の最後のステップです。

参照：0.1fを0に変更するとパフォーマンスが10倍遅くなるのはなぜですか？

およびhttp://en.wikipedia.org/wiki/Denormal_number