ポリゴンポイントのリストが時計回りであるかどうかを確認する方法は？

ポイントのリストがある場合、それらが時計回りの順序であるかどうかをどのようにして見つけますか？

例えば：

point[0] = (5,0)
point[1] = (6,4)
point[2] = (4,5)
point[3] = (1,5)
point[4] = (1,0)

それは反時計回り（または一部の人にとっては反時計回り）であると言うでしょう。

三日月形などの非凸多角形の場合、提案された方法のいくつかは失敗します。以下は、非凸ポリゴンで機能する単純なものです（8の字のような自己交差するポリゴンでも機能し、ほとんどが時計回りかどうかがわかります）。

辺の合計、（x ₂ − x ₁）（y ₂ + y ₁）。結果が正の場合、曲線は時計回りであり、負の場合、曲線は反時計回りです。（結果は、囲まれた領域の2倍になり、+ /-規則が使用されます。）

point[0] = (5,0)   edge[0]: (6-5)(4+0) =   4
point[1] = (6,4)   edge[1]: (4-6)(5+4) = -18
point[2] = (4,5)   edge[2]: (1-4)(5+5) = -30
point[3] = (1,5)   edge[3]: (1-1)(0+5) =   0
point[4] = (1,0)   edge[4]: (5-1)(0+0) =   0
                                         ---
                                         -44  counter-clockwise

外積は、 2つのベクトルの垂直らしさの程度を測定します。ポリゴンの各エッジが3次元（3-D）xyz空間のxy平面のベクトルであると想像してください。次に、2つの連続するエッジの外積は、z方向のベクトルです（2番目のセグメントが時計回りの場合は正のz方向、反時計回りの場合はz方向）。このベクトルの大きさは、2つの元のエッジ間の角度の正弦に比例するため、垂直なときに最大に達し、エッジが同一線上（平行）になると徐々に消えて消えます。

したがって、ポリゴンの各頂点（ポイント）について、隣接する2つのエッジの外積の大きさを計算します。

Using your data:
point[0] = (5, 0)
point[1] = (6, 4)
point[2] = (4, 5)
point[3] = (1, 5)
point[4] = (1, 0)

ように連続したエッジをラベル
edgeAからセグメントであるpoint0のpoint1と
edgeBの間にはpoint1には、point2
...
edgeEの間にあるpoint4とpoint0。

次に、頂点A（point0）は
edgeE[From point4 to point0]
edgeA[From point0to `point1 'の間にあります

これらの2つのエッジはそれ自体がベクトルであり、そのx座標とy座標は、始点と終点の座標を差し引くことで決定できます。

edgeE= point0- point4= (1, 0) - (5, 0)= (-4, 0) および
edgeA = point1- point0= (6, 4) - (1, 0)= (5, 4) および

そして、これらの2つの隣接するエッジの外積は、次の行列の行列式を使用して計算されます。行列は、2つのベクトルの座標を3つの座標軸を表すシンボルの下に置くことで構築されます（i、j＆k）。3番目の（ゼロ）値の座標が存在するのは、外積の概念が3次元構造なので、外積を適用するためにこれらの2次元ベクトルを3次元に拡張するためです。

 i    j    k 
-4    0    0
 1    4    0    

すべてのクロス積が乗算される2つのベクトルの平面に垂直なベクトルを生成すると仮定すると、上の行列の行列式はk、（またはz軸）成分のみを持ちます。
kまたはz軸成分の 大きさを計算する式は、
a1*b2 - a2*b1 = -4* 4 - 0* 1 = -16

この値の大きさ（-16）は、2つの元のベクトル間の角度のサインに2つのベクトルの大きさの積を掛けたものです。
実際、その値の別の式は
A X B (Cross Product) = |A| * |B| * sin(AB)です。

したがって、角度の測定に戻るには、この値（-16）を2つのベクトルの大きさの積で除算する必要があります。

|A| * |B| = 4 * Sqrt(17) =16.4924...

したがって、sin（AB）の測定= -16 / 16.4924 =-.97014...

これは、頂点の後の次のセグメントが左または右に曲がったかどうか、およびどれくらいかを測定します。逆正弦をとる必要はありません。私たちが気にするのはその大きさ、そしてもちろんその兆候（正または負）です！

閉じたパスの周りの他の4つのポイントそれぞれについてこれを行い、この計算からの値を各頂点で合計します。

最終合計が正の場合、時計回り、負、反時計回りに進みました。

これはかなり古い質問だと思いますが、とにかく簡単で数学的に集中的ではないので、別の解決策を捨てます。基本的な代数を使用するだけです。ポリゴンの符号付き領域を計算します。負の場合、ポイントは時計回りであり、正の場合、ポイントは反時計回りです。（これはベータのソリューションに非常に似ています。）

符号付き面積を計算します：A = 1/2 *（x ₁ * y ₂ -x ₂ * y ₁ + x ₂ * y ₃ -x ₃ * y ₂ + ... + x _n * y ₁ -x ₁ * y _n）

または疑似コードで：

signedArea = 0
for each point in points:
    x1 = point[0]
    y1 = point[1]
    if point is last point
        x2 = firstPoint[0]
        y2 = firstPoint[1]
    else
        x2 = nextPoint[0]
        y2 = nextPoint[1]
    end if

    signedArea += (x1 * y2 - x2 * y1)
end for
return signedArea / 2

順序を確認するだけの場合は、わざわざ2で割る必要はありません。

出典：http : //mathworld.wolfram.com/PolygonArea.html

最小のy（タイがある場合は最大のx）の頂点を見つけます。頂点とするAと、リスト内の前の頂点があることBと、リスト内の次の頂点になりますC。次に、との外積の符号を計算します。ABAC

参照：

• 単純なポリゴンの方向を見つけるにはどうすればよいですか？中 comp.graphics.algorithms：よく寄せられる質問。

• ウィキペディアの曲線方向。

これは、この回答に基づくアルゴリズムの簡単なC＃実装です。

我々は持っていると仮定しましょうVector型が持つXとYタイプのプロパティdouble。

public bool IsClockwise(IList<Vector> vertices)
{
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++) {
        Vector v1 = vertices[i];
        Vector v2 = vertices[(i + 1) % vertices.Count];
        sum += (v2.X - v1.X) * (v2.Y + v1.Y);
    }
    return sum > 0.0;
}

%（Wikipediaによれば）ある数値を別の数値で除算した後の剰余を見つける剰余演算を実行する剰余演算子です。

頂点の1つから開始し、各辺によって定められる角度を計算します。

最初と最後はゼロになります（それらをスキップしてください）。残りの場合、角度のサインは、（point [n] -point [0]）と（point [n-1] -point [0]）の単位長への正規化の外積によって与えられます。

値の合計が正の場合、ポリゴンは反時計回りに描画されます。

価値があるので、私はこのミックスインを使用して、Google Maps API v3アプリのワインディング順序を計算しました。

このコードは、ポリゴン領域の副作用を利用します。頂点の時計回りのワインディング順序は正の領域を生成し、同じ頂点の反時計回りのワインディング順序は負の値と同じ領域を生成します。このコードでは、Googleマップジオメトリライブラリの一種のプライベートAPIも使用しています。私はそれを使用して快適に感じました-自己責任で使用してください。

使用例：

var myPolygon = new google.maps.Polygon({/*options*/});
var isCW = myPolygon.isPathClockwise();

単体テストの完全な例@ http://jsfiddle.net/stevejansen/bq2ec/

/** Mixin to extend the behavior of the Google Maps JS API Polygon type
 *  to determine if a polygon path has clockwise of counter-clockwise winding order.
 *  
 *  Tested against v3.14 of the GMaps API.
 *
 *  @author  stevejansen_github@icloud.com
 *
 *  @license http://opensource.org/licenses/MIT
 *
 *  @version 1.0
 *
 *  @mixin
 *  
 *  @param {(number|Array|google.maps.MVCArray)} [path] - an optional polygon path; defaults to the first path of the polygon
 *  @returns {boolean} true if the path is clockwise; false if the path is counter-clockwise
 */
(function() {
  var category = 'google.maps.Polygon.isPathClockwise';
     // check that the GMaps API was already loaded
  if (null == google || null == google.maps || null == google.maps.Polygon) {
    console.error(category, 'Google Maps API not found');
    return;
  }
  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library not found');
    return;
  }

  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library private function computeSignedArea() is missing; this may break this mixin');
  }

  function isPathClockwise(path) {
    var self = this,
        isCounterClockwise;

    if (null === path)
      throw new Error('Path is optional, but cannot be null');

    // default to the first path
    if (arguments.length === 0)
        path = self.getPath();

    // support for passing an index number to a path
    if (typeof(path) === 'number')
        path = self.getPaths().getAt(path);

    if (!path instanceof Array && !path instanceof google.maps.MVCArray)
      throw new Error('Path must be an Array or MVCArray');

    // negative polygon areas have counter-clockwise paths
    isCounterClockwise = (google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea(path) < 0);

    return (!isCounterClockwise);
  }

  if (typeof(google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise) !== 'function') {
    google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise = isPathClockwise;
  }
})();

JavaScript でのSeanの回答の実装：

function calcArea(poly) {
    if(!poly || poly.length < 3) return null;
    let end = poly.length - 1;
    let sum = poly[end][0]*poly[0][1] - poly[0][0]*poly[end][1];
    for(let i=0; i<end; ++i) {
        const n=i+1;
        sum += poly[i][0]*poly[n][1] - poly[n][0]*poly[i][1];
    }
    return sum;
}

function isClockwise(poly) {
    return calcArea(poly) > 0;
}

let poly = [[352,168],[305,208],[312,256],[366,287],[434,248],[416,186]];

console.log(isClockwise(poly));

let poly2 = [[618,186],[650,170],[701,179],[716,207],[708,247],[666,259],[637,246],[615,219]];

console.log(isClockwise(poly2));

これが正しいことを確認してください。うまくいっているようです:-)

疑問に思っている場合、これらのポリゴンは次のようになります。

これはOpenLayers 2に実装された関数です。時計回りのポリゴンを持つための条件はarea < 0、このリファレンスで確認されています。

function IsClockwise(feature)
{
    if(feature.geometry == null)
        return -1;

    var vertices = feature.geometry.getVertices();
    var area = 0;

    for (var i = 0; i < (vertices.length); i++) {
        j = (i + 1) % vertices.length;

        area += vertices[i].x * vertices[j].y;
        area -= vertices[j].x * vertices[i].y;
        // console.log(area);
    }

    return (area < 0);
}

Matlabを使用しているispolycw場合、ポリゴンの頂点が時計回りに並んでいると、関数はtrueを返します。

このWikipediaの記事で説明したようにカーブ方向 3点与えられ、p、qおよびr平面（すなわち、x座標とy座標を有する）に、次の行列式の符号を算出することができます

行列式が負の場合（つまりOrient(p, q, r) < 0）、多角形は時計回り（CW）に方向付けられます。行列式が正の場合（つまりOrient(p, q, r) > 0）、ポリゴンは反時計回り（CCW）に方向付けられます。決定基（すなわち、ゼロであるOrient(p, q, r) == 0点の場合）p、q及びrある同一直線。

上記式において、我々は、座標の前にものを付加しp、q そしてr我々が使用しているため、同次座標を。

いくつかのポイントが時計回りに与えられるためには、エッジの合計だけでなくすべてのエッジが正である必要があると思います。1つのエッジが負の場合、少なくとも3つのポイントが反時計回りに与えられます。

私のC＃/ LINQソリューションは、@ charlesbretanaのクロス製品アドバイスに基づいています。巻線の基準法線を指定できます。カーブがアップベクトルで定義される平面にある限り、機能します。

using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace SolidworksAddinFramework.Geometry
{
    public static class PlanePolygon
    {
        /// <summary>
        /// Assumes that polygon is closed, ie first and last points are the same
        /// </summary>
       public static bool Orientation
           (this IEnumerable<Vector3> polygon, Vector3 up)
        {
            var sum = polygon
                .Buffer(2, 1) // from Interactive Extensions Nuget Pkg
                .Where(b => b.Count == 2)
                .Aggregate
                  ( Vector3.Zero
                  , (p, b) => p + Vector3.Cross(b[0], b[1])
                                  /b[0].Length()/b[1].Length());

            return Vector3.Dot(up, sum) > 0;

        } 

    }
}

単体テストあり

namespace SolidworksAddinFramework.Spec.Geometry
{
    public class PlanePolygonSpec
    {
        [Fact]
        public void OrientationShouldWork()
        {

            var points = Sequences.LinSpace(0, Math.PI*2, 100)
                .Select(t => new Vector3((float) Math.Cos(t), (float) Math.Sin(t), 0))
                .ToList();

            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeTrue();
            points.Reverse();
            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeFalse();



        } 
    }
}

これは他の回答の説明を使用した私の解決策です：

def segments(poly):
    """A sequence of (x,y) numeric coordinates pairs """
    return zip(poly, poly[1:] + [poly[0]])

def check_clockwise(poly):
    clockwise = False
    if (sum(x0*y1 - x1*y0 for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(poly))) < 0:
        clockwise = not clockwise
    return clockwise

poly = [(2,2),(6,2),(6,6),(2,6)]
check_clockwise(poly)
False

poly = [(2, 6), (6, 6), (6, 2), (2, 2)]
check_clockwise(poly)
True

ポリゴン内のポイントが既にわかっている場合は、計算がはるかに簡単な方法です。

1. 元のポリゴン、ポイント、それらの座標から任意のラインセグメントをこの順序で選択します。

2. 既知の「内側」の点を追加し、三角形を形成します。

3. これらの3つのポイントを使用して、ここで提案されているようにCWまたはCCWを計算します。

いくつかの信頼性の低い実装をテストした後、そのままのCW / CCW方向に関して満足のいく結果を提供したアルゴリズムは、このスレッドでOPによって投稿されたものでした（shoelace_formula_3）。

いつものように、正の数はCWの向きを表し、負の数はCCWの向きを表します。

上記の回答に基づく迅速な3.0ソリューションは次のとおりです。

    for (i, point) in allPoints.enumerated() {
        let nextPoint = i == allPoints.count - 1 ? allPoints[0] : allPoints[i+1]
        signedArea += (point.x * nextPoint.y - nextPoint.x * point.y)
    }

    let clockwise  = signedArea < 0

これに対する別の解決策。

const isClockwise = (vertices=[]) => {
    const len = vertices.length;
    const sum = vertices.map(({x, y}, index) => {
        let nextIndex = index + 1;
        if (nextIndex === len) nextIndex = 0;

        return {
            x1: x,
            x2: vertices[nextIndex].x,
            y1: x,
            y2: vertices[nextIndex].x
        }
    }).map(({ x1, x2, y1, y2}) => ((x2 - x1) * (y1 + y2))).reduce((a, b) => a + b);

    if (sum > -1) return true;
    if (sum < 0) return false;
}

このような配列としてすべての頂点を取ります。

const vertices = [{x: 5, y: 0}, {x: 6, y: 4}, {x: 4, y: 5}, {x: 1, y: 5}, {x: 1, y: 0}];
isClockwise(vertices);

Rが方向を決定し、時計回りの場合は逆にするためのソリューション（owinオブジェクトに必要であることがわかりました）：

coords <- cbind(x = c(5,6,4,1,1),y = c(0,4,5,5,0))
a <- numeric()
for (i in 1:dim(coords)[1]){
  #print(i)
  q <- i + 1
  if (i == (dim(coords)[1])) q <- 1
  out <- ((coords[q,1]) - (coords[i,1])) * ((coords[q,2]) + (coords[i,2]))
  a[q] <- out
  rm(q,out)
} #end i loop

rm(i)

a <- sum(a) #-ve is anti-clockwise

b <- cbind(x = rev(coords[,1]), y = rev(coords[,2]))

if (a>0) coords <- b #reverses coords if polygon not traced in anti-clockwise direction

これらの答えは正しいですが、必要以上に数学的に強いです。最も北のポイントがマップ上の最も高いポイントであるマップ座標を想定します。最も北の点を見つけます。2つの点が同点の場合、それは最も北で最も東です（これはlhfが彼の回答で使用する点です）。あなたのポイントでは、

point [0] =（5,0）

point [1] =（6,4）

point [2] =（4,5）

point [3] =（1,5）

point [4] =（1,0）

P2が最も北であると仮定すると、東または前のポイントが時計回り、CW、またはCCWを決定します。最も北のポイントは北の面上にあるため、P1（前）からP2までが東に移動する場合、方向はCWです。この場合、西に移動するため、受け入れられた答えが示すように、方向はCCWです。前のポイントに水平移動がない場合、同じシステムが次のポイントP3に適用されます。P3がP2の西側にある場合は、その場合、移動はCCWです。P2からP3への動きが東の場合、この場合は西です。動きはCWです。nte、データのP2が最も北の次に東のポイントであり、prvがデータ​​の前のポイント、P1であり、nxtが次のポイント、データのP3であり、[0]が水平または東/西は西より東で[1]は垂直です。

if (nte[0] >= prv[0] && nxt[0] >= nte[0]) return(CW);
if (nte[0] <= prv[0] && nxt[0] <= nte[0]) return(CCW);
// Okay, it's not easy-peasy, so now, do the math
if (nte[0] * nxt[1] - nte[1] * nxt[0] - prv[0] * (nxt[1] - crt[1]) + prv[1] * (nxt[0] - nte[0]) >= 0) return(CCW); // For quadrant 3 return(CW)
return(CW) // For quadrant 3 return (CCW)

lhfの答えを実装するC＃コード：

// https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_orientation#Orientation_of_a_simple_polygon
public static WindingOrder DetermineWindingOrder(IList<Vector2> vertices)
{
    int nVerts = vertices.Count;
    // If vertices duplicates first as last to represent closed polygon,
    // skip last.
    Vector2 lastV = vertices[nVerts - 1];
    if (lastV.Equals(vertices[0]))
        nVerts -= 1;
    int iMinVertex = FindCornerVertex(vertices);
    // Orientation matrix:
    //     [ 1  xa  ya ]
    // O = | 1  xb  yb |
    //     [ 1  xc  yc ]
    Vector2 a = vertices[WrapAt(iMinVertex - 1, nVerts)];
    Vector2 b = vertices[iMinVertex];
    Vector2 c = vertices[WrapAt(iMinVertex + 1, nVerts)];
    // determinant(O) = (xb*yc + xa*yb + ya*xc) - (ya*xb + yb*xc + xa*yc)
    double detOrient = (b.X * c.Y + a.X * b.Y + a.Y * c.X) - (a.Y * b.X + b.Y * c.X + a.X * c.Y);

    // TBD: check for "==0", in which case is not defined?
    // Can that happen?  Do we need to check other vertices / eliminate duplicate vertices?
    WindingOrder result = detOrient > 0
            ? WindingOrder.Clockwise
            : WindingOrder.CounterClockwise;
    return result;
}

public enum WindingOrder
{
    Clockwise,
    CounterClockwise
}

// Find vertex along one edge of bounding box.
// In this case, we find smallest y; in case of tie also smallest x.
private static int FindCornerVertex(IList<Vector2> vertices)
{
    int iMinVertex = -1;
    float minY = float.MaxValue;
    float minXAtMinY = float.MaxValue;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++)
    {
        Vector2 vert = vertices[i];
        float y = vert.Y;
        if (y > minY)
            continue;
        if (y == minY)
            if (vert.X >= minXAtMinY)
                continue;

        // Minimum so far.
        iMinVertex = i;
        minY = y;
        minXAtMinY = vert.X;
    }

    return iMinVertex;
}

// Return value in (0..n-1).
// Works for i in (-n..+infinity).
// If need to allow more negative values, need more complex formula.
private static int WrapAt(int i, int n)
{
    // "+n": Moves (-n..) up to (0..).
    return (i + n) % n;
}

これは、この回答に基づく簡単なPython 3の実装です（これは、受け入れられた回答で提案されたソリューションに基づいています）。

def is_clockwise(points):
    # points is your list (or array) of 2d points.
    assert len(points) > 0
    s = 0.0
    for p1, p2 in zip(points, points[1:] + [points[0]]):
        s += (p2[0] - p1[0]) * (p2[1] + p1[1])
    return s > 0.0

これらの点の重心を見つけます。

このポイントからあなたのポイントへのラインがあると仮定します。

line0 line1の2つの線の間の角度を見つける

line1とline2の場合よりも

...

...

この角度が反時計回りより単調に増加している場合、

それ以外の場合、単調に減少する場合は時計回りです

その他（単調ではありません）

あなたが決めることができないので、それは賢明ではありません