次の場合：

1. 時間、t
2. 時間tに対応するGPS衛星のIS-200エフェメリスデータのセットE
3. GPS衛星のECEF位置、P =（x、y、z）、時間とエフェメリス、（t、E）から導出。
4. 地球がWGS-84楕円体であると仮定します。
5. WGS-84のすべてのポイントには、マスク角度mがあります。

以下を見つけてください。

1. GPS衛星のWGS-84のカバレッジのリングR。すなわち、どのWGS-84ポイントがP =（x、y、z）のポイントにある衛星を表示しているか、どのWGS-84ポイントが表示されていないかを区別する境界

許容できるソリューション：

1. Rに近似するWGS-84上のスプライン。
2. Rに近いWGS-84上のポリゴン。
3. または私にRを与える式

私がこれまでに試したこと：

• e ^ 2 = 0.0066943799901264; 離心率の二乗

測地緯度phiと経度lambdaによるECEF WGS-84の位置があります。

r = 1 /（sqrt（1-e ^ 2 sin ^ 2（phi）））*（cos（phi）* cos（lambda）、cos（phi）* sin（lambda）、（1-e ^ 2）* sin（phi））

次に、マトリックスを使用して、phiとlambdaを使用してECEFを東北アップ（ENU）地理的フレームに変換します。

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• G = C（P-r）とする
• Gのz成分を取得します。Gのz成分がsin（m）よりも大きい場合、ポイントrが表示されていることがわかります。しかし、それは私が求めている解決策を得るのに十分ではありません。視界にあるたくさんのポイントを見つけて、それらのポイントの凸包を取ることができますが、それはまったく効率的ではありません。

楕円体の解法はかなり乱雑であり、円ではなく不規則な形状であり、数式ではなく数値で計算するのが最適です。

世界地図では、WGS84ソリューションと完全に球形のソリューションの違いはほとんど目立ちません（画面上の1ピクセル程度です）。同じ違いは、マスクの角度を約0.2度変更するか、多角形近似を使用することで作成されます。これらの誤差が許容できるほど小さい場合は、球体の対称性を利用して単純な式を取得できます。

このマップ（正距円筒図法を使用）は、WGS84回転楕円体上でマスク角度がm = 15度で、22,164キロメートル（地球の中心から）の衛星のカバレッジを示しています。球体のカバレッジを再計算しても、このマップは視覚的に変更されません。

球体では、カバレッジは真に衛星の位置を中心とする円になるため、その半径（角度）を把握するだけで済みます。 これをtと呼びます。断面には、地球の中心（O）、衛星（S）、および円上の任意の点（P）によって形成される三角形のOSPがあります。

• 辺OPは地球の半径Rです。

• サイドOSは、衛星の高さ（地球の中心より上）です。これをhと呼びます。

• 角度OPSは90 + mです。

• 角度SOPはtで、これを見つけたいです。

• 三角形の3つの角度の合計は180度であるため、3番目の角度OSPは90-（m + t）に等しくなければなりません。

解決策は、基本的な三角法の問題です。サインの（平面）法則は、

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

解決策は

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

チェックとして、いくつかの極端なケースを考慮してください。

1. m = 0、t = ArcCos（r / h）の場合、基本ユークリッドジオメトリで検証できます。

2. h = r（衛星が打ち上げられていない）、t = ArcCos（cos（m）/ 1）-m = m-m = 0

3. m = 90度の場合、t = ArcCos（0）-90 = 90-90 = 0になります。

これにより、球体に円を描くという問題が軽減され、多くの方法で解決できます。たとえば、衛星を中心とする等距離投影を使用して、衛星の位置をt * R * pi / 180だけバッファリングできます。球体上の円を直接操作する方法は、https：//gis.stackexchange.com/a/53323/664で説明されています。

編集

FWIW、GPS衛星および小さなマスク角度（20度未満）の場合、この非三角関数の近似は正確です（マスク角度が10度未満の場合、数十分の1から数百分の1未満） ）：

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

たとえば、マスク角度がm = 10度で、衛星が地球の中心から26,559.7 km（GPS衛星の公称距離）上にある場合、この近似では66.32159 ...が得られますが、値（球体に対して正しい）は66.32023 ...です。

（近似は、m = 0、r / h = 1/4の周りのテイラー級数展開に基づいています。）