真の楕円体表面表現で高精度が必要なのは、どのような種類の線分/エッジですか？

基本的なポイント、ライン、ポリゴンのプリミティブを使用して、「プロジェクションフリー」の地理的コードベースを考察（およびプロトタイプコーディング）しています。

ただし、平面への投影に伴うすべての犠牲を処理するのではなく、楕円体の表面で直接機能するアルゴリズムを作成しています。

潜在的な問題の1つは、さまざまな種類の「ライン」が存在することです。

• （円弧）大円：2点間の（一定の標高）サーフェスに沿った最短距離。見通し線に正確に対応する必要があります。
• 横線：2つのポイントを一定の方向のパスで接続します。たとえば、州の境界の一部は緯度の線（大圏ではありません）に従います。
• 曲線：円弧（特定の中心点から一定距離のパス）。ベジェ（曲面のコンテキストでの正しい再解釈については不明）など

さまざまな種類のパス（見逃したパスを含む）のうち、「正確な」表現を持つのに十分重要であるか、またはより単純なパスの短いセグメント（たとえば、短い測地線弧セグメント）によってエラー境界内を表すのか？

明確化の編集：上記の「正確」とは、パラメトリックを意味します。言い換えると、インポート時の高密度化ステップなしで、任意の精度で計算できます。

後に引用を追加するための編集は、地理プリミティブとしての3D単位ベクトルの使用に関する私自身の考えとほぼ同じです。非特異水平位置表現（altリンク）。最良の部分？自分ですべて書く必要はありませんでした！

問題は、離散化された近似ではなく、暗黙的に正確な表現に値する曲線の種類に関するものです。問題の核心はこれです。成功するには、この方法でサポートするカーブのクラスを、GISでサポートされるカーブおよびポリゴン作成操作のクラスの下で閉じる必要があります。

これらの操作は次のとおりです。

• バッファリング。このプロセスでは、フィーチャに平行なカーブを作成する必要があります。（「平行」とは、固定距離を維持するという意味です。）これには、円とその一部（バッファリングポイント用）、斜め平行（回転楕円体上の測地線に等距離のカーブで、特別な場合は孤立したポイントに減少する場合があります）が含まれます。 、および同心円。 球体では（ただし、一般的には楕円体ではありません）、斜めの緯線自体は円です。

• 影響のあるポリゴン（ティーセンポリゴン、ボロノイポリゴン、ディリクレセル）。ポイントフィーチャのコレクションのティーセンポリゴンを構築するには、測地線（直線）である二等分線を見つける必要があります。ただし、ポイントやセグメントなど、他の種類のフィーチャのコレクションの場合、ティーセンポリゴンの境界には放物線（平面内）の一部が含まれます。多分これをサポートしたくない...

• 集合論的オーバーレイ（交差、和集合、差、補集合）。これらの操作では、新しい種類のカーブは作成されません。

• 平行移動と回転。これらは通常、楕円体で正確に実行することはできません（均一な空間ではないため）が、球体では簡単です。球では、これらの操作によって新しい種類のカーブが作成されることはありません。

あなたが提案する本当に問題のある曲線のクラスは、一般的な横線（ロドドローム）で構成されています。緯度の線は横線ですが、（少なくとも球体では）円でもあるため、追加の問題はありません。しかし、一般的な横線は複雑な野獣です。子午線または緯線でない場合は、どちらかの極に螺旋を描きます。ラム線のバッファと平行移動は、まったく新しいタイプの曲線になります。あなたはこれらの結果を線と円の壊れたセグメントとして表現しなければならず、それはあなたの目的に反します（そして計算するのはかなり難しいでしょう）。したがって、rumbラインを正確にサポートしようとしないことをお勧めします。

要約すると、（a）より一般的な楕円体（「回転楕円体」）モデルではなく地球の球体モデルで作業し、（b）ティーセンポリゴンなどの特定の構成を制限すると、プログラムで成功するように見えます。 （および密接に関連している中心軸）をポイントのコレクションに関連付けます。

ダン、

私が測地学で行ってきたいくつかの仕事に興味があるかもしれません。これについては、このプレプリントで説明されています。特に、次のことに注意してください。

• 直接および逆測地線の問題は、機械精度に解決される場合があります。これは、倍精度で約15 nmを意味します。ロングダブルスに切り替えて、シリーズに余分な用語を追加し、午後6時の精度を得ることができます。特に、（ヴィンセンティの方法とは異なり）逆問題の解は常に収束することに注意してください。速度はVincentyの方法に匹敵します（直接的な解はやや速く、逆の解はやや遅い）。

• 短縮された長さと測地線スケールを計算します。これらの量は測地線の微分特性を与え、さまざまな測地線問題（交差、正中線など）をニュートン法を使用して迅速かつ正確に解くことができます。バッファ領域の境界の曲率は、これらの量で表すことができます。 私がproj.4メーリングリストに送信したこのメモを参照して ください。

• 私は、測地線が非常に直線的である楕円体のノモニック投影を定義します。これにより、楕円体の表面の問題を平面ジオメトリの問題にマッピングできます。たとえば、2つの測地線の交点は、交点を推定し、その点についてノモニック投影を実行し、交点を再推定して繰り返すことで正確に見つけることができます。

• 測地線ポリゴンの面積を表現します。正確な結果を得るために長いエッジを細分割する必要はありません。

• GeographicLib（sourceforge上）はアルゴリズムを実装します。

• 最後に、測地線は三角形の不等式に従うため、他の種類の曲線（特に大きな楕円または横線）よりも測地線の方が望ましいと述べました。これにはいくつかの影響があります：

  • 測地線と測地線の円は直角に交差します。
  • ポイントPと任意の曲線Cの間の最短のXXXラインは、XXX =測地線の場合にのみ、直角にCと交差します。
  • 測地線は、クワッドツリーを使用してデータを分割する自然な方法です。境界は、クワッドノード内の任意の点とすべての点の間の距離の範囲に配置できるためです。

これは、補助球を使用して交差問題を解決することに関する@Danの質問に対する答えです。

いいえ、補助球では交差を直接解決できません。問題は、楕円体から球体へのマッピングが測地線（たとえば、赤道での方位角）に依存することです。したがって、補助球は単一の測地線を解くのに適していますが、複数の測地線を含む問題を解決するのには適していません。

測地線の交差とインターセプション（ポイントと測地線の間の最短経路）を行うための推奨される方法は、ノモニック投影を使用することです。球の測地線は、ノモニック投影の直線にマッピングされるため、問題が半球に限定されている場合、これらの問題は2次元問題に変換されます。

楕円体の測地線の真直度を維持する投影はありません（曲率が一定でないため）。ただし、GeographicLibは、測地線がほぼ直線であるノモニック投影の一般化を提供します。これにより、測地線の交差と遮断のアルゴリズムが急速に収束します（ここでも、ポイントがすべて半球内にある場合）。gpesqueroへの私のコード（コード付き！）を参照してください

https://sourceforge.net/projects/geographiclib/forums/forum/1026621/topic/4085561

最後に、私が最近GeographicLibの測地線ルーチンをJavascriptに変換したことを指摘しておきます。これにより、Googleマップでそれらを試すことができます。見る

http://geographiclib.sourceforge.net/scripts/geod-google.html

http://geographiclib.sourceforge.net/scripts/geod-calc.html

（まだ、ノモニック投影をJavascriptに変換していません。それはかなり簡単です。同時に、方位角の等距離投影も変換します。これは、「中央線」を含む測地問題の別のクラスを解決する便利な方法だからです。 。）

補遺（2014-08-19）

また、測地線に沿って一定の速度で移動する2つの船の最接近時間を解くこともできます。測地線の微分特性がわかっているため、ニュートン法を使用して数回の反復で正確な解を得ることができます。これを実装するコードは、

https://sourceforge.net/p/geographiclib/discussion/1026620/thread/33ce09e0