ドット積を使用して2つのベクトル間の角度を取得するにはどうすればよいですか？

ゲームで正規化されたベクトルを使用することを学んでいます。

2つのベクトル間の角度を知るために、ドット積を使用できることを学びました。これにより、-1〜1の値が得られます。

• 1は、ベクトルが平行で同じ方向を向いていることを意味します（角度は180度です）。
• -1は、それらが平行で反対方向を向いていることを意味します（180度のまま）。
• 0 それらの間の角度が90度であることを意味します。

2つのベクトルのドット積を実際の角度（度単位）に変換する方法を知りたい。たとえば、2つのベクトルの内積がの0.28場合、対応する角度は0〜360度ですか？

dot(A,B) = |A| * |B| * cos(angle)
これはに再配置できます
angle = arccos(dot(A,B) / (|A|* |B|))。

この式を使用すると、2つのベクトル間の最小角度（0〜180度）を見つけることができます。0〜360度の範囲で必要な場合、この質問が役立ちます。

ところで、同じ方向を指す2つの平行なベクトル間の角度は、180度ではなく0度でなければなりません。

TravisGのコメントを少し拡張して、あなたの質問に「2D」タグが付いているという事実を利用して、別の回答をします。

内積を使用して2つのベクトル間の角度を取得できますが、それを使用して2つのベクトル間の符号付き角度を取得することはできません。別の言い方をすれば、キャラクターを時間の経過とともにポイントに向けて回したい場合、ドット積はどのくらいの方向にではなく、どれだけ回すかを取得します。ただし、別の簡単な式があります。これは、ドット積と組み合わせると非常に便利です。あなただけではありません

dot(A,B) = |A| * |B| * cos(angle)

また、別の式を使用することもできます（その名前は、政治的に正しいことを確認しました）。

pseudoCross(A,B) = |A| * |B| * sin(angle)

ここで、A =（a、b）、B =（x、y）の場合、pseudoCross（A、B）は外積の3番目の成分（a、b、0）x（x、y、0 ）。言い換えると：

a*x+b*y = |A| * |B| * cos(angle)

-b*x+a*y = |A| * |B| * sin(angle)

その場合、完全な符号付き角度はangle=atanfull(-b*x+a*y,a*x+b*y)（正規化されていない値を渡した場合、atanfullまたはatan2関数が許します）。AとBが正規化されている場合|A|=|B|=1、つまり、の場合、これらは単純です：

a*x+b*y = cos(angle)

-b*x+a*y = sin(angle)

より深い説明のために、上記の方程式は行列方程式で表現できることに注意してください。

[ a,b]   [x]   [cos(angle)]
[-b,a] * [y] = [sin(angle)]

しかし、bはのように表すことができるa=cos(ang1)、b=sin(ang1)いくつかの値に対して、ang1（ありませんangle）。したがって、左側の行列は、ベクトル（x、y）を-ang1だけ回転させる回転行列です。これは、単位ベクトル "A"がベクトル/軸（1,0）として扱われる参照フレームに切り替えることに相当します！したがって、このフレームに単位円/直角三角形を描画するだけで、その製品の結果ベクトルが（cos（angle）、sin（angle））である理由を確認できます。

（a、b）および（x、y）を極形式で記述し、角度差の式cos(l)*cos(m)+sin(l)*sin(m)=cos(l-m)およびを適用するとsin(l)*cos(m)-cos(l)*sin(m)=sin(l-m)、（lm）= angleであるため、サイン/コサインがこの製品によって与えられることを再表現します。あるいは、これらのIDを使用して、上記の線形積がベクトルを回転させる理由を確認できます。

これらのすべてのアイデンティティは、角度がほとんど必要ないことを意味します。ラジアン/度、逆サイン/コサインの規則、2 * piごとに繰り返すという事実は、角度が奇妙になる可能性があるため、これは実際にはより便利で、「if（ang <180）」などのロジックを節約できます。