円衝突内の円

私のプロジェクトの1つに、円形のゲームエリアがあります。この円の中に別の小さな円が動き回っています。私がしたいのは、小さな円が大きな円の外に移動しないようにすることです。下のフレーム2では、小さな円の一部が外側にあることがわかります。外側に移動する直前に戻す方法が必要です。これはどのように行うことができますか？

また、小さな円の速度を更新できるように、大きな円の円弧に沿った衝突点が必要です。この点を計算するにはどうすればよいでしょうか？

小さな円を移動する前に、次の位置を予測し、それが外にある場合は、t = 0とt = 1（t = 1フルタイムステップ）の間の衝突時間を見つけます。衝突時間tがある場合、フルタイムステップではなく、tの間に小さな円を移動するだけです。しかし、繰り返しになりますが、問題は、2つの円ともう1つの円の内側に衝突したときに衝突が発生したときに、その検出方法がわからないことです。

編集：

衝突点の例（緑）見つけたい。たぶん写真は少しずれているかもしれませんが、あなたはアイデアを得ます。

大きな円の中心Aと半径がRあり、小さな円の中心Bと半径がr場所に向かって移動するとしますC。

この問題を解決するためのエレガントな方法は、使用して、あるMinkovski和（実際には減算を、）：半径のディスクを交換するR半径の円板でR-r、半径のディスクr半径のディスクで0、すなわち。にある簡単なポイントB。問題は、線と円の交差問題になります。

次に、距離ACがより小さいかどうかを確認するだけですR-r。そうであれば、円は衝突しません。それが大きい場合は、の距離でポイントDを見つけてください。これが小さな円の中心の新しい位置になります。これは、次のようなものを見つけることと同じです。BCR-rAk

  vec(BD) = k*vec(BC)
and
  norm(vec(AD)) = R-r

ギブvec(AD)で置き換えるvec(AB) + vec(BD)：

AB² + k² BC² + 2k vec(AB).vec(BC) = (R-r)²

初期位置が大きな円の内側にある場合、この2次方程式にkは1つの正の根があります。擬似コードで方程式を解く方法は次のとおりです。

b = - vec(AB).vec(BC) / BC²    // dot product
c = (AB² - (R-r)²) / BC²
d = b*b - c
k = b - sqrt(d)
if (k < 0)
    k = b + sqrt(d)
if (k < 0)
    // no solution! we must be slightly out of the large circle

このの値でkは、小さな円の新しい中心はのDようになりBD = kBCます。

編集：二次方程式の解を追加

大きな円が円Aで、小さな円が円Bだとします。

BがA内にあるかどうかを確認します。

distance = sqrt((B.x - A.x)^2 + (B.y - A.y)^2))
if(distance > A.Radius + B.Radius) { // B is outside A }

フレームn-1BがAの内側にあり、フレームnBがAの外側にあり、フレーム間の時間が大きすぎなかった場合（別名Bがあまり速く移動していなかった場合）、Bの相対座標のデカルト座標を見つけるだけで衝突点を概算できますAへ：

collision.X = B.X - A.X;
collision.Y = B.Y - A.Y;

次に、この点を角度に変換できます。

collision.Normalize(); //not 100% certain if this step is necessary     
radians = atan2(collision.Y, collision.X)

t初めてBがAの外側にあるものをより正確に知りたい場合は、すべてのフレームで光線と円の交差を行い、Bから衝突点までの距離が大きいかどうかを比較します。現在の速度。もしそうなら、衝突の正確な時間を計算することができます。

（Xa、Ya）を大きな円の位置と半径R、（Xb、Yb）を小さな円の位置と半径rとします。

これら2つの円が衝突するかどうかを確認できます。

DistanceTest = sqrt(((Xa - Xb) ^ 2) + ((Ya - Yb) ^ 2)) >= (R - r)

衝突の位置を見つけるには、バイナリ検索を使用して、ステップ数を固定して、円が衝突する正確な時間を見つけます。ゲームの作成方法に応じて、コードのこの部分を最適化できます（小さなボールの動作に依存しないようにこのソリューションを提供しました。一定の加速または一定の速度がある場合、コードのこの部分を最適化して、単純な式に置き換えられます）。

left = 0 //the frame with no collision
right = 1 //the frame after collision
steps = 8 //or some other value, depending on how accurate you want it to be
while (steps > 0)
    checktime = left + (right - left) / 2
    if DistanceTest(checktime) is inside circle //if at the moment in the middle of the interval [left;right] the small circle is still inside the bigger one
        then left = checktime //the collision is after this moment of time
        else right = checktime //the collision is before
    steps -= 1
finaltime = left + (right - left) / 2 // the moment of time will be somewhere in between, so we take the moment in the middle of interval to have a small overall error

衝突時間がわかったら、最終的な時間での2つの円の位置を計算します。最終的な衝突点は

CollisionX = (Xb - Xa)*R/(R-r) + Xa
CollisionY = (Yb - Ya)*R/(R-r) + Ya

Sam Hocevarによって記述されたアルゴリズムを使用して、jsfiddleの円で跳ねるボールのデモを実装しました。

http://jsfiddle.net/klenwell/3ZdXf/

連絡先を識別するJavaScriptは次のとおりです。

find_contact_point: function(world, ball) {
    // see https://gamedev.stackexchange.com/a/29658
    var A = world.point();
    var B = ball.point().subtract(ball.velocity());
    var C = ball.point();
    var R = world.r;
    var r = ball.r;

    var AB = B.subtract(A);
    var BC = C.subtract(B);
    var AB_len = AB.get_length();
    var BC_len = BC.get_length();

    var b = AB.dot(BC) / Math.pow(BC_len, 2) * -1;
    var c = (Math.pow(AB_len, 2) - Math.pow(R - r, 2)) / Math.pow(BC_len, 2);
    var d = b * b - c;
    var k = b - Math.sqrt(d);

    if ( k < 0 ) {
        k = b + Math.sqrt(d);
    }

    var BD = C.subtract(B);
    var BD_len = BC_len * k;
    BD.set_length(BD_len);

    var D = B.add(BD);
    return D;
}