グラフを段階的に生成するにはどうすればよいですか？

テレポーターで接続された手続き的に生成された場所でゲームの世界を構成したいという新しいプロジェクトを始めたところです。少し調べてみたところ、誰が議論しているかによって、「グラフ理論」または「流血複雑」と呼ばれることがわかりました。残念ながら、グラフの生成に関する情報はほとんど見つかりませんでした。私が見たほとんどのツールは、既存のグラフを調べることに向けられています。

用語が正しく整理されていると仮定すると、私の要件はグラフが次のとおりであることです。

• シンプル—位置（頂点）にはそれ自体に接続するテレポーター（エッジ）がなく、2つの頂点にそれらを接続する複数のエッジがあるべきではありません。
• connected —グラフ内の任意の2つの頂点の間を移動できるはずです（ただし、パスを見つける必要があるとは思いもしません。プレイヤーがパスを選択すれば、パスを見つけることができると知っていれば十分です）。
• 循環—任意の2つの頂点間に複数のパスが必要です
• 無向—すべてのエッジはどちらの方向にも移動できます
• 無限—プレイヤーが望めば、無限に移動できるはずです。探索されていない最も外側の頂点に近づくにつれて、グラフは徐々に生成され続けます。
• ローカルで有限—頂点の次数は、プレーヤーが訪問した後は決して変更されません。
• 安定したラベル—各頂点は、それ自体がシードから手続き的に生成される場所を表します。プレイヤーがそこを移動するために使用したパスや、グラフがどれだけ大きいかには関係なく、同じシードを頂点に割り当てる必要があります。

頂点として2Dパーリンノイズの極大値を使用する（入力xとyをラベルとして使用できるようにする）ことについていくつかのアイデア（まだ実装しようとしていません）がありましたが、それは不格好で複雑すぎます。

このようなグラフを生成するより良い方法はありますか？私はPanda3Dとnumpyを使用してPython 2.6で開発しています。もちろん、この問題を解決するために他のライブラリを含めてもかまいません。

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私は自分の要件のいくつかを説明するのが苦手だったと思うので、それはイラストの時間です！うまくいけば、これは物事を片付けるでしょう。

ラベルが安定しているということは、たとえば、プレーヤーAがたくさんの探索を行って、特に開始位置に戻る循環パスや猫のような山を見つけられるようにしたいということです。彼のゲームは次のようになります（頂点にはシードとエッジがあり、プレイヤーがトラバースした順序で番号が付けられています）。彼は頂点8329（緑）から始め、ハッピーキャットマウンテンは頂点6745（青）にあります。

プレイヤーAの仲良しプレイヤーBは猫のファンなので、彼女に見せたいと思っています。彼は彼女に彼の世界のルートシードと興味のある山へのより短いルートに沿った方向を与えます。彼女のゲームは次のようになります。

私が現在最も苦労している問題は、「彼女の探索が同じ経路をたどっていないときに、プレーヤーBに同じシードを生成するにはどうすればよいですか？」です。 これが、Perlinノイズを使用するアイデアに私を導いたものです。同じルートシードが使用されている限り、最大値は移動しないため、それらの座標は安定した頂点シードとして使用できます。

あなたは無限のグラフを作ることはできません。あなたの記憶は有限なので、頂点と辺の数も有限です。あなたができることは、有限グラフを作成し、それにさらにグラフを追加することです。あなたはこれに気づいたようですが、行き止まりの道を下らないように明示的に述べることが重要だと思います。

「最も外側の頂点」について話すときは、十分に注意する必要があります。グラフは、頂点のセット、エッジのセット、およびこの2つを関連付ける関数です。適用しない限り、幾何学的解釈はありません。たとえば、これらの画像はどちらもまったく同じグラフを示しています。最初の画像では、頂点2は「最も外側の」頂点と見なされますが、2番目の画像では、頂点2は「最も外側の」頂点と見なされません。3次元を考えた場合、すべての頂点が「最外部」であると言えます。

つまり、「最も外側の」頂点が何であるかを知るには、他の情報が必要です。（x、y）のペアを使用すると、幾何学的表現を視覚化しやすくなりますが、それほど遠くに移動する必要はないと思います。あなたが言うことから、あなたが知る必要があるのは、どの頂点がすでにグラフにあるかだけです。

頂点にアクセスするたびにこれを実行した場合：

if(this.needsNeighbours)
{
    List<int> connections = genRandomNumbers(n);
    foreach (int connection in connections)
    {
        //Simple graph
        if(connection == this.seed || this.hasNeighbour(connection))
        {
            continue;
        }
        //Connections to already existing, unvisited vertices
        else if(nodeMap.containsKey(connection) && 
                nodeMap.getByKey(connection).needsNeighbours)
        {
            nodeMap.getByKey(connection).addNeighbour(this.seed);
            this.addNeighbour(connection);
        }
        //Grow graph with new vertices
        else
        {
            nodeMap.add(connection, new Node(connection));
            nodeMap.getByKey(connection).addNeighbour(this.seed);
            this.addNeighbour(connection);
        }
    }
    this.needsNeighbours = false;
}

グラフは、循環的であることを除いて、すべての要件を満たします。実際に保証が必要かどうかはわかりません。その場合、未訪問のノードを具体的に選択して接続することができます。これにより、現在のノードと既に訪問済みのノード間のパスが保証されます。現在の場所を取得するためにノードにアクセスしました。少なくとも2つのパスがあります。

すべての新しいノードが少なくとも1つの接続を取得するために接続され、明示的にチェックされるため、接続は単純です。エッジは、訪問前または最初の訪問時にのみ追加され、訪問されていないノードにのみ追加されるため、ローカルで有限です。技術的には無向ではありませんが、機能的には、両方向に方向エッジを作成するのと同じです。ノードには任意のラベルを付けることができます。生成された乱数を使用しますが、1つはシードである他のパラメーターをコンストラクターに追加できます。

1つの方法：

init:
  root = generateLocation using random seed
  store root's seed
  place player in root location

when the player enters a new location:
  release the memory used by locations that are further than 1 edge away, but keep their seeds
  generate some neighbors for the new location. for every neighbor n:
    gen.seed(getSeed(n))
    n = generateLocation using n's random seed
    numCyclicEdges = gen.randint(0, 1)
    create numCycleEdges edges to existing locations

getSeed(n):
  if(n already has a seed) return n's seed
  else return randomSeed()

省略した詳細はたくさんありますが、これは一般的なアイデアを捉えたものです。ポータル間に存在する世界距離の大きさ、利用可能なメモリの量などに応じて、現在の場所からより離れたエッジのメモリ内にネイバーを保持したい場合があります。