グラフィックスカードは、ベクトルの4番目の要素を最終位置として何をしますか？

この質問から、行列乗算で位置を変更する方が簡単なので、4要素の位置ベクトルが必要になります。

これは、4D要素を3Dポイントの表現と見なす場合（変換なしと仮定した場合）、4番目の要素を単に無視することを意味しますが、4番目の要素がvector4をGPUに供給する場合、要素は1つではなく、レンダリングされません-なぜですか？

ラスタライザに配置された4番目の要素の意味は何ですか？

編集：レビューの際、この質問の言葉遣いはやや不十分でした。2番目の段落が「4番目の要素の値が特定の範囲内にない場合、「正しく」/「期待どおり」にレンダリングされない」と言う方が正確です。

4番目のコンポーネントは、透視投影を追跡するためのトリックです。透視投影を行う場合、zで除算する必要があります。x '= x / z、y' = y / zですが、これはxのベクトルで動作する3x3行列で実装できる演算ではありません。 y、z。これを行うための標準になったトリックは、4番目の座標wを追加し、すべての変換が適用されてからラスタライズされる前に、x、y、zが常にwで除算されることを宣言することです。

透視投影は、zをwに移動する行列を持つことで達成され、その結果、zで除算されます。ただし、除算を行いたくない場合は、w = 1.0のままにしておくこともできます。たとえば、平行投影や回転などが必要な場合。

位置をw = 1としてエンコードし、方向をw = 0としてエンコードし、行列の4番目の行/列を変換に使用できることは、副次的な利点ですが、wを追加する主な理由ではありません。アフィン変換（3x3マトリックスと3コンポーネントの変換ベクトル）を使用して、wが見えない状態で変換を実行できます。（位置と方向を追跡し、それぞれに異なる変換関数を適用する必要があります。これは少し不便ですが、大したことではありません。）

（数学的には、wで補われたベクトルは同次座標と呼ばれ、射影空間と呼ばれる場所に住んでいます。しかし、3Dグラフィックスを行うために高度な数学を理解する必要はありません。）

Natanの適切なコメントに答えるために、Affine Spaceでベクターを使用して標準ユークリッド空間で3Dベクターを表す場合に実際に何が起こるかを理解するのに役立ついくつかの考慮を行いました。

最初に、座標を持つものは何でもvectorを呼び出すので、ポイントとベクトルは同じエンティティです。ベクトルは2点の差として見ることができます：V = B - A ; A + V = A + B - A = Bであるため、VはAをBに移動し ます。入れてA = 0（原点）と、あなたはそれが得るV = B - 0 = B：ポイントBとベクトル移動していること0Bは同じものです。

アフィン空間のベクトルがw = 0である場合、大部分の3Dライブラリで使用される意味で「ベクトル」を呼び出します。

行列は、線形関数をコンパクト/エレガント/効率的な形式で表すことができるために使用されますが、線形関数には、原点を変換できない大きな欠点があります：F が線形になりたい場合はF （0）= 0 amog他のもの、例えばF（λ X）=λF（X）とF（A + B）= F（A）+ F（B））

これは、0ベクトルを移動することはないため、変換を行う行列を構築できないことを意味します。ここに登場するのがアフィンスペースです。アフィン空間は、ユークリッド空間に次元を追加するため、スケーリングと回転で移動を行うことができます。

Affine Spaceは、AffineとEuclideanのベクトルの間に同値関係を構築できるという意味で射影空間であるため、それらを混同することができます（ポインとベクトルで行ったように）。同じ方向で原点に投影されるすべてのアフィンベクトルは、同じユークリッドベクトルとして見ることができます。

これは、座標内で同じ比率を持つすべてのベクトルを同等と見なせることを意味します。

数学的に：

つまり、すべてのアフィンベクトルは、w = 1のキヤノンバージョンに減らすことができます（すべての同等のベクトルの中から、最適なベクトルを選択します）。

視覚的に（2Dユークリッド-3Dアフィン）：

したがって、「投影」空間の平均。ここで、ユークリッド空間は2D（シアン領域）であることに注意してください。

（ハイパー）平面w = 0にある正規バージョンに（簡単に）配置できないアフィンベクトルの特定のセットがあります。

視覚的に表示できます。

w-> 0のとき、ユークリッド空間への射影ベクトルは無限になりますが、特定の方向では無限になります。

射影空間に2つのベクトルを加算すると、和ベクトルをユークリッド空間の射影ベクトルと見なすと問題が発生することが明らかです。これは、アフィン空間のWコンポーネントを合計してから、ユークリッド（ハイパー）平面。

これは、「ベクトル」が「ポイント」のw座標を変更しないため、「ポイント」のみを「ベクトル」に加算できる理由です。これは、w = 1の「ポイント」にのみ当てはまります。

ご覧のとおり、緑色の点はシアンの「点」とVの「ベクトル」を表す2つのアフィンベクトルを加算したものですが、キヤノン1とは異なる形式ですべてのアフィンベクトルにVを適用すると、間違った結果（赤い「 "ポイント"」）。

あなたはそれを見アフィン空間を透過的に使用することはできませんユークリッド空間と上の動作を説明する「ベクター」という用語の誤用計算和の（厳格な）制約の下で意味を持っているだけでキヤノン射影ベクトル。

つまり、GPUがVector4にはw = 0 または w = 1 が必要であると想定していると考えるのは非常に合理的です。

（x、y、z、w）のようなベクトルを想定します。このベクトルには、4つのコンポーネントx（空間内のx座標）、y（空間内のy座標）、z（空間内のz座標）、および興味深く神秘的なw成分があります。実際、ほとんどの3Dゲームは4D空間で動作します。4D同種空間とも呼ばれます。それにはいくつかの明らかな利点があります->

1>平行移動と回転の行列を1つにまとめるのに役立ちますが、平行移動と回転の行列を乗算するだけでよいのですが、それだけではありません。すべてのベクトルのwコンポーネント次に、3dベクトル（xyz）を平行移動と回転の結合行列に乗算すると、x、yまたはzで値を無意識にスケーリングします（これが行列乗算の動作方法です）。この問題を修正するために、4番目の成分ベクトルが導入され、vector（w）のこの成分はケースの99％で値1.0を保持します。この4番目の成分により、スケーリングされていない位置の値（変換）を持ちます。行列は次のように表されます->

 [x y z w] [rx1 rx2 rx3 1]
           [ry1 ry2 ry3 1]
           [rz1 rz2 rz3 1]
           [px  py  pz  1]

そして、シンプルでありながら強力なマトリックスがあります。:)

2>透視投影ステージでz値をwコンポーネントにコピーし、x、yをそれで分割します。このようにして、オブジェクトがスクリーンから離れるにつれて短くなります。