ケプラー軌道：時間の経過とともに軌道上の位置を取得

スペースシミュレーション関連のゲームを開発しています。次のように、バイナリスターの動きを実装するのに問題があります。

2つの星は重心を周回し、軌道は楕円形です。

基本的に、任意の位置での角速度を決定する方法は知っていますが、経時的な角速度は知りません。したがって、与えられた角度で、星の位置を非常に簡単に計算できます（http://en.wikipedia.org/wiki/Orbit_equationを参照）。

時間をかけて星の位置を取得したいと思います。楕円のパラメトリック方程式は機能しますが、正しい速度が得られません { X(t) = a×cos(t) ; Y(t) = b×sin(t) }。

それは可能ですか、どのように行うことができますか？

あなたが参照するウィキペディアのページからいくつかのリンクをたどると、時間の関数としての位置につながります。

上記の便利なアニメーションを作成するのに十分なデータがあるようです。シミュレーションには、私のソリューションで提供されるよりも高い精度が必要になる場合があります。

上記のアニメーションの各フレームについて、各星の中心のピクセル位置を記録します。これらの値をプログラムの2つの配列に入力します。所定の時間tについて、各配列で対応する4つの連続したエントリを見つけ、それらに双三次フィルターを実行して、各星の位置を生成します。

数値積分が最も簡単な方法であることがわかりました。逆二乗則（F = GM / r ^ 2）はかなりうまく機能します。また、RK4と呼ばれることが多いRunge Kuttaオーダー4は、実装が簡単で、静かに動作します。たとえば、2D空間の1つのオブジェクトに対して、1次の時間微分をとるルーチンを書くことから始めます。XとYの座標、XとYの速度があります。出力は時間微分であり、位置の時間微分は単に速度なので、その半分は値をコピーするだけであり、加速度は重力の引力にすぎません。次に、Runge Kuttaの処方に従います。1つのタイムステップの誤差は、タイムステップの5乗に比例します。時間ステップを調整して、結果を十分に正確にします。数値積分の利点の1つは、システムをいじって面白くしたい場合です。