増幅と-3dB

次の2つの回路があります。ここに画像の説明を入力してください

「通常の」OPAMP（コンデンサなし）では、回路の増幅率を計算する方法がわかります（）。しかし、これらの2つのコンデンサでどうすればよいですか？しかし、-3 dBポイントが両方の回路のどこにあるかをどのように計算しますか？ $A=\dfrac{U_{uit}}{U_{in}}$

operational-amplifier amplifier

— シェーンテフロン
ソース

オペアンプを少しの間外すと、C1 / R1のみの場合、-3dBポイントを計算できますか？R1 / C1だけのAの式を知っていますか？そして、オペアンプの非反転入力を調べると、どのような入力インピーダンスが予想されますか？

— ジッピー2013

コンデンサのインピーダンスは次の1/jwc

— とおり

そして、最初のサーキットは次のようなものだと思いますR1/((1/jwc)+R1)

— SjonTeflon

私の複素数は少し錆びていますが、それは私には正しいようです。

— ジッピー2013

英語のコンデンサーはコンデンサーBTWです。

— ジッピー2013

回答:

両方の回路のオペアンプは、ゲインが1の単なる電圧フォロワなので、ゲインの計算には関係ありません。

左側の回路はシンプルなRCハイパスフィルターで、右側の回路はシンプルなRCローパスフィルターです。これらのそれぞれのゲインは、通過帯域では1です。阻止帯域に入ると、ゲインは6 dB /オクターブまたは20 dB /ディケードの周波数で減少します。

いずれかのタイプのフィルターのロールオフポイントは、コンデンサのインピーダンスの大きさが抵抗に等しいときです。周波数の方程式は次のとおりです。

F = 1 /（2πRC）

RがオームでCがファラッドの場合、Fはヘルツです。あなたの場合、100 nFと3.3kΩがあるので、各フィルターのロールオフ周波数は約480 Hzです。その周波数では、フィルターは2の平方根の係数で減衰するか、-3 dBのゲインを持ちます。周波数の関数としてのフィルターゲインはスムーズに変化しますが、いずれかの方向に1オクターブまたは2オクターブ後に、片側のロールオフ周波数から20 dB /ディケードに近づき、もう片側ではユニティゲインになります。

左側のフィルターはハイパスであるため、480 Hzを超える周波数では、周波数が高くなるにつれてユニティゲインに近づきます。約1 kHzの後、ほとんどの目的で、通常のオーディオアプリケーションでは、ゲインは1に十分近くなります。480 Hzをはるかに下回ると、480 Hzと実際の周波数の比率で漸近的に減衰します。たとえば、100 Hzでは4.8倍近く減衰し、ゲインは-14 dB近くになります。

右側のローパスフィルターは、480 Hzのロールオフ値を中心に周波数をフリップした場合と同じように機能します。100 Hzではゲインはほぼ1になり、3 kHzでは-16 dBのゲインに対して3 kHz / 480 Hz = 6.25倍近く減衰します。

— オリン・ラスロップ
ソース

しかし、-3 dBポイントが両方の回路のどこにあるかをどのように計算しますか？

一般に、伝達関数の大きさを見つけ、それをに設定し、周波数を解きます。 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}^*$

単純な1次フィルターの場合、これはほとんど取るに足りません。2番目の回路では、オペアンプの反転入力の電圧は次のとおりです。

\begin{matrix} (1) & V_{+} = V_{i n} \frac{1}{1 + j ω R C} \end{matrix}

$V_+ = V_{in}\dfrac{1}{1 + j \omega RC} \tag{1}$

共役を掛けて、大きさの2乗を求めます。

\begin{matrix} (2) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2} = \frac{1}{1 + j ω R C} \frac{1}{1 - j ω R C} = \frac{1}{1 + (ω R C)^{2}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2 = \dfrac{1}{1 + j \omega RC}\dfrac{1}{1 - j \omega RC} = \dfrac{1}{1 + (\omega RC)^2} \tag{2}$

平方根をとって、大きさを見つけます。

\begin{matrix} (3) & | \frac{V_{+}}{V_{i n}} | = \frac{1}{\sqrt{1 + (ω R C)^{2}}} \end{matrix}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \tag{3}$

これで、場合、これがに等しいことが簡単にわかります $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\omega = \dfrac{1}{RC} \tag{4}$

$^*20\log(\frac{1}{\sqrt{2}}) \approx -3dB$

— アルフレッドケンタウリ
ソース

うわー、単純なものをほとんど理解できないようにする方法！ただし、+ 1は正確で完全なためです。

— Olin Lathrop

@OlinLathrop不可解ですか？これは、2年生レベルの工学部の学生が回路解析のクラスで扱う最も基本的な数学です。事の背後にある数学を知ることは常に良いことです。

— krb686

@OlinLathropこの答えの½√2が正しい場合、私はあなたのことを誤解していますか？「その周波数では、フィルターは2分の1に減衰します」

— ジッピー、2013

私の複雑な数学は少し錆びており、（1）から（2）にどうやって到達するのかわかりません。私は取得が、右は1 /（1-jωRC）を掛けて、なぜ私は得ることはありません。それは1 /（1 +jωRC）でなければならなかったと思います。説明するのは簡単ですか、私の色あせた記憶を少し助けますか？もちろん、-ではなく+が必要な理由はわかりますが、なぜ許可されているのですか？

| \frac{V_{+}}{V_{i n}} |^{2}

$|\dfrac{V_+}{V_{in}}|^2$

— ジッピー2013

@jippie、複素数または複素関数の大きさはの複素共役であり、。もし、そして。次に、は実数です。

Z

$Z$

| Z | = \sqrt{Z Z^{*}}

$|Z| = \sqrt{ZZ^*}$

Z^{*}

$Z^*$

Z

$Z$

Z = a + j b

$Z = a + jb$

Z^{*} = a - j b

$Z^* = a - jb$

Z Z^{*} = (a + j b) (a - j b) = a^{2} + b^{2}

$ZZ^* = (a + jb)(a - jb) = a^2 + b^2$

— アルフレッドケンタウリ