フーリエ変換、ラプラス変換、Z変換の関係と違い

これらのトピックについて少し混乱しました。彼らはすべて私に同じように見え始めました。それらは、それらに関連する線形性、シフト、スケーリングなどの同じ特性を持っているようです。それらを別々に配置して、各変換の目的を特定することはできないようです。また、これらのどれが周波数分析に使用されますか？

この特定の問題に対処する完全な答えは（Googleで）見つかりませんでした。わかりやすくするために、同じページでそれらを比較したいと思います。

ラプラスおよびフーリエ変換は、連続関数の連続（積分）変換です。

ラプラス変換関数マップ関数をF （S ）複素変数のS、S = σ + jはω。$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

誘導体のではsF（s）に写像されます。線形微分方程式のラプラス変換は代数方程式です。したがって、ラプラス変換は、とりわけ、線形微分方程式を解くのに役立ちます。$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

我々は複素変数の実数部に設定した場合、Sをゼロに、、結果はフーリエ変換されたF （jはω ）本質的である周波数領域表現のF （T ）これが真実であること（注のみの場合σの値f （t ）のラプラス変換を得るための式が存在します。つまり、無限になりません。$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Z変換は、本質的にラプラス変換の離散バージョンであり、したがって、微分方程式の離散バージョンである差分方程式を解くのに役立ちます。Z変換は、配列マッピング連続関数F （Z ）複素変数のZ = R E J Ω。$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

ラプラス変換は、CTFTのスーパーセットと見なすことができます。伝達関数の根が虚数軸上にある場合、つまり、前のコメントで述べたように、s =σ+jω、σ= 0の場合、ROCでは、ラプラス変換の問題は連続時間フーリエ変換に減少します。少し巻き戻すには、フーリエ変換があったときに最初にラプラス変換が進化した理由を知っておくとよいでしょう。ご覧のように、関数（信号）の収束は、フーリエ変換が存在するための必須条件です（絶対に加算可能）が、そのような収束信号を持つことが不可能な物理世界にも信号があります。しかし、それらを分析する必要があるため、単調に減少する指数e ^σを乗算することで収束させ、その性質により収束させます。この新しいσ+jωには新しい名前 's'が与えられますが、これは因果的LTIシステムの正弦波信号応答を 'jω'として頻繁に置き換えます。s平面では、ラプラス変換のROCが虚軸をカバーする場合、信号が収束するため、フーリエ変換が常に存在します。周期的な信号で構成される虚軸上のこれらの信号は、e ^jω= cosωt+ j sinωt（オイラー法による）です。

ほとんど同じように、z-transformはDTFTの拡張機能であり、最初に収束させ、次に生活を楽にするためのものです。ae ^jω（r、円の半径ROCをuntiyに設定）よりもazを扱うのは簡単です。

また、ラプラス変換は、片側（片側）変換として使用すると、ラプラス変換よりも生活がずっと容易になるため、ラプラスよりもフーリエ変換を使用する可能性が高くなります。両方で使用することもできますが、結果は数学的な違いがあれば同じになります。

フーリエ変換は、周波数領域で時変関数を変換/表現するためのものです。

ラプラス変換は、「積分領域」の時変関数を変換/表現するためのものです

Z変換はラプラスに非常に似ていますが、離散時間間隔変換であり、デジタル実装に近いです。

変換に使用される方法は非常に似ているため、すべて同じように見えます。

ラプラス変換とフーリエ変換の違いを、電気回路に基づいた例を使って説明します。したがって、既知の微分方程式で記述されたシステムがあるとします。たとえば、一般的なRLC回路があるとします。また、回路をオンまたはオフに切り替えるために共通のスイッチが使用されると仮定します。正弦波定常状態の回路を調べたい場合は、フーリエ変換を使用する必要があります。そうでない場合、解析にスイッチのONまたはOFFが含まれる場合、微分方程式のラプラス変換を実装する必要があります。

言い換えれば、ラプラス変換は、初期状態から最終正弦波定常状態へのシステムの応答の過渡的変化を研究するために使用されます。システムの初期状態からの過渡現象だけでなく、最終的な正弦波定常状態も含まれます。

さまざまな仕事のためのさまざまなツール。16世紀の終わり頃、天文学者は厄介な計算を始めていました。対数は、乗算と除算をより簡単な加算と減算に変換するために最初に計算されました。同様に、ラプラスおよびZ変換は、厄介な微分方程式を、解く可能性のある代数方程式に変換します。フーリエ級数は、レンガの熱流やその他の偏微分方程式を解くために最初に発明されました。振動する弦、オルガンパイプ、および時系列分析への応用は後になって来ました。

伝達関数を計算するためのLTIシステムでは、フーリエ変換またはz変換の代わりにラプラス変換のみを使用します。フーリエ変換では、境界付きの出力が得られるため、無限になりません。また、z変換は離散信号に使用されますが、LTIシステムは連続信号であるため、z変換を使用できません。したがって、ラプラス変換を使用すると、LTIシステムの伝達関数を計算できます。