スターメッシュ変換はどのような条件下で可逆的ですか？

3抵抗ネットワークを簡素化するためのΔ-Y（デルタワイ）およびY-Δ（ワイデルタ）変換は、誰もが知っているものであり、愛しています。

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Δ-YおよびY-Δ変換には、関係する抵抗値に関係なく、Δを常にYに変換でき、Yを常にΔに変換できるという優れた特性があります。

スターメッシュ変換と呼ばれるY-Δ変換の一般化バージョンがあります。これにより、 $N$ 抵抗の「スター」が抵抗の「メッシュ」に変換されます。 $^{N}C_{2}$

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ウィキペディアは、星からメッシュへの変換は常に存在することを示唆していますが、逆変換であるメッシュから星への変換は存在しない可能性があります。機知に：

変換により、N個の抵抗が個の抵抗に置き換えられます。N> 3の場合、結果は抵抗の数の増加であるため、追加の制約がない限り、変換には一般的な逆数はありません。 $^{N}C_{2}$

逆行列が存在するために満たさなければならない制約は何ですか？

特に、4ノードメッシュネットワークを4抵抗スターネットワークに変換することに興味があります。

質問の動機：約2,000ノードを含む産業用電力システムモデル（実際には非常に大規模な定電圧源とインピーダンスのネットワーク）があります。興味のある4つのノードだけに減らすことを試みています。

編集：

このトピックに関するいくつかの公開論文があります。

Versfeld、L。、「電気ネットワークのスターメッシュ変換に関する注意事項」、 Electronics Letters、vol.6、no.19、pp.597,599、9月17 1970

よく知られているスターメッシュ変換の2つの新しい側面が研究されています。（a）与えられた一般的なメッシュネットワークを同等のスターネットワークに変換するための必要十分条件。（b）ソースを含むネットワークの拡張。
バペシュワララオ、VV; Aatre、VK、「メッシュスター変換」、 Electronics Letters、vol.10、no.6、pp.73、74、March 21 1974

後者がホイートストンの関係を満たす場合、与えられたメッシュネットワークに同等のスターネットワークが存在します。この事実を使用すると、そのようなメッシュネットワークのデータムノードアドミタンス行列のすべての非対角コファクターが等しいことが示されます。このプロパティから、2つのネットワークの要素間の単純な関係が導出されます。

IEEE Xploreにアクセスできないため、読み込めません。

circuit-analysis

— リ・アウン・イップ
ソース

@ user26129：この質問は、EE.SEがすでに大量に得ている回路解析の質問と同じ流れです。唯一の異常な部分は、学部課程ではなく、教科書の特定の演習ではなく一般的な質問であるということです。

— 李アウンイップ

@ Li-aungYip：あなたの質問をEE.SEに入れることの妥当性に異議を唱えているわけではありませんが、他の場所でより多くのより良い応答が得られると信じています。私はあなたの質問を取り下げようとするのではなく、あなたが答えを得ようとしています;）

— user36129

@ user26129：ああ！いずれにせよ、望ましい答えは、リンクされているElectronics Lettersの論文にあります-それらのコピーを入手して、ここでそれらを読んで、適切な部分を答えとして投稿できるようにしています。

— 李アウンイップ

リチウムaungYip @だけでなく、それはあなたが必要とするすべての場合... efficientelectronics.nl/04245011.pdf

— user36129

スターネット抵抗を使用してメッシュネットのさまざまな抵抗を計算する方法は実際には得られませんでしたが、抵抗の数が増えるため、探している追加の制約は任意である必要があります。逆変換の方程式を解くと、方程式よりも多くの変数を持つ方程式系が得られるため、いくつかの抵抗を選択してから他の抵抗を計算します。

— ウラジミールクラベロ

メッシュスター変換の問題は、変数よりも多くの方程式があるため、結合数が $N_b$ $N_b=N_e-N_v$ $N_e$ $N_v$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$ $G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$ $G_{XY}\ne0$ $\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$ $\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ $\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$ $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ $G_{TOT}$ $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$ 、ここで $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$ 、等々.. $\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$ . With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

— MatteoDL
ソース

Are

G_{A B} G_{C D} = G_{A C} G_{B D} = G_{A D} G_{B C}

$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ necessary conditions, sufficient conditions, or necessary and sufficient conditions?

— Li-aung Yip

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.

— Kaz
ソース