条件付き安定性

オペアンプとフィードバック、およびフィードバックがそれらの安定性に与える影響について学習しています。私はこれに出くわしたときにゲインと位相マージンとその使用について読んでいます：

約2 kHzでフィードバックが正であると仮定すると、写真に示されているシステムがどのように安定するかはよくわかりません。これにより、2 kHzの周波数がますます大きくなり、収束しないと考えられていました。

このシステムが安定するのはなぜですか？

これが、ナイキスト線図を使用して安定性を最初に検討し、ボード線図と関連するゲインおよび位相余裕図を使用してTHENを最初に検討する必要があると考える理由です。

ゲイン/位相マージンは、ナイキストプロットが-1にどれだけ近くなるかという点で、システムが複素平面の右側に極をどれだけ近づけるかを判断する便利な方法です。正の極は、正の係数を持つ時間の指数関数になります。つまり、無限大になり、不安定になります。

ただし、ナイキストプロットが「通常の外観」の場合にのみ機能します。それは非常によく、このようなことをするでしょう：

したがって、位相マージンの規則に違反していますが、開ループ伝達関数G（s）H（s）は-1を囲まないため、1 + G（s）H（s）の右側にゼロがありません。これは、閉ループの右側に極がないため、安定していることを意味します。

条件付きという言葉は、ゲインにこのように維持するための上限/下限があるという事実に由来し、それらを超えるとシステムが不安定になります（-1が囲まれる回数を変更するのに十分な曲線をシフトするため）。

開ループ応答の条件付き安定性。

まず、これはリドリーからのものであるため、これは電力変換器の開ループ応答であるに違いありません。この応答は、小さな線形ループ外乱に対して示されているゲインに対して安定しています。ループ外乱が増幅器を非線形動作に駆動するのに十分大きくなると、非線形領域の動作では増幅器のゲインが低くなるため、ループが振動する可能性が高くなります。

このようなループの問題は、システムが安定している間、入力電圧、負荷、温度、またはこれらすべての組み合わせによってゲインが大きく変化することが一般的であることです。条件付きで安定したループを使用する場合、これらの依存関係が動作モード（起動条件を含む）中に要因にならないことを確認する必要があります。これらの種類のループが発振し始めると、それらは固着する傾向があります（発振によりゲインが低下します）。

示されているループは、2つの極をカバーするために2つのゼロで適切に補償されていることに注意してください。問題は、極がおそらくループ内のLCフィルター（複雑な極）に由来することです。低損失のインダクタと低損失のコンデンサバンクがあり、これらを組み合わせて高Q応答を実現します。そのQが高いため、LCからの位相の寄与はすべて、非常に狭い周波数範囲で発生します。グラフからは、180度の位相損失に対して約1オクターブのように見えます。オペアンプの補償ゼロは単純であるため、位相ブーストは2桁の周波数スパン（最小）で発生します。そのため、LC位相損失をカバーするのに十分な位相ブーストがありますが、位相の低下があり、極近くの中央に位相マージンがないか、負の位相マージンがあります。

このタイプのループ応答に対する可能な対策：

• 補償的ゼロは、極の前に来るように分割することができ（極を囲む）、いくつかの位相キックを早期に追加します。これにより、位相ディップでより多くの位相マージンが得られる可能性がありますが、十分ではない場合があります。

• 通常、最善のアクションは、LCフィルターのQを下げることです。

ループ分解：

このタイプの開ループ応答がどのように発生するかを示すために、単純なモデルを使用してループを分解できます。

私は、OPが応答を応答させた回路を実際には知りませんが、応答が連続伝導モードのブーストレギュレーターからのものであるように応答が見える方法に基づいて疑っています。基本モデルには、LCフィルター、PowerModulator、およびエラー増幅器が含まれます。AC開ループバージョンの半概略図は次のとおりです。

回路は一般にCCMブーストループの動作を反映しますが、ここでの詳細は合理的であり、最小限の作業でポストループに最も便利に一致するように選択されています。これは、ループのすべての部分を分離し、それらがどのように連携して合計ループを形成するかを示すための単なるツールです。

このモデルの結果、完全なループから始めましょう。

それほど悪くない...元にかなり似ています。ループの基本的な特性は、1000HzでLC共振妨害を伴う積分器であることがわかります。LCポールより低い周波数では、ループゲインは10デシベルあたり-20dBでロールオフし、LCポールゲインより高い周波数では10デケードあたり-20dB低下します。そのため、全体として1極（-20dB /）のロールオフがあるため、これら2つのLC極をゼロで覆うことで何かが管理されています。〜20kHzより上に現れる追加のアーティファクトがあります。LCフィルターのESRゼロ、右半平面ゼロ（rhpz）、ナイキスト周波数。簡単に説明します。

LCフィルター応答：

ここでは、1kHzでのLC極と、約65kHz での esrゼロの効果を見ることができます。LC極の位相動作がどのように圧縮されるかに注意してください。ほとんどすべての変更は数オクターブで発生します。 $C_o$

LCフィルター付きパワーモジュレーター：

ここでは、LCフィルターにパワー変調器が追加されています。パワー変調器には、30dBのゲイン、70kHzでの右半面ゼロ、100kHzでのナイキスト周波数の極があります（はい、極を追加することはナイキストを処理する正しい方法ではないことを知っていますが、これを行う必要があります） ）。30dBのゲインを除いて、ゲインプロットはLCと同じように見えます。しかし、その段階はどうですか？lhpポールのような位相を示すのはrhpzですが、lhpゼロのようなゲインになります。これは、主に、開ループ位相がLC共振後に考えられるほど回復しない理由です。

エラーアンプ：

ここでは、低周波積分器の極と、約1kHzと7kHzで2つのゼロ、42kHzで極が続き、増幅器のゲイン帯域幅制限に達する前に最後のゼロを平坦化するアンプ応答を見ることができます。

オペアンプの帯域幅は20MHz、ゲインは140dB、低周波ポールは2Hzでした。積分器のゲインはR1とC1によって設定されます。最初のゼロはC1とR3によって設定されます。2番目のゼロはC2とR1によって設定されます。レベリングポールはC2とR2によって設定されます。

最初に少し説明します。プロットするのはループゲインL（s）です。これは、次の図のG（s）H（s）に対応します。

この場合の完全な伝達関数（閉ループゲインとも呼ばれます）は次のとおりです。

その関数がs平面の右側（RHS）に極を持っているときはいつでも、逆変換の指数関数は増加します（不安定なシステムであることを意味します）。これは、1 + L（s）のs平面のRHSにゼロがあるかどうかを調べることと同じです。したがって、基本的に不安定性はループゲインによって決まり、より複雑な閉ループゲインを計算する必要はありません。したがって、安定性について話すとき、プロットはほとんど常にループゲインL（s）になります。

質問に戻ります。

位相が逆相（-180）でゲインが0dBよりも大きい場合にシステムが不安定であるという主張については、わかりやすい反例で答えさせてください。非常にシンプルなものを考えてください：

^{この回路のシミュレーション – CircuitLabを使用して作成された回路図}

次のような過度に仮定された基準によると：

ループゲインが-180°で正の場合、システムは不安定になります。

次に| K | > 1の場合、不安定である必要があります。

しかし、そうではありません。出力は次のとおりです。

安定。

一方、K = -1の場合、問題があります（不安定になります）。

上記は単なる定数の例でしたが、一般に-180でゲインが> 0dBであることを知っているだけでは、システムが不安定であることを意味しません。あなたの本がそれを言っているなら、それは間違っています（しかし、多くの典型的な場合には正しいようです）。

上記のシステムにはわずかな遅延があり、信号Eには応答する時間がなく、間違った値を持っていると想像し始め、ループを介して反復的に伝搬する方法を確認すると、信号はなしで成長すると結論付けられますバウンド。これにより、抜け出すのが難しい精神的なdifficultに陥ります。これは、問題のシステムが安定していることを概念的に受け入れることができない根本的な誤解だと思います。

ボード線図はナイキストのスライスであり、ボード安定性基準はナイキスト線図が一般的な場合に適用できますが、ボード線は便利です（ナイキスト線よりも簡単にプロットできます）。

ナイキストプロットとボード線図の簡略版は、主に次のようなグラフィカルな方法です。

1. システムに成長する指数関数になるRHS極があるかどうかを調べます。
2. システムが安定/不安定になるまでの距離と、システムについて何ができるかについての洞察を得ます。

また、明確にするために、不安定な周波数を最小化するスワンピングはありません。簡単な説明の1つは、合計応答がすべての周波数の応答の重ね合わせであると考えることです。したがって、特定の周波数の正弦波を任意の数でキャンセルできないのと同じように、単にそれを修正する方法はありません異なる周波数の正弦波。

しかし、システムを不安定にする周波数の観点から考えることも間違っています。この不安定性は、減衰のない2次システムのように、無限に共振する周波数を持つのと同じではありません。それは振動システムですが、私たちが話している不安定性は、入力を無制限に増やすことです（ゼロを除く）。

それを証明する簡単な方法は、不安定なシステムがsプレーンのRHSに極を持っていること、そして次のことを認識することです。

そのため、伝達関数でそれを乗算する極を相殺する方法はありません。出力は制限なく拡大します。

ゲインのゼロ交差で位相が悪い場合にのみ、振動応答が作用します。このループは条件付きで安定しています。これは、何らかの要因によりゲインが低下すると（早期にクロスオーバーするため）、位相が危険な2kHzの領域でクロスオーバーし、振動応答が発生する可能性があるためです。

このループを無条件に安定させるには、その2kHzセクションを危険ゾーンから移動させるために何らかの位相ブーストが必要になるか、ゲインが非常に低い周波数で交差する必要があります（位相がクラッシュする前の領域）。