サンプリングレートを上げると、アンチエイリアスフィルターの実装が簡単になるのはなぜですか？

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サンプリングレートとアンチエイリアシングフィルターに関する質問への回答から、以下を読みました。

理論上の最小サンプルレートに近づくほど、アナログフィルタを実際に実現するのが難しくなります。

サンプリングレートが理論上の最小サンプリングレートに近いかどうかを間違えない場合、アナログアンチエイリアシングフィルターの設計はより困難になります。

多くの人にとってそれは理にかなっていると確信していますが、ここで何を意味するのか、なぜそうなのか理解できませんでした。これを簡単な例で説明できますか？

filter sampling aliasing

— user1245
ソース

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サンプリング周波数を下げると、周波数領域の画像間の分離が少なくなります。

ソース

スペクトルの繰り返しはサンプリング周波数で発生することに注意してください。画像が互いに近接している場合、アンチエイリアシングフィルターの減衰を大きくする必要があります。フィルターは、次の画像が発生する前に通過帯域から停止帯域に移行する必要があります。

ソースからこのプレゼンテーション

— user110971
ソース

面白い。しかし、緑色のLPフィルターは、1fsではなく1fs-wでゼロになります。希望の信号BWが100Hzで、サンプリングレートが500Hzの場合、LPフィルターのストップバンドは400Hzで最大になる必要があるとしましょうか。

— user1245

@atmntは何が起こるかを考えます。信号は[-100、100]の範囲を占めています。また、気にしないこの周波数範囲外の信号もあります。最初の画像は500Hzで表示されます。エイリアシングを防ぐには、アナログ入力を[-400、400]の範囲に制限する必要があります。したがって、サンプリングすると-400Hzが100Hzで表示されます。

— user110971

それで、ストップバンドを100Hzから400Hzの間に設定するのは正しいですか？（100Hzでの減衰がないと仮定）100HzのBW信号入力の場合。

— user1245

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または、代わりにサンプリングレートを上げることもできます。しかし、問題は、正しい最小必要サンプリングレートを設定するために、フィルター範囲の遷移領域を知る必要があるということです。私はそれが1kHzと6次で3dBであることを知っています。

— user1245

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@atmntで解決できます。たとえば、バタワースフィルターを使用する場合、フィルター次数ごとに10倍あたり20dBです。阻止帯域の減衰を60dB程度に設定します。しかし、これはこの質問の範囲外であると思います。フィルタについて不明な場合は、別の質問をする必要があります。

— user110971

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アナログ領域からデジタル領域の信号を再構築するには、アナログ信号に存在する最高周波数の各サイクルで少なくとも2つのサンプルが必要です。たとえば、CDでは、44.1 kHzを使用して、20 kHzのオーディオ帯域の最大周波数をサンプリングします。40 kHzを使用することもできましたが、それは限界にあり、アンチエイリアスフィルターは不可能です。

サンプルレートが44.1 kHzの場合、エイリアシングを発生させずにデジタルでキャプチャできる理論上最高周波数のオーディオ信号は22 kHzになります。24 kHzが44.1 kHzのデジタルサンプリングシステムに送られたら、どうなるでしょうか。

これは、デジタルレルムの20 kHz信号にエイリアスされ、悪化する可能性があります。信号が30 kHzの場合はどうなりますか？これは、デジタル領域では16 kHzになります。

これは、アンダーサンプリングによりエイリアス出力が作成されるためです-

ここから写真。

これを防ぐには、20 kHz〜24 kHzの間で適切な減衰を提供するフィルターを使用します。24 kHzの信号は、エイリアシングされた実際の20 kHzのオーディオ信号になる限界にあるため、24 kHzと言います。そのため、最高20 kHzまでの優れた聴覚を持つ人々（私ではない）の場合、アンチエイリアスフィルターは20 kHzで実質的にゼロの減衰を提供し、24 kHzで最大80 dB（またはそれ以上）の減衰を提供する必要があります。

これはかなり高次のフィルターであり、このようなシステムを扱うほとんどのエンジニアは、最高のアナログ周波数に対するサンプリングレートを3：1のような比率にすることを好みます。

— アンディ別名
ソース

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アンチエイリアスフィルターには3つのバンドがあります

1）DCからFwantedまでの通過帯域
2）Fsample-Fwantedから無限までの遮断帯域
までの阻止帯域3）への遷移帯域

フィルターのコスト（ステージ数、コンポーネントQ、乗算器の数）は遷移帯域の逆数にほぼ比例し、阻止帯域のdB単位の深さとともに増加します。

Fsampleが高いほど、遷移帯域が広くなり、フィルターが安価になります。

— Neil_UK
ソース

しかし、ストップバンドにはdBでの定量的な定義がありますか？

— user1245

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@atmnt阻止帯域は、希望どおりのものです。-40dBに満足している人もいれば（オシロスコープでエイリアスが表示されない）、-100dBが必要な人もいます（高性能測定器の場合）。より深い阻止帯域にもコストがかかります。それを含めるように回答を更新します。

— Neil_UK

あなたの答えは非常に有益です。例を使用してもう1つ質問します。Fwantedと言うとき、3dBカットオフ周波数を意味しますか？例えば、力変換器からの振動の望ましい帯域幅が200Hzの場合、Fwantedは200Hzかそれ以上選択されますか？Fwantedと言うとき、フラットで減衰なし、つまり3dBの周波数を意味するからです。

— user1245

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サンプルレートがあるとします $f_s$

次に、ナイキストによれば、最大までの周波数成分を持つ信号をサンプリングできます。 $f_s/2$ サンプリングし、サンプリングしたデータを使用して信号を正確に再構築できます。

$f_s/2$ $f_s/2$

$f_s/2$

そのため、フィルターは次のことが理想的です。

場合は何もしない $f < f_s/2$

だが

ときにすべてをブロックする $f > f_s/2$

それは不可能です！したがって、妥協が必要です。

$f_s/2$ $f_s/2$

物事がはるかに簡単になりますいずれかの場合、ます。

信号周波数をよりもはるかに小さい周波数に制限する $f_s/2$

または

$f_s/2$ がより高い周波数にます。

次に、最高の信号周波数とを「引き離し」ます $f_s/2$ 周波数ます。

$f_s/2$

— ビンペルレキエ
ソース

実際には、ストップバンドにはdB単位の定量的な定義がありますか？設計時に推測する必要がありますが、定量的なターゲットdBはいくらですか？何か案が？

— user1245

別の例として、500Hzでサンプリングされた力変換器があり、BWの関心は200Hzです。ストップバンドが300HzのLPアンチエイリアスフィルターが必要ですか？現在、1kHzの6次アンチエイリアシングフィルターが使用されています。

— user1245

明確な答えはありません。フィルターがより多く（高次）減衰する場合、明らかにエイリアシングは問題になりません。しかし、それはあなたの信号にもっと影響を与えるかもしれません。これは、すべてのアプリケーションに対して個別に発見する必要がある妥協案です。また、信号にも依存します。エイリアスを作成できるコンテンツがない場合、フィルターは不要です。500 Hzは非常に低く、200 Hz BWに比較的近い値です。最近では1 MspsのADCでも安価であるため、非常に単純なRCフィルター（1次）で1 MHzでサンプリングすることもできます。データが多すぎる場合は、平均化を行います。

— ビンペルレキエ

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対象の帯域がDCから100Hzであり、信号に帯域制限されたホワイトノイズが10kHzまであるとします。ここで、2kHzでサンプリングすることにしたとしましょう。20dB / decadeの減衰を持つ素敵な低極数フィルターを構築し、ノイズを減衰してエイリアシングを最小限に抑えることができます

さて、210Hzでサンプリングしたいとしましょう。十分な減衰を得るには、高次フィルターを構築する必要があります。このようなフィルターは、設計と構築が難しく、費用がかかります。うまくやれば、通過帯域に大きな位相歪みのある信号が得られます。

— スコット・サイドマン
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アナログフィルターの場合、目的の最高周波数の範囲でフィルターのパフォーマンスを考慮する必要があります。多くの場合、これは、対象の最高周波数よりも少し高いアナログフィルターの「fc」を設定する必要があることを意味します（および/またはよりシャープなフィルターを使用します）。

エイリアシングを回避するには、エイリアシングされた信号による汚染を許容できる最大レベルでフィルターを通過する最高成分の少なくとも2倍の周波数でサンプリングする必要があります。つまり、サンプリングレートは少なくともfcの2倍であり、多くの場合、少し高くする必要があります。

したがって、逆方向に作業を行うと、サンプリングレートが高くなり、fcを高くできることを意味します。つまり、fc未満の対象周波数までフラットな応答を簡単に得ることができます。

しかし。おそらくご存知のように、帯域幅とともにノイズが増加します。そのため、低ノイズのアプリケーションでは、フィルターの帯域幅を控えめに設定する必要があります。

— DrM
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