この本はナイキストのサンプリング基準について間違っていますか？

本からの次の文は間違っていますか？

信号の完全に回復するには、信号の最高周波数成分の2倍のサンプリングで十分だと思いました。しかし、上記では、2回サンプリングすると、のこぎりのような波が作成されます。本は間違っていますか？

信号の完全に回復するには、信号の最高周波数成分の2倍のサンプリングで十分だと思いました。しかし、上記では、2回サンプリングすると、のこぎりのような波が作成されます。本は間違っていますか？

本は間違っているが、あなたが考える理由のためではない。サンプルを示す点に目を細めると、それが言う2倍の頻度でサンプリングしています。

そのため、最初にいくつかの信号を描画し、自分でサンプリングする必要があります（または、鉛筆と紙に慣れていない場合は、数学パッケージを使用します）。

第二に、ナイキストの定理によれば、信号内容のスペクトルが厳密にサンプリングレートの1/2 未満であることを既に知っている場合、理論的には信号を再構築することが可能です。

ローパスフィルタリングによって信号を再構築します。フィルタリングする前に、信号が歪む可能性があるため、結果が問題ないように見えるためには、何を調べているのかを知る必要があります。さらに、信号コンテンツのスペクトルがナイキスト制限に近いほど、アンチエイリアスフィルターと再構成フィルターでカットオフをよりシャープにする必要があります。これは理論上は問題ありませんが、実際には、時間領域でのフィルターの応答は、通過帯域から遮断帯域に急激に遷移する程度にほぼ比例して長くなります。そのため、一般的には、可能であれば、ナイキストよりかなり上でサンプリングします。

これはあなたの本が言っていたはずの写真です。

ケースA：サイクルごとに1つのサンプル（サンプルが明らかになった）

ケースB：サイクルごとに2つのサンプル、交差点に着陸-これはサイクルごとに1つのサンプルと同じ出力ですが、交差点で最初のサンプルをサンプリングしたためです。

ケースC：繰り返しますが、1サイクルあたり2つのサンプルですが、今回は極端です。信号成分の周波数のちょうど 2倍でサンプリングすると、再構築できません。理論的には、ほんの少し低くサンプリングすることもできますが、再構築できるように十分な結果に及ぶインパルス応答を備えたフィルタが必要になります。

ケースD：信号周波数の4倍でサンプリングします。ドットを接続すると、三角波になりますが、そうするのは正しくありません。サンプリングされた時間では、サンプルは「ドットに」のみ存在します。あなたはまともな再構成フィルタを介してこれを置く場合は、正弦波を取り戻すだろうと注意、とすることは、あなたのサンプリングの位相を変更した場合、出力の位相は均等にシフトすることになるが、その振幅は変更されません。

写真Bは非常に間違っています。出力信号に非常に鋭い角が含まれています。非常に鋭い角は非常に高い周波数に等しく、サンプル周波数よりもはるかに高くなります。

ナイキストのサンプル定理を実現するには、再構築された信号をローパスフィルター処理する必要があります。ローパスフィルター処理後、信号Bは、三角形のようではなく、入力信号のように見えます（すべての鋭い角はローパスフィルターを通過できないため）。

正確には、入力信号と出力信号の両方をローパスする必要があります。入力信号は、より高い周波数を「折りたたまない」ために、サンプル周波数の最大半分までローパスフィルタリングする必要があります。

悲しいことに、それはサンプリングがどのように機能するかについての一般的な不実表示です。より正確な説明では、sinc関数を再構成に使用します（sinc関数の検索をお勧めします）。

実際のアプリケーションでは、「完全な」ローパスフィルター（以下のすべての周波数を通過させ、上記のすべてを遮断する）を使用することは不可能です。これは、通常、再現する最大周波数の少なくとも2.2倍の周波数でサンプリングすることを意味します（例：20kHzの最大周波数を可能にするために44.1 kHzでサンプリングしたCD品質）。この違いでさえアナログフィルターの作成を難しくします。ほとんどの実際のアプリケーションは、デジタル領域のローパスフィルターと同様に「オーバーサンプリング」します。

サンプリング定理は、サンプリング周波数が信号の最高周波数成分よりも厳密に大きい場合、信号を完全に再構築できると述べています。しかし、その再構成は、各サンプルに（無限の）sincパルスを挿入することに基づいています。理論的な観点からは、これは非常に重要な結果ですが、実際には正確に達成することは不可能です。本のページに記載されているのは、サンプル間に直線を描くことに基づいた再構成方法であり、これはまったく異なるものです。したがって、この本は正しいと思いますが、サンプリングの定理とは何の関係もありません。

非常に素晴らしい概要論文は、Unser：Sampling-Shannonの50年後です。あなたの問題は、純粋で無限のサイン信号がシャノンのサンプリング定理でカバーされていないという事実から生じます。周期信号に適用できる定理は、以前のナイキストサンプリング定理です。

シャノンのサンプリング定理は、のように表すことができる機能に適用されます

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

ここで、Xは平方積分可能な関数です。次に、この信号は離散サンプルから次のように正確に表すことができます。

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$、合計を切り捨てるには、エラーを減らすためにかなり多くの用語を含める必要があります。

フーリエ変換はディラックデルタ分布で構成されているため、純粋な正弦関数はそのクラスに含まれていません。

以前のナイキストサンプリング定理は、信号が周期Tおよび最高周波数W = N / Tで周期的である場合、三角多項式であると述べています（または以前の洞察を再解釈します）

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

2N + 1（非自明な）係数及びこれらの係数から（線形代数によって）再構築することができる2N + 1期間内のサンプル。

純粋な正弦関数の場合は、このクラスに分類されます。時間NTにわたって2N + 1個のサンプルが取得された場合、完全な再構築が約束されます。

本から共有されたものは何も言わない、「ナイキストサンプリング基準」について -正弦波を仮想ADCでポイントサンプリングし、（暗黙のうちに）（言及されていない）サンプル値間の線形補間を実行する単純なDAC。

その文脈を考えると、「図6.10」の論文の記述は一般的に正しく、十分に実証されています。

ADCのサンプリング周波数が高くなると、デジタル化された信号の忠実度が向上します。

理想的な再構成の忠実性について話したい場合、それはまったく別の問題です。ナイキストレートの説明は、sinc補間の使用を意味しますが、これも図に示されていません。

この図の本当の欠陥は、ポイントサンプルが工学において意味のある概念であるという考えです。実際には、ADCは一定期間にわたって実世界の入力信号を蓄積することで動作するセンサーコンポーネントに接続されます。

しかし、面白いのは、図に示されている特定のサンプリング周波数について、その数字が明らかに間違っていることです（2倍のオフ）。

上記の引用文を使用して、EEG波形処理についての議論で「神経生理学的術中モニタリングへの実践的アプローチ」で不気味に類似した図を見つけました。その価値については、その議論には以下が含まれます。

ADCがアナログ信号を忠実に表すために必要な最小サンプリング周波数を記述する定理は、ナイキスト定理として知られています。ADCのサンプリング周波数は、波形の最高速の周波数成分のサンプリング周波数の2倍より大きくなければならないことを示しています。