時定数が63.2％であり、50％または70％ではないのはなぜですか？

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RCとRL回路について勉強しています。時定数が出力電圧の63.2％に等しいのはなぜですか？なぜ63％と定義され、他の値ではないのですか？

回路は出力電圧の63％で動作し始めますか？なぜ50％ではないのですか？

— バラスブラマニアン
ソース

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1-E ^ -1 = 0.6321 ...

— アンドリュー・モートン

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1 /帯域幅と一致し、一次遅れの時間値です

または

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

。放射性崩壊では、50％（「半減期」）を使用します。

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— チュー

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@AndrewMorton：私がそれについて何を言っているのかは、タイトルからの答えだと推測したのかどうか、完全にはわかりません。

— イルマリカロネン

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@code_monk：として興味深いとして

？

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— 公称動物

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ほんの一言：時定数は63％と定義されていません。指数関数の指数の係数の逆数であると定義されています（このスレッドの優れた回答を参照）。結果として、時定数に等しい期間が経過した後の数量の値は、初期値のおよそ（2桁の精度で）63％であることが判明しました。

— ロレンツォドナティは

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他の回答には、まだ作るものにヒットしていないEの特別を：倍に落とすために何かのために必要な時間として時定数を定義する電子の時間の任意の時点で、変化の速度は、このようなthat--されることを意味している場合レートが継続しました。減衰してゼロになるまでに必要な時間は、1つの時定数になります。

たとえば、1uFのキャップと1Mの抵抗がある場合、時定数は1秒になります。コンデンサが10ボルトに充電されると、電圧は10ボルト/秒の速度で低下します。5ボルトに充電されると、電圧は5ボルト/秒の速度で低下します。電圧が変化するにつれて変化率が減少するという事実は、電圧が実際に1秒間でゼロに減衰しないことを意味しますが、任意の時点での減少率は現在の電圧を時定数で割ったものになります。

時定数が他の単位（半減期など）として定義されている場合、減衰率は時定数とそれほどうまく対応しなくなります。

— スーパーキャット
ソース

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これは、計算方法を示すのではなく、「なぜ？」の質問に具体的な方法で答えるので、最良の答えかもしれません。

— BORT

素晴らしい、これを学んだことがないなんて信じられない！（ところで、グラフはこの答えをさらに素晴らしいものにします）。

— モニカを

1

それは優れた直感的な洞察です。+1

— スペロペファニー

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「任意の時点での減少率は現在の電圧です」この文脈では「電流」はあいまいですが、両方の意味が機能すると思います。

— 累積

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@supercat-例のグラフを追加しました。変更があれば提案してください。

— モニカの復活

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$e^{-1} = 0.36788$

「時間の単位」はシステムの「時定数」と呼ばれ、通常はτ（タウ）と表記されます。経時的なシステム応答（t）の完全な式は

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

したがって、時定数は知っておくと便利な量です。時定数を直接測定する場合は、最終値の63.2％に達するまでにかかる時間を測定します。

電子機器では、コンポーネント値の単位としてオーム、ファラッド、ヘンリーを使用すると、時定数（秒単位）がRC回路のR×CまたはRL回路のL / Rに等しいことがわかります。これは、時定数がわかっていれば、もう一方がわかっていればコンポーネント値の1つを導出できることを意味します。

— デイブツイード
ソース

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指数関数的な減衰または上昇の場合、ステップ応答を使用して複雑さを軽減する必要があります。そのため、e-1が考慮されます。

— バラスブラマニアン

@BalaSubramanian: yes, right.

— Dave Tweed

But i have one doubt, for example in designing RC circuit for timer or counter.It discharges and charges at particular time period. Is the time period is same as time constant. Does the required IC or device stops working at 63% of voltage?

— Bala Subramanian

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@BalaSubramanian: No, not necessarily. Each timer has its own method of picking a threshold. For example, the (in)famous 555 uses 1/3 and 2/3 Vcc as its thresholds, which means that its time intervals are 0.693⋅R⋅C or 1.1⋅R⋅C, depending on the mode of operation.

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$ and

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$ .

— Dave Tweed

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The decay of an RC parallel circuit with capacitor charged to Vo

v(t) = $Vo(1-e^{-t/\tau})$ , where $\tau$ is the time constant R $\cdot$ C.

So v( $\tau$ )/Vo is approximately 0.63212055882855767840447622983854

In other words, the time constant is defined by the RC product (or L/R ratio), and the seemingly arbitrary voltage is a result of that definition and the way exponential decay or charging occurs.

Exponential decay is common to various physical processes such as radioactive decay, some kinds of cooling etc. and can be described by a first-order Ordinary Differential Equation (ODE).

Suppose you want to know the time when the voltage is 0.5 of the initial voltage (or final voltage if charging from 0). It is (from the above)

t = - $\ln(0.5)\tau$ or about 0.693RC

Either way you do it, some irrational numbers pop up and dealing with RC= $\tau$ is the "natural" way.

— Spehro Pefhany
ソース

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That is a very rough approximation.

— Arsenal

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@Arsenal I could use MATLAB and get it to a few thousand decimal places if you'd like.

— Spehro Pefhany

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@Arsenal, I suppose 22/7 isn't good enough for you either? :D

— Wossname

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22/7 is a terrible approximation to e. 19/7 is much better.

— alephzero

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@SpehroPefhany (wrt to that approximation you linked to) I'm always amazed at how math people like to spend their time (well, I guess crosswords puzzles are too easy for them! :-)

— Lorenzo Donati supports Monica

3

Just as a complement to the other excellent answers by Dave Tweed, supercat and Spehro Phefany, I'll add my 2 cents.

First a bit of nitpicking, as I wrote in a comment, the time constant is not defined as 63%. Formally it is defined as the inverse of the coefficient of the exponent of an exponential function. That is, if Q is the relevant quantity (voltage, current, power, whatever), and Q decays with time as:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

Then the time constant of the decaying process is defined as $\tau = 1 / k$ .

As others have pointed out, this means that for $t = \tau$ the quantity has decreased by about 63% (i.e. the quantity is about 37% of the starting value):

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

What other answers have only marginally touched is why that choice has been made. The answer is simplicity: the time constant gives an easy way to compare the speed of evolution of similar processes. In electronics often the time constant can be interpreted as "reaction speed" of a circuit. If you know the time constants of two circuits it's easy to compare their "relative speed" by comparing those constants.

Moreover, the time constant is a quantity easily understandable in an intuitive way. For example, if I say that a circuit settles with a time constant $\tau = 1 \mu s$ , then I can easily understand that after a time $3\tau=3\mu s$ (or maybe $5\tau=5\mu s$ , depending on the accuracy of what you are doing) I can consider the transient ended ( $3\tau$ and $5\tau$ are the most common choices as rules of thumb for the conventional transient duration).

In other words the time constant is an easy and understandable way to convey the time scale on which a phenomenon occurs.

— Lorenzo Donati supports Monica
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This comes from the $e$ constant value $1-e^{-1} \approx 0.63$ .

— Matthijs Huisman
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