非理想的なコンデンサの定電力放電

私の雇用主は、停電時にモータードライブを保持するブーストコンバーターを販売しています。これらのブーストコンバータは、コンデンサバンクから給電されます。これらのバンクのサイズを正しく設定するには、電圧、静電容量、およびESRを考慮に入れて、仕様の電力で仕様の時間ドライブを保持するのに十分なエネルギーがコンデンサーから利用できるようにする必要があります。。現時点では、これを近似法で行いますが、より正確な方程式を用意しておくとよいでしょう。

ESR、静電容量、および負荷電力は一定であると想定しています。

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

私が正しければ、これにより非線形微分方程式が得られ、数学の快適ゾーンをはるかに超えてしまいます。私が正しく理解していれば、新しい非線形微分方程式を解くことは、数学的知識の分野への重要な貢献とみなされます。それを考えると、私はこれを自分で解決することはほとんどありません。

誰かがV（t）を解くための良いアプローチを知っていますか？この方程式がすでに解決されているかどうか誰かが知っていますか？私はおそらく問題を誤解していますか？または、これを数学スタック交換に移動する必要がありますか？

— スティーブンコリングス
ソース

あなたはどれくらい正確である必要がありますか？ESRで失われる電力量は、供給電圧に応じて非線形に変化しますが、1つの電圧からいくつかの低い電圧に低下するときに、キャップから収集できるエネルギー量の上限と下限を簡単に計算できます。問題のドロップが小さいほど、境界は近くなります。したがって、キャップが50ボルトから始まる場合、50ボルトから40ボルトに低下したときに回収されるエネルギー量の上限と下限を計算できます。上限と下限の差が大きすぎる場合、エネルギーを計算することができます...

— スーパーキャット

... 50から45に、次に45から40に減少するため。これらのステップサイズでもギャップが大きい場合は、さらに分割します。すべてのパラメータが正確にわかっている場合、おそらく、相互に20％以内の範囲で上限と下限を取得するために細分割しすぎる必要はありません。パラメータの不正確さを考えると、それを超えることはおそらく役に立たないでしょう。

— スーパーキャット2012

本当に、3つの質問があると思います。これは解決可能ですか？もしそうなら、どうですか？そうでない場合、次善のアプローチは何ですか？方程式の正確な解決策を探していますが、解決策がない場合は、適切なバックアップ計画である可能性があります。

— スティーブンコリング

回路を理想的なコンデンサー、ESR抵抗器、負荷インピーダンスとしてすべて直列にモデル化してみることができます。節点電圧と電流フロー（すべて線形に独立している必要があります）を解くことで、ESR損失と負荷電力消費を見つけることができます。唯一のスティラーは推定Z_Lですが、設計で予想される電力定格と許容可能な電圧降下から逆算することでそれを理解できるはずです。

— helloworld922 2012

@レミエル：現実のコンデンサを理想的なコンデンサ、抵抗、インダクタの組み合わせとしてモデル化することは一般的であり、そのようなモデルは、実際のキャップが理想的なもののように動作すると単純に期待したモデルよりも現実に近くなりますが、理想的な非理想的なキャップ」は、まだ単なる概算です。現実の世界では、ESRと静電容量の両方が、奇妙な非線形の方法で電圧とともに変化する可能性があります。モデルの動作を正確に表す方程式は、実際の回路の実際の動作を予測する際の離散時間シミュレーションよりも正確ではない場合があります。

— スーパーキャット2012

方程式は他の人によってここで解決されました。どこかでサインを見逃していない限り、この式は、キャップが電圧から開始して内部電圧Vに到達するのにかかる時間を示します $V_{0}$ 、与えられたESRと静電容量、および固定電力放電で。

t (V) = \frac{C}{4 P} (V_{0}^{2} - V^{2} + V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (\ln (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - \ln (V_{0} + \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

注VはESR「の後ろに」キャップの内部、無負荷電圧であるため、それは特定の到達するためにキャップのにかかる時間を見つけるためにというの端子電圧をロードしている間に、私たちは、置換を使用する必要があります。

V = V_{m i n} + \frac{P R_{C}}{V_{m i n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$ どこ

V_{m i n}

$V_{min}$ 最小の望ましい端子電圧です。

これらの計算は、数値推定法とうまく一致しているようです。

— スティーブンコリングス
ソース