状態フィードバックのあるPIDコントローラーコンポーネントを単一伝達関数および離散状態空間形式に変換

私はこの問題に1年間取り組んできたプロジェクトの一環として、約1週間取り組んでいます。モデルに基づいて特定のリアクターのコントローラーを設計しています。これをしばらく見た後、私はまだこれを動作させることができません-何か助けを得ることができれば本当に感謝しています。

私たちが非常に基づいている公開された文献レビューの1つは、次のように、結合された方程式ではなく、PIDコントローラーを各個別のコンポーネントにリストします。

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t a r g e t] \\ 私 （ ん ） = 私 （ ん - 1 ） + \frac{K_{p}}{T_{私}} [G （ ん ） - t a r g e t] \\ D （ ん ） = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} （ ん ） \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

3つのコンポーネントをPIDコントローラー出力に単純に組み合わせる：

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n ）

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

そしてここから、PID信号の上に状態フィードバックの追加レイヤーを追加して、最終的なコントローラー出力をシステムに適用します。

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

そして、Rは最終的な「コントローラー出力」です。ここで、はプロセスゲイン、とは積分ゲインと微分ゲイン、とは状態フィードバック（不変）用に調整された "ゲイン"、は定数0.5です。はシステム状態、はモデルダイナミクスに影響を与える推定状態、はプラントに送信される実際の最終出力です。 $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

最初にすべてを単一のコントローラー伝達関数に変換しようとしましたが、単純にそれらを単に加算するだけでは機能しないと言われました。

このコントローラーの離散状態空間表現を見つけることも私に課せられました。このため、をして、その問題を解消しようとしました。 $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

次に、新しい状態変数を定義して、と次に変換できるようにしました。 $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

次に、値をPIDコントローラーに代入して、を状態変数として取得しようとしました。これらの取り組みはすべて、私の教授の推薦に基づいていました。 $G(n)$

ただし、全体的なビジョンを持たずに盲目的に彼の指示に従っていたため、私は依然として非常に行き詰まっています。それはタスティンの変換の単純な問題だと思った-ああ、どうやって私は非常に間違っていました...

1週間の努力の後、私はまだ単純な問題であると思われるものに困惑しているので、私はかなりイライラしています。

できれば、この2つの具体的な質問について、何卒よろしくお願いいたします。

このコントローラーを単一のコントローラー伝達関数に変換します（通常、任意の伝達関数表現で見られるように、）。 $G(s)=\frac{1}{s+1}$
このコントローラーを離散状態空間表現に変換し、サンプリングレートを変数として残しますか？

control-system pid-controller

— ジョンゴルト
ソース

MATLABとMapleはこれらの問題を処理できます。私は両方のプログラムを持っています。私はあなたの投稿を印刷して、それらを働かせようとします。私は大学でこれをやった。

— Wesley Wortman、

出版物のタイトルを教えてもらえますか？

— Hazem 2017

それは完全な答えではありませんが、それが何らかの助けになることを願っています。

最初のシステムを次のように書き直すことができます

{\begin{cases} P （ ん ） = K_{P} E （ ん ） \\ 私 （ ん ） = 私 （ ん - 1 ） + \frac{K_{P}}{T_{私}} E （ ん ） Δ t \\ D （ ん ） = K_{P} T_{D} \frac{E （ ん ） - E （ ん - 1 ）}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

$E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

これで、エラーの単一の関数としてシステムを書き換えることができます。

P 私 D （ ん ） = P （ ん ） + 私 （ ん ） + D （ ん ）

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

I (n - 1) = P I D (n - 1) - P (n - 1) - D (n - 1) = P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P I D (n) = K_{P} E (n) + P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t + K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} = P I D (n - 1) + K_{P} ((1 + \frac{Δ t}{T_{I}} + \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n) - (1 + 2 \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n - 1) + \frac{T_{D}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

2つ目は、1つの方程式として書き換えるには少し複雑ですが、同様の方法で行うことができます。結果は

R (n) = K_{1} R (n - 1) - (γ K_{0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 + γ) (P I D (n) - K_{1} P I D (n - 1) + K_{2} P I D (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

エラーの関数としてレギュレーターの方程式を取得するには、PIDの方程式を代入するだけで済みます。

— gvgramazio
ソース