正弦波入力の受動回路で、すべての電圧と電流が入力と同じ正弦波の動作をするのはなぜですか？

線形受動素子と正弦波入力で構成される回路では、素子を通過するすべての電圧と電流は入力と同じ正弦波の動作と周波数を示すことはよく知られています。これが実際にパッシブフィルターが機能する方法です。しかし、明白な観察ではないにしても、なぜこれが起こるのかを具体的/率直に証明することはできません。

私は自分の脳を注ぎ出し、最終的にこれを証明するための素晴らしい数学的アプローチを見つけ、自分の質問に答えることに決めました。そのような回路では、コンポーネント全体の電圧/電流（と呼ぶ）を解くと、常に定数で、常に線形である微分方程式を構築することになります（受動部品の線形特性のため）および非均質（正弦波入力による）。このような微分方程式は常に次の形式を取ります：a d n$f$ここ。。。kは定数（等インダクタンス、抵抗、の組み合わせ）である

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$（回路のエネルギー貯蔵要素の数を反映する）微分方程式の次数であり、一般正弦関数であります入力を説明します。この微分方程式の一般的な解は、常に次の形式を取ります。f = $C\sin{(\omega t+\theta)}$ここで、特定の溶液 = 罪（ω T + θ ） + B のcos （ω T + θ ）と同じ周波数の正弦関数であります！現在、AC回路解析では、均質な解がゼロに近づくときの定常状態の回路を常に見ています（回路の抵抗のために必然的に発生します）。 $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

これは、LTI（線形時不変）回路にのみ当てはまります。理想的でないコンポーネントがある場合（およびそれらがすべてある程度異なっている場合）、出力に入力周波数の高調波が表示されます。インダクタは多くの場合最悪の傾向がありますが、すべての受動部品にはこのような動作があります。たとえば、コンデンサは強い電圧係数を示す可能性があり、誘電吸収のために時間不変ではありません。

あなたが読むことができる簡単な（およそ2年目の大学の数学の知識を仮定して）数学的な証明のために これらのバークレーコース（EECS20N：Signals and Systems）のメモをます。ここからテキスト全体をダウンロードできます。

正弦波は周波数スペクトルの1行にすぎず、線形フィルターまたは増幅器を使用して正弦波をどう処理しても、発生するのは位相または振幅がシフトするだけです。

方形波（無限の倍音）の場合、フィルターを適用すると、一部の周波数が他の周波数よりも減衰または加速され、その方形波は認識可能な正方形の形状を失います。

方形波高調波：-

Gifソース

基本的な理由は、理想的なR、L、およびC成分の構成方程式は、微分と積分（両方とも線形演算）のみを含む線形時不変方程式であり、そのような線形演算子に作用すると正弦と余弦が他の正弦と余弦に変化するためです。

正弦関数の導関数と積分は、同じ周波数の別の正弦関数です（振幅と位相のみが変化します）。KCLとKVLは、このような正弦関数の代数和にしかならず、その演算は別の正弦関数のみを生成できます。したがって、最終的に、ネットワークでR、L、およびCを接続すると、正弦波入力は常に正弦波出力になります。

私の他の答えはこちらをご覧ください。

これはすべて、指数関数の自己相似性の直接的な結果です（オイラーの方程式による正弦と余弦に関連）。完全な説明を得るには、ジョルジの最初の章、波の物理学を読んでください。

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$は、システムの特性、固有、または固有解と呼ばれる減衰と位相シフトに関する情報を伝える複雑なスカラーです。それらは、他の（行儀の良い）関数がそのような基本ブリックの一般化された合計として分解できるという特性を備えた直交基底を構築するために使用できます-これにより、フーリエ級数の領域に直接導かれますが、それは別の話です）。

Math SEのこの質問に対する最初の回答には、簡潔な説明が記載されています。なぜフーリエ変換ではトリガー関数を使用し、他の周期関数では使用しないのですか？

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

これは、受動素子をR、L、C、および多分適切に駆動されるクリスタルに制限する場合にのみ当てはまります。それでも、2つの例外があります。以下を参照してください。意図的および非意図的なダイオード、バリスタ、熱質量を備えたサーミスタ、およびその他の非線形要素は、純粋な正弦波入力に歪みをすぐに引き起こす可能性があります。オーバードライブされた水晶またはセラミックフィルターも、非線形に動作する場合があります。受動カテゴリに負抵抗の2端子素子（ガス放電管、トンネルダイオード）を含めると、さらに多くの可能性が存在します。

例外：

実世界の部品には、いくつかの非線形要素のように動作する不完全性がある傾向があります。抵抗器には、「熱質量を備えたサーミスタ」、さらには「バリスタ」の動作があります。コンデンサは、圧電効果、機械的力を生み出す電界、化学的効果（電解）により、値に電圧依存性を持ちます。また、コンデンサについてはエレクトレットのような効果がいくつか記録されているようです。金属同士の接合部では、ダイオードのような動作が発生する場合があります。インダクタは、コアの飽和、磁場と近くの金属物体との相互作用などにより非線形になる可能性があります...

電流を流すすべての抵抗性コンポーネントは、ノイズを発生させる動作を示しますが、その下限はハード物理学によって定義されています。

すべての実生活の一見、非正弦波の繰り返し信号は、さまざまな周波数と位相の正弦波の合計として完全に説明できることに注意してください。

数学オタクによると、自然とのつながりを探すには円を描く必要があります：正弦波は円と楕円形を作る主要な要素です（コンピューターで円を描く場合は、通常正弦波を使用します/コサイン関数またはピタゴラスの定理を何らかの方法で直接使用...）自然はたくさんの丸いもの（髪の毛、植物の茎、チェリー、チェリーのしみ、竜巻など）を作り、その目的のために十分な正弦波を供給し続けます。

「回路」は通常、「入力」ポートと「出力」ポートを備えたコンポーネントのネットワークと見なされます。オームの法則などのネットワーク理論を使用すると、入力に関して出力を記述する方程式、「伝達関数」を導き出すことができます。「線形」コンポーネントを使用すると、常に「線形」伝達関数を見つけることができます。

さんのような機能をいくつかの線形成分を記述してみましょうoutput = F(input)、output2 = G(input2)などその後のような複合機能にそのような部品のリードの組み合わせoutput2 = G(F(input1))。両方の関数は線形であり、したがっての形式なy = a * x + bので、これらの組み合わせも線形です。

正弦波入力信号を線形ネットワークに適用する場合、出力は係数aによって増幅され、電圧bだけシフトされます。複雑な数学、または微分方程式を使用すると、「位相シフト」を取得することもできますが、正弦の微分係数は同じ周波数であるため、異なる周波数は取得できません。

これをもっとフォーマルにしたいですか？

あなたの前提が間違っているか、境界条件を適切に明確にしていません。

ダイオードなどの単純な受動デバイスを検討してください。非線形伝達特性を示し、所定の非正弦波出力が得られます

また、ゼロ出力をもたらす伝達関数を持つ理想的な共振（LC）回路も考慮してください。

線形時不変システムの固有関数（およびパッシブネットワークは一般にその種のものです）は複素指数関数であり、それらの実際の重ね合わせは任意の位相の正弦波です。

固有関数は、システムを通過したときに定数（この場合は複素数）の係数によってのみ変化する関数です。線形システムとは、複数の入力の合計に対応する出力が個々の入力の出力の合計に対応するシステムです。そのため、入力を便利な合計として表現することにより、常に分析できます。この合計が直交固有関数ベースで表される合計である場合、物事は非常に簡単になります。

こんにちはフーリエ分析。