三角波には有限または無限の正弦波成分がありますか？

不連続性は信号に無限の正弦波成分を持たせますが、三角波は連続的です。三角波は連続的であるため、有限数の正弦成分で表すことができ、また純粋な三角波の形状を与えた正弦波の複数の周波数の有限加算。

私が念頭に置いている唯一の問題は、三角波の微分係数は方形波なので連続ではなく、したがって正弦波の無限和が必要になるため、三角波のフーリエ級数の式の両側を導出する場合、有限数の正弦波の合計として示される方形波が得られます。それは間違っていませんか？

三角波は連続的です

ここから引用：-

三角波には不連続なジャンプはありませんが、勾配はサイクルごとに2回不連続に変化します

勾配が不連続に変化するということは、正弦波成分の無限の範囲も意味します。

たとえば、方形波を時間積分すると、三角波が生成されますが、元の方形波のすべてのハーモニクスは、時間積分後も引き続き存在します。

インストラクターは、三角波は連続的であるため、有限数の正弦波で表すことができると言いました

あなたはこれを正しくしなかったか、インストラクターのミスポークのどちらかでした。信号自体が連続的であるだけでは不十分ですが、すべての微分も連続的でなければなりません。微分に不連続性がある場合、繰り返し信号には無限の一連の高調波が含まれます。

三角形は連続ですが、その一次導関数は方形波であり、連続ではありません。したがって、三角波には無限の高調波があります。

数学の証明：

正弦/余弦成分の有限シリーズの加重和で構成される関数を取ります。

その導関数は、正弦/余弦成分の有限シリーズの加重和でもあります。何回でも派生させる場合も同じです。

サインとコサインは連続的であるため、関数とそのすべての微分は連続的です。

したがって、その導関数のいずれかに不連続性がある関数は、正弦/余弦成分の有限シリーズでは構築できません。

良い答えはここにたくさんありますが、それは本当に「によって表されることができる」のあなたの解釈に依存します。

三角波は、実際には実際に存在することのできない理論的な数学的構成要素であることを理解する必要があります。

数学的に言えば、純粋な三角波を得るには無限数の高調波正弦波が必要ですが、三角波の表現を得るにはそれらの成分のほとんどが小さすぎて問題にならず、バックグラウンドノイズで失われますシステム、またはもはや送信可能ではないそのような高周波のものです。

そのため、実際には、使用可能な表現を得るために必要なのは有限数だけです。その表現がどれほど優れているかによって、使用する必要がある高調波の数が決まります。

別のアプローチ。

x（t）を三角波、y（t）を微分と呼びましょう。これは方形波であり、したがって不連続です。

x（t）が正弦波信号の有限和である場合、その演算の線形性によるその微分は、正弦波信号の微分の有限和、つまり再び正弦波信号の有限和になります。

しかし、後者の信号は、正弦波信号の有限和が連続的であるため、方形波y（t）にはできません。したがって、矛盾があります。

したがって、x（t）は無限フーリエ成分を持たなければなりません。

実際に使用するはるかに簡単なテストを提案します。波に鋭い角がある場合、無限の正弦波成分を構築する必要があります。

どうして？正弦波の有限シリーズは鋭い角を作ることができないからです。これは、和の分解規則の帰納法で証明されます（つまり、すべての有限和とすべての無条件収束無限和に対してΣ（a + b）=Σa +Σb）。

有限フーリエ級数で表現できる関数のセットは次のとおりです。

インデックスNのすべての有限セットに対して。項ごとの微分は、導関数が（1）連続で、（2）Fでもあることを示しています。三角波の導関数は連続ではないため、三角波の関数はFにありません。

この証明は不連続性に基づいていますが、ほとんどの連続関数もFに属していません。正弦関数と余弦の有限和として表現できる多項式関数または指数関数は存在しないため、Fのメンバーは上記の形式で明示的に記述されたものだけです。