S = VI * / 2の導出

私は、S、V、およびIが複素フェーザーである複素指数の式S = VI * / 2の導出をどこで見つけられるのか疑問に思っていました。

私は人々が方程式に何かを入れて、それがたまたま機能していることを示す検証をたくさん見てきました。

ここでは、私がこれまで知っているならとと、その後、およびおよびS =Vm∠ø_v*Im∠ø_i/ 2 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— ユーザー968243
ソース

S、V、I、および "* /"の意味を定義する必要があります。

— Olin Lathrop、2012

@ OlinLathrop、I（current）の複素共役の場合はI *であり、2で除算されます。これらは両方とも正弦波（VおよびI *）であるため、両方ともRMS変換されます。

— Kortuk 2012

ましょうVとIは、負荷の瞬時電圧と電流のこと。電力、電圧、電流の定義から、瞬時電力の関係は次のようになります。

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

つまり、特定の瞬間電力は、その瞬間の電圧と電流の積に正確に等しくなります。 $t$

フェーザー表現が実際に何を意味するのかを理解していると思います。簡単に言えば、フェーザは、特定の未知の周波数で正弦波を表すための数学的な省略表現です。

だから、の省略形であり、。同様に：意味。 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

掛けるすべてのために、私たちの波形与え瞬時電力のすべてのための。その乗算に取り組んでいます： $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

、とと、我々はに上記の式を簡略化することができます。 $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

この波形は、それ自体が非常に興味深いものです。定数値です。正弦波によって加算 $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ 。 $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

これは、瞬時電力が時間に対して一定ではないことを明確に示しています。

その結果に基づいて、平均パワーが非変動成分に等しいことがわかります数学的に証明するには、積分を解くだけで簡単です $s(t)$ ） $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

この結果との非常に甘い幾何学的な解釈によって動機付けられ、その値は実際の電力、つまり実際に負荷に供給される電力として定義されています。今、あなたは、このいわゆることを知っている本当の力がより負荷時の平均電力よりも何もありません。 $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

この概念について少し掘り下げます（ここでは描ききれないが、私は試してみます）：

してみましょうvが大き|| vでベクトルで|| と位相、そしてiは大きさ|| i ||のベクトルと位相掛ける場合|| i || をお持ちのVを超えるIの投影を。一方、は、vと直交するiの成分と言われます $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ 。

これで、平均電力が幾何学的にクールに解釈される理由を理解できます。平均電力は、電圧に、フェーザー空間での電圧に対する電流の投影を掛けたものです。

これは、次のような複雑なパワーSの作成を動機付けました。

S = P + jQ

この定義では、ベクトルの実数部は負荷に供給される平均電力であり、複素数部は無効電力と呼ばれる直角位相であると言われる電力です（この結果の幾何学的解釈を確認するには、Power Triangleのグーグル）。。

では、定義に戻りましょう $s(t)$ と、定義により、及びSの定義に準拠するためには、に等しいです。 $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

それで、最初に証明したかったので：

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

だから、あなたは行きました、あなたが見たかったもの;）

編集：Qの物理的な解釈は何ですか？

上記で、複素電力Pの実数部、つまり負荷に供給される平均電力の物理的解釈を示しました。しかし、正確にはQとは何ですか、それをどのように視覚化できますか？これは、cosとsinが直交しているという事実に基づいており、計算に含まれる2つの波形が直交している場合、重ね合わせの原理をパワーに適用できます。数学に進みましょう。それが本当に重要なことだからです。

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

First case: purely resistive load, so that

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a sinusoid centered on $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ with that same amplitude (its minimum value is 0 and its maximum value is $V_{M}I_{M}$ ). Let's call it P

Second case: purely inductive load, so that

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

That is a purely oscillatory waveform with mean value equal to 0. Let's call this result Q.

Third case: the generic case

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

In this case, s(t) is exactly the general equation we found on the discussion above. But we can rewrite that to make use of the result of the two previous cases, like this:

First, we rewrite the equation in terms of $\theta$ (notice that $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ ): $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ Knowing that: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ , letting $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ and $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Rearranging the terms:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$ , that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$ ?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

And the complex power S, the total power, is exactly the sum of these two components

— Castilho
ソース

Thank you for your good explantation! I have a few questions though: 1. I don't follow what happened to

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$ . I thought this term would be the reactive power, Q; however,

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ . 2. I don't understand how you went from

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$ . It's as though

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

— user968243

Yep. you're right, that's NOT Q. The reactive power is defined only in terms of the phase difference between voltage and tension, and it's a value that's directly related to the definition of S as a phasor. It's the power that would be delivered by the current in quadrature with the voltage. The time varying component is not taken into account, because in this sense what really matters is the mean power at the load. The varying part EXISTS, is really there (watch a incandescent light bulb, for example), but, over time, the power is related only to the static part of s(t). ;)

— Castilho

Okay, so does this varying part have a special name? Anyway, so if I understand it correctly, the amount of I in the direction of V is the real power, and the amount of I, perpendicular to V is the complex power.

— user968243

almost that, the amount of I in the direction of V multiplied by V is the real power P, the amount of I perpendicular to V multiplied by V is the REACTIVE power Q, P+jQ is the complex power, or apparent power ;)

— Castilho

Okay, that makes sense! Actually in my previous comment, I was asking what the name for this is: −VMIM2cos(2ωt+ϕV+ϕI) I really thought that it was the reactive power... Thanks for your reples by the way, I'm grateful!

— user968243