複雑なインピーダンス

複雑なインピーダンスを持つとはどういう意味ですか？

たとえば、（ラプラスドメインの）コンデンサのインピーダンスは1 / sCで与えられます（私は信じます）。これは1に相当します。トランジェントが無視されています。インピーダンスが虚数であるとはどういう意味ですか？$\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

私は現在、大学の電気工学の2年目にいるので、可能であれば、問題が多すぎない場合は数学的に有効で綿密な回答をいただければ幸いです。調査資料（Webおよび紙のリソース）を参考にしてください。

前もって感謝します。

TL; DRインピーダンスの虚数部は、インピーダンスの無効成分を示します。これは、（とりわけ）電流と電圧の位相差、および回路で使用される無効電力の原因となります。

基本的な原理は、周期的な信号はすべて、等間隔の周波数を持つ、高調波と呼ばれる無限の正弦波の和として扱われることがあります。それぞれを個別のシグナルとして個別に処理できます。

これらの信号のためにあなたが似ている表現使用：

$$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$$

また、複素数の指数関数を使用して回転を表すことができるため、すでに複素数の領域にジャンプしていることがわかります。

したがって、インピーダンスはアクティブ（抵抗）またはリアクティブ（リアクタンス）になります。定義により最初のものは、（信号の位相に影響を与えないながらリアクタンスはない）ので、複素数を使用してリアクタンスによって導入される位相の変化を評価することができます。$\phi$

あなたが得るよう：

$$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$$

ここで| Z | は次の式で与えられるインピーダンスの大きさです

$$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$$

そしてthetaはインピーダンスによって導入される位相であり、次の式で与えられます：

$$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$$

$$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$$

理想的なコンデンサを考えてみましょう：インピーダンスはなります$\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

なぜ？

$70.7 \angle 45 ^\circ$

複素数を使用しないと、コサインとサインを使用できる（ただし、複素数を使用するのと同じです）か、マグニチュードとフェーズの混乱に陥る可能性があるため、事態はさらに複雑になります。それはあなた次第です ：）。

理論

あなたの質問に対処しようとするいくつかの追加の概念：

• 信号の高調波表現は​​、通常、フーリエ級数分解によって対処されます。

$$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$$

• 複素指数は、オイラーの公式によってもコサインに関連しています。

$$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

これがあなたの質問に完全に答えることはないと確信しています。実際、これが無視されているように見えるすでに与えられた答えを補完することを願っています：複素数の使用の背後にある概念数学的「量」の場合）。

ここで答えるべき最初の主な質問は、なぜ複素数なのかということです。そしてこの質問に答えるには、自然数から実数まで、さまざまな数のセットの必要性を理解する必要があります。

幼い頃から自然数により、人々は市場でリンゴやオレンジなどを数えることができました。次に、負の数値を使用して「借金中」の概念に対処するために整数が導入されました（これは当時は理解するのが難しい概念でした）。現在、有理数と分数で「数量」を表す必要性により、物事はより面白くなっています。この数値の興味深い点は、たとえば3/8のように、自然数と整数のように1つだけではなく2つの整数が必要なことです。この「量」を表す方法は非常に便利です。たとえば、8つのスライスのパイに残っているスライスの数（3）を、5つがすでに食べられている場合に記述します:)（整数ではこれを行うことはできません！）。

ここで、不合理な数と実数をジャンプして、複素数に移動しましょう。エレクトロニクスエンジニアは、線形回路（つまり、抵抗器、コンデンサー、インダクターで構成される）の正弦波電圧（および電流）の異なるタイプの「量」を記述して操作するという課題に直面しました。何を推測したら、彼らは複素数が解決策であることがわかりました。

$\omega$$\phi$

$$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$$

$\omega$

コンデンサのインピーダンスがだと言うと$\frac{1}{j \omega C}$

更新

Michael D. Alderによる「エンジニアのための複雑な分析の概要」を読むことを強くお勧めします。これは主題に対して非常に友好的なアプローチです。特に、最初の章をお勧めします。

複素数の使用は、同相成分と逆相成分（電圧に対する電流）の両方を表す数学的な方法です。架空のインピーダンスは、インピーダンスが存在しないことを意味するのではなく、電流と電圧が互いに位相がずれていることを意味します。同様に、実際のインピーダンスは、電流が電圧と同相であることだけを意味するのではありません。

1. 以下の説明は、RCLコンテキストで「複雑な」数量が何を意味するのかを説明するためのものです。「架空の」コンポーネントの概念は、単純な基本的な現実に人々を盲目にする傾向がある有用な比喩です。以下のテキストは、RC用語で話し、実際にはこれ以上不思議ではないLCの謎に触れません。

2. 他の人に説明を求める前に、教科書やインターネット検索エンジンを使用して自分が提起したほとんどの点に対処するために全力を尽くすことは、あなたにとって大きな利益になるでしょう。この質問は、反応型AC回路の基本にとって非常に基本的なものだからです。コンポーネント。難しい質問に対処することは、教育全体を通して同様のことをどのように扱うかという優先順位を設定します。インターネットにはおそらくこのテーマを扱う何百万ものページがあります（Gargoyleは〜= 1,100万人と言いますが、誰が言うことができますか？）。あなたが求めるディテールの程度と徹底性は、「そこに」膨大な量のディテールが与えられているため、このようなサイトでは非現実的です。（サイトの所有者がウィキペディアのサブセットを複製しようとしている場合を除きます）。

SO-基本を理解するのに役立つので、そこからピックアップして実行できます。そう ...

入力端子をコンデンサの直列抵抗に接続し、他のコンデンサが「接地」されている場合、直列RC回路が得られます
。Vin-抵抗-コンデンサ-接地。

入力にステップ電圧を印加すると、コンデンサの電流は一致するようにステップしますが、コンデンサはこの電圧を使用して充電を開始し、抵抗に電流を生成します。コンデンサに流れる電流はIcharge = V / R =（Vin-Vcap）/ Rseriesによって設定されるため、電圧の増加は指数関数的になります。つまり、Vcapが上昇すると、抵抗両端の電位が下がり、電流が減少します。理論的には、VcapがVinに到達するまでに無限の時間がかかりますが、実際には約3時定数であり、
t = RC = Iinが初期値の1 / eに低下するのにかかる時間です。参照を読んだ後ですでに知っている、または行う1 / e用語の内容と理由。

ここで、方形波信号を適用すると、入力が正の場合、コンデンサは上記のように充電され、入力が接地または負の場合、同様の指数関数的に放電します。コンデンサ電流はVinに従い、Vinがハイ/ローまたはローハイに遷移するときに最大になりますが、コンデンサ電圧は、上記の理由により入力電圧より遅れます。定常状態に達したら、VcapとI capをプロットすると、1つの入力サイクル全体が360度の場合に、最大で約90度またはほとんど度でオフセットされた2つの波形が見つかります。コンデンサの電圧が電流からどれだけ遅れているかは、入力周波数とRC時定数によって異なります。

初心者にはこれは魔法のように見えるかもしれません（またはチオチモリン*を使用）検査は必然的に直感的に明らかです。

コンデンサー、抵抗器、インダクターをさまざまな方法で組み合わせ始める場合は、さまざまな波形の相対位相を数学的に処理できる必要があります。[最初の紹介では、フェーザが気絶しているように見えるかもしれません]。

一部の有能な図解、または件名の1000万ほどのWebページの一部をざっと見ると、互いに位相関係が異なる2つの波形があり、相互指数関数に基づいていることがわかります。各波形は、極座標形式[R、Theta]の極座標表現で表すことができます。これは、極座標形式を反映するX成分とY成分を持つ複素数として表現できます。

与えられた状況での電圧と電流の関係を表す極座標の「ベクトル」は、回転ベクトルアームの「比喩」を使用して、基準に対するアームの長さと位相角を与えます。この「比喩」は、極座標形式の大きさがR = sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）で与えられ、その角度シータがtan ^ -1（X / Y）で与えられるXおよびYコンポーネントで置き換えることができます。 ）。これは、以下の図で確認できます。

ここから

警告 -用語にだまされないでください。

「複素数」という用語は単に専門用語であることに注意してください。SQRTの使用は（-1）で動作し、演算を可能に比喩の有用な部分であるBUT関与する実際の量は、完全に実数及び「通常」です。インダクタやコンデンサなどの無効要素を使用すると、電力は電圧と電流のベクトルの大きさの項の積ではなくなります。すなわち、V.sin（fred）x I.sin（Josepine）からのパワーは（通常）= VIではありません。これは、関与する変数について特別な、魔法の、複雑な、または架空の何かを意味するものではありません。それらは時変であり、ピークの大きさが通常は一致しないというだけです。

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追加の読書-強くお勧めします：

電気インピーダンス

RC回路

LC回路

複雑なインピーダンス計算機

• アシモフ。

静電容量とインダクタンスを虚数抵抗として表現すると、抵抗器の線形問題を解決する既知の方法を使用して、抵抗器、コンデンサ、インダクタの線形問題を解決できるという利点があります。

このような線形問題とそのよく知られた方法は、例えば

1. 問題：2つの抵抗器の直列抵抗の計算
   方法：R = R1 + R2
   は、別の抵抗器/コンデンサ/インダクタと直列の抵抗器/コンデンサ/インダクタのインピーダンスの計算にも使用できます

2. 問題：2つの抵抗の抵抗を並列に計算する
   方法：R = R1 * R1 /（R1 + R2）
   は、別の抵抗/コンデンサ/インダクタと並列の抵抗/コンデンサ/インダクタのインピーダンスを計算するためにも使用できます

3. 問題：抵抗、DC電圧、DC電流源を含むネットワークの解法
   方法：線形方程式の連立方程式の
   解法は、抵抗、コンデンサ、インダクタ、ACまたはDC電圧、ACまたはDC電流源を含むネットワークの解法にも使用できます

4. 等

実際の抵抗値（抵抗のみ）とDCソースで機能するすべての式/方法は、複雑な値（抵抗、インダクタ、コンデンサ）とACソースで同様に機能します。

複素数を使用して同相信号と逆相信号の組み合わせを表すことが有用である理由は必ずしも直感的な理由ではありませんが、複素数の算術規則は実際の動作と非常によく適合し、抵抗、コンデンサ、インダクタの相互作用。

複素数は、2つの部分の合計です。実数部と「虚数」部は、iを掛けた実数で表すことができ、-1の平方根として定義されます。複素数はA + Biの形式で書くことができ、AとBはどちらも実数です。次に、多項式演算のルールを使用して、iを変数として扱うことで複素数に作用しますが、i²を-1で置き換えることもできます（たとえば、Pi × Qiの積は-P×Qです）。

特定の周波数で、各アイテムの実効インピーダンスを計算し、オームの法則を使用して直列と並列の組み合わせの実効抵抗、および通過する電圧と電流を計算することにより、抵抗、インダクタ、コンデンサのネットワークの動作を決定できますそれら。さらに、抵抗器、コンデンサー、インダクターはすべて線形デバイスであるため、特定の各周波数で何を行うかを計算し、その結果を合計することで、周波数の組み合わせが注入されたときのネットワークの動作を計算できます。複雑な算術は、フィルターのような出力を入力の関数として計算できるため、フィルターなどの動作を分析する場合に非常に役立ちます。いくつかの実数vの入力信号を供給ある周波数fでのボルト。特定のノードでの電圧または電流を計算できます。実際の部分は注入された波形と同位相になり、虚数の部分は位相が90度ずれます。ファンシー微分方程式を使用して回路の動作を解決する代わりに、複素数を使用した比較的基本的な演算を実行できます。

複素数は、大きさと位相を持つ量の電気工学で使用されます。電気インピーダンスは、電流と電圧の比率です。AC電流と電圧の場合、電流と電圧の波形は同相ではない可能性があります。インピーダンスの位相により、この位相差がわかります。