ナイキストレート以下のサンプリングが必要または許可されるのはいつですか

このプラットフォームで過去の質問と回答を検索しましたが、この質問に回答するものはありません。ある教授は、特定の条件下でナイキストレート以下でサンプリングすることが可能であると述べました。これを行うことが可能かどうか、もしそうなら、いつですか？

まず、ナイキストレートの誤解を取り除きましょう。

通常、最小サンプリング周波数は信号の最高周波数の2倍の周波数である必要があると人々は教えられます。これは完全に間違っています！

本当のことは、「完全な」スペクトルがあり、完全に、帯域幅の下端と帯域幅の上端の間のすべての周波数を完全に使い果たしている場合、サンプリング周波数が必要なことです。それは、信号の帯域幅の少なくとも2倍です。

したがって、この図では、スペクトルを取得するために、サンプリング周波数は少なくとも2 *（Fh-Fl）である必要があります。

また、サンプリングを行った後、実際の周波数に関するすべての情報がサンプリングされた信号で失われることに留意する必要があります。これは、ナイキスト周波数に関するストーリー全体が作用する場所です。サンプリング周波数が信号の最高周波数の2倍である場合、サンプル信号のすべての周波数がサンプリング周波数の0から2分の1であると安全に仮定できます（無意識のうちに行うことがよくあります）。
実際には、サンプリングされた信号のスペクトルはFs / 2付近で周期的であり、より低いサンプリングレートを実現するためにその周期性を使用できます。
次の写真を見てください。
0とFs / 2の間の領域は、いわゆる最初のナイキストゾーンです。これは、「従来の」サンプリングを行っている領域です。次に、Fs / 2とFsの間の領域を見てください。これは2番目のナイキストゾーンです。この領域に信号がある場合、それらのスペクトルがサンプリングされ、そのスペクトルが反転します。つまり、高周波数と低周波数が反転します。次に、Fsと3Fs / 2の間に3番目のナイキストゾーンがあります。ここでの信号は、サンプリングされると、最初のゾーンから来たように見え、スペクトルは正常になります。他のすべてのゾーンについても同じことが言えます。ルールは、奇数ゾーンのスペクトルが正常であり、偶数ゾーンのスペクトルが反転するというものです。

これは、エイリアシングに関する「伝統的な」ルールに反するものです。エイリアシングは、通常、悪意のあるモンスターが信号を食い尽くすと教えられ、ローパスアンチエイリアシングフィルターを使用して取り除く必要があるためです。実生活では、これは物事が実際に機能する方法ではありません。アンチエイリアシングフィルターは、実際にはエイリアシングを防ぐことはできず、それが問題にならないレベルに下げるだけです。
代わりに、私たちが本当にやりたいことは、興味のないナイキストゾーンからの強い信号を除去し、興味のあるナイキストゾーンからの信号を通過させることです。最初のゾーンにいる場合、ローパスフィルターは問題ありませんが、他のすべてのゾーンには、そのゾーンから有用な信号を取得して不要なジャンクを除去できるバンドパスフィルターが必要です他のゾーンから来る必要はありません。

それでは、この例を見てみましょう。

ここでは、3番目のナイキストゾーンに、バンドパスフィルターが通過させる信号があります。ADCは、信号の帯域幅の2倍のサンプリング周波数のみを再構築する必要がありますが、内部の周波数を計算する必要がある場合、これは実際には3番目のゾーンからの信号であることに留意する必要があります信号。この手順は、しばしばバンドパスサンプリングまたはアンダーサンプリングと呼ばれます。

さて、このすべての説明の後、次の場合に質問に答え
ましょう。さて、ラジオ、おそらくマイクロ波スペクトルの何か、おそらくWiFiを見てみましょう。典型的な古いスタイルのWiFiチャネルの帯域幅は20 MHzですが、キャリア周波数は約2.4 GHzです。したがって、信号を直接サンプリングするための単純なアプローチを採用する場合、特定の20 MHzのスペクトルのみに関心があるとしても、信号を表示するには5 GHz ADCが必要になります。5 GHzアナログ-デジタルコンバーターは非常に複雑で高価なものであり、非常に複雑で高価な設計も必要です。一方、40 MHz ADCは5 GHz ADCほど「魔法」ではありません。
留意すべきことの1つは、理論上は40 MHz ADCで信号をキャプチャできますが、非常にシャープなアンチエイリアシングフィルターが必要になるため、実際にはサンプリングを実行したくないことです。周波数が帯域幅に近すぎる。もう1つ見落とされているのは、実際のADCの回路がそれ自体でフィルターとして動作することです。バンドパスサンプリングを行うときは、ADCのフィルタリング効果を考慮する必要があります。帯域通過サンプリングを念頭に置いて特別に設計されたサンプリングレートよりもはるかに広い帯域幅を持つ特別なADCが非常に多くあります。

最後に、圧縮センシングと呼ばれる話の反対側があります。私はその専門家ではありませんが、まだ少し新しいものですが、基本的な考え方は、特定の仮定が満たされている場合（スペクトルが疎であるなど）、帯域幅の2倍よりも低い周波数でサンプリングできることです信号の。

そのため、教授を含む多くの人々は、ナイキスト率とは何かについて混乱しています：

ナイキストレートは、エイリアシングによる損傷を避けるために信号をサンプリングする必要があるサンプルレートです。

つまり、実数値の信号と実数値のサンプリングでは、サンプリングレートはアナログ信号の帯域幅の2倍以上でなければなりません。

つまり、6 kHzのサンプリングレートでは、3 kHzの帯域幅を100％表現できます。

サンプリングレートが信号の最高周波数の2倍である必要があるという意味ではありません。たとえば、3 kHzが9 kHz〜12 kHzの帯域の場合、2・12 kHz = 24 kHzでサンプリングする必要はありません。信号をデジタルで明確に表現するには、6 kHzで十分です。後で他の信号に関連付ける場合は、3 kHzが10.5 kHzを中心としていることを知る必要がありますが、通常は問題ではありません。

この手法をアンダーサンプリングと呼びます。これは美しく機能し、多くの技術的アプリケーションを備えた100％標準的な手法です。あなたがいることを、その手段は、上記の例では-あなたは確認する必要があるのは、そのすべてをあなたのADC（アナログ-デジタル・コンバータ）の半分のサンプリングレートに帯域制限されて見ている必要があります確認してください無信号9キロヘルツの下とまったくありませんということ12 kHzを超える信号。

複雑なベースバンド

これは実数値のサンプリングのみに当てはまることに注意してください。IQ復調器（ダイレクトコンバージョンミキサー、直交復調器とも呼ばれます）のようなものを使用して、複雑で等価なベースバンドを提供した場合、同期サンプルの2つのストリームを取得します。その場合、係数2は低下します。これはソフトウェア無線機にとって非常に重要な側面です。

多相構造

DSPコースの後半にいる場合、教授は合理的なリサンプラーのようなものを実装できることをほのめかしているかもしれません。 （入力レート・Mで実行されるフィルター）、Nでダウンサンプリングする前にすべてのエイリアス（フィルターが入力レート・Mで実行される）を回避するためにフィルターします。 -ナイキストサンプリング。しかし、それは基本的に多相/マルチレートシステムの講義のハイライトの1つであり、初心者向けのコースで彼がそれを発表したのではないかと思います。

決して。ただし、「ナイキストレート」が実際に何であるかを正確に理解する必要があります。

ナイキストは、信号の帯域幅の2倍以上のレートでサンプリングされる限り、信号を再構築できると述べました。その帯域幅はDCで開始する場合と開始しない場合がありますが、このトピックの多くのソースは、常に開始し、信号の最高周波数成分がナイキストレートを決定すると想定しています。

たとえば、±10 kHzに帯域制限された1 MHzのAM放送信号がある場合、そのナイキストレートは2×1.01 MHz = 2.02 MHzではなく、2×20 kHz = 40 kHzです。

ある教授は、特定の条件下でナイキストレート以下でサンプリングすることが可能であると述べました。

波形のRMS値を計算するだけであれば、ナイキスト以下でサンプリングできます。-

青い波形も、元のRMS値と同じRMS値を持つ正弦波です。避けるべきことはこれです：-

サイクルごとに正確に2つのサンプルが取得され、エイリアス信号が実際に赤い波形であるか緑の波形であるかを知ることは不可能です。

ナイキスト基準は、帯域制限された信号を再構築するためにサンプリングする必要がある頻度を示します。ただし、帯域制限されている物理信号はありません。これは単なる理想化です。他のスキームは、他の理想的な信号をサンプリングするために機能します。信号に関するアプリオリ情報（帯域制限されていること）を提供することにより、ナイキストはいくつかのサンプルから信号全体を再構成する方法を示します。別のアプリオリ情報を提供すれば、ナイキストよりも良い結果が得られます。以下に例を示します。理想的な信号は区分的に線形です。これらの信号を変曲点でサンプリングするだけで済みます。帯域制限された信号の場合、1つのニードよりもはるかに少ないサンプルです。信号全体を再構築するには、サンプルポイント間に直線を描きます。これを「Linequist」基準と呼ぶことができます。:)

周期信号は、サブナイキストサンプリングレートを使用してサンプリングできます。これは、オシロスコープで十分に活用されています。信号の繰り返しごとに1つのサンプルが保存されますが、周期の異なる位置に保存されます。512個のサンプルが必要ですか？次に、信号の512個の完全なペリオンが必要です。

精度：

静止した正弦波をこの方法でキャプチャできることは簡単にわかります。ただし、これらの512サンプルは信号をカバーする必要があります。256番目以降の高調波をゼロと見なすことができる場合、それは事実です。

これは、サンプリングオシロスコープ（DSOとは異なりますが、一部のDSOもサンプリングしますが、サンプリングオシロスコープは完全にアナログデバイスであり、1950年代から構築されています）で、意図的に行われることがあります。周波数が高すぎて線形回路で増幅したり処理したりするには経済的ではない信号-1 GHzの信号を処理できるオシロスコープCRTは多くありません（一部は存在します！）が、1 GHzは簡単に処理できます1960年代の技術でもアンダーサンプリング。最終的に、システム全体はヘテロダイン受信機と同様に動作します（同一ではありません）。連続波の高周波数LOはありませんが、使用されるサンプリングクロックには非常に高い周波数成分が隠されています（使用されています）。

明らかに、非周期的な信号はそのように調べることはできず、はるかに低い周波数成分が追加された信号は、完全に誤表示および/または誤って解釈される可能性があります。

[rackandboneman]が言ったことは、教授の意図と一致していると思います。「特定の条件」は、元の信号が周期的であることです。

以下は、アンダーサンプリング信号から元の信号を再構成する方法を示すコードです。元の信号は、一意のパターンを再構築するために1/100のサンプリング周期を必要とします（ただし、基本周波数は8/100です）。1.5 / 100秒のサンプリング周期でサンプリングすることにより、元の信号のパターンは、0.5 / 100の再構築サンプリング周期でほぼ完全に再構築されます。（まもなく、0.5 / 100サンプリング周期は1.5 / 100サンプリング周期から作成されます。）

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

信号がレートSでサンプリングされる場合、周波数fのコンテンツは、整数Nの場合、周波数NS + fまたはNS-fのその他のコンテンツと区別できません。

所定のサンプルレートが適切かどうかは、コンテンツを区別する必要があるが、できない2つの周波数が存在するかどうかによって決まります。

たとえば、700〜800Hzの範囲の信号のみが懸念される場合、入力には300Hz未満または1200を超えるコンテンツが含まれず、他の信号が存在してもクリッピングは発生しません。合計帯域幅が900Hzのコンテンツの存在にもかかわらず、フィルタリング。300Hzから700Hzの範囲のコンテンツは、800Hzから1200Hzの範囲のコンテンツと見分けがつきませんが、そのようなコンテンツは重要ではありません。