FFTのポイント数によるFFT出力のスケーリング

一部の信号のNポイントFFTを計算するとき、結果は常にNで除算されます。これがNポイントの合計に当てはまる理由は理解できますが、FFT操作の結果は長さNのベクトルではなく、合計よりも。では、FFTの出力である長さNのベクトルが、FFTの計算に使用されるポイント数（N）でスケーリングされるのはなぜですか。ありがとう。

違いは、デジタルフーリエ変換（およびFFT）は、Nサンプルの合計を含むサイズN（場合によってはM）のベクトルを与えることです。

したがって、基本的に、FFT変換の各ポイントは、時間ベースのサンプルの特定の時間間隔にわたる合計の結果です。そのため、Nで割ります。

このように考えることができます。信号のNサンプルの間隔をとります。次に、基本的にすべてのサンプルをN回合計しますが、毎回異なる関数に対してそれらを乗算します。これにより、特定の周波数（またはより正確には周波数範囲）の情報を抽出できます。

最後に、要約すると、それぞれが時間間隔に関連付けられているN個のサンプルではなく、N個のサンプル（以前のように）がありますが、各サンプルは間隔全体に関連しており、特定の周波数範囲の信号のコンポーネントを記述しています。

完全を期すために、フーリエ変換には4つのケースがあります。

1. 連続的な周波数応答を与える、有限間隔での時間的な連続信号の連続フーリエ変換。

2. フーリエ級数、連続的かつ周期的な信号を取り、離散的な一連の高調波を与えるため、離散的な周波数成分を持つ;

3. 時間離散フーリエ変換、（2）の逆数。時間離散離散信号から周波数領域で周期関数を与える。

4. デジタルフーリエ変換。離散的で周期的な信号を取り、離散的で周期的なスペクトルを提供します。

したがって、周期的信号を変換すると離散スペクトルが得られ、逆も同様です。

1 / Nスケーリング係数は、ほぼ任意に配置されます。スケーリングされていないFFTに続いて、まったく同じ複素指数回転因子を使用するスケーリングされていないIFFTは、入力ベクトルにスケーラーNを乗算します。一部のFFT / IFFT実装ペアは、FFTを1 / Nでスケーリングするもの、IFFTを1 / Nでスケーリングするもの、両方を1 / sqrt（N）でスケーリングするものがあります。