ダイオードを備えたすべての回路が正確に1つのソリューションを持っていることの証明

線形コンポーネントといくつかの理想ダイオードで構成される電子回路を考えてみましょう。"理想的な"と私は（すなわち、それらはいずれかの順方向バイアスできることを意味とI D ≥ 0）、または逆バイアス（すなわちVのD ≤ 0とI D = 0）。$v_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$i_D=0$

これらの回路は、順方向バイアスまたは逆方向バイアスのいずれかで各ダイオードを任意に宣言し、すべての順方向バイアスダイオードに対してを設定し、すべての逆方向バイアスダイオードに対してi D = 0を設定することによって計算できます。その結果、リニア回路が計算された後、我々はすべての順方向バイアスダイオードのかどうかをチェックする必要があり、私のD ≥ 0とすべての逆バイアスダイオードでのV D ≤ 0満たされます。はいの場合、それが私たちのソリューションです。そうでない場合は、ダイオードの別の選択肢を試す必要があります。したがって、Nダイオードの場合、最大2 Nを計算することで回路を計算できます。$v_D=0$$i_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$N$$2^N$ 線形回路（通常ははるかに少ない）。

なぜこれが機能するのですか？言い換えると、なぜ有効な解につながる選択肢が常に1つあるのか、そして（さらに興味深いことに）両方とも有効な解につながる選択肢が2つないのはなぜですか？

例えばテブナンの定理が教科書で証明されているのと同じレベルの厳密さでそれを証明することは可能であるべきです。

文献の証明へのリンクも許容できる回答です。

私はこれが既知の受動素子といくつかのIとVが与えられ、スポットが未知の方向のダイオードに印が付けられている回路がある不自然な問題に対するものだと思います。私の答えは：

うまくいけば、問題の作成者は、彼らの仮定が彼らの結論に導く事例に彼ら自身を拘束した。

ダイオードを無関係にすることは理論的には解決できない可能性があります。ダイオードの両側を接地することを検討してください。仮想接地または他の等しい電圧を使用して、特定するのが難しい重要なケースが存在する可能性があります。

ダイオードを含む「有効な回路」の値に対して、ダイオードの方向だけが異なる有効な回路が存在することは確かです。これらの理想的なダイオードルールを使用してスイッチをモデル化することを検討してください。スイッチをオンにするかオフにするかをどのように決定できますか？うまくいけば、与えられた電流と電圧は十分なヒントを与えるでしょう。そして、うまくいけば、彼らはあなたに矛盾するヒントを与えていません。

これにより、質問が「インスタンスに十分な情報が含まれているかどうかをどのように確認できるか」に変わります。私はあなたが答えを、あなたがそれぞれの独立した未知数に対して与えられる1つの独立者を必要とするようなものであったことを覚えていますが、私はそれを証明できなかったか、どちらかの独立性についての一般的なテストを思いつくことができなかったと確信しています。

理想的なダイオードの場合、複数のソリューションが考えられます。

ささいな反例：解決した理想的なダイオードを含む回路を取り上げます。ここで、理想的なダイオードの1つを、順方向伝導の場合は並列に接続された1対のダイオード、または逆バイアスの場合は直列に1対に置き換えて、どちらの場合でも向きを維持します。2つの間の電流または電圧の分布をどのように解決しますか？理想的なダイオードモデルでは、等しく有効なソリューションの凸包ができません。

厳密な証明はありませんが、一般的な考え方は、回路のコンポーネントに単一値の関数であるVIカーブがある限り（これにはダイオードと線形コンポーネントが含まれます）、解決できる解決策は1つだけです。回路全体。

私は非常に単純だと思います：

順方向にバイアスされた理想ダイオードを短絡として、逆方向にバイアスされた理想ダイオードを開回路として扱うことができます。したがって、いずれの場合でも、すべてのダイオードが開回路または短絡に解決されるため、線形コンポーネントのみの回路が得られ、それらの線形回路は1つのソリューションを持つことが知られています。

ウィキペディアロードラインエントリから

問題の性質上、唯一のユニークな解決策があります。これは、荷重線の形でグラフで示すのが最適です。ダイオードには、電流（y軸）と電圧（x軸）の間の関係を表す方程式があります。ここで、x軸はダイオードの両端の電圧です。

ダイオード両端の電圧が変化すると、抵抗両端の電流がどうなるか見てください。ダイオードの両端の電圧がVddの場合、抵抗とダイオードの両端の電圧の合計がVddでなければならないため、抵抗の両端の電圧降下はなく、したがって抵抗の両端の電流はゼロになります（オームの法則）。同様に、ダイオードの電圧降下がゼロの場合、抵抗の両端にVddがあり、抵抗を流れる電流はVdd / Rになります。

ダイオードと抵抗器の電流は等しくなければならないので、これらは非現実的な状況であることがわかりました。抵抗の式（線形）とダイオードの式（非線形ですが、単調増加）を考えると、これは1つの一意の点、つまり2つの曲線の交点でのみ発生することがグラフでわかります。

したがって、3つの方程式（抵抗、ダイオード、および2つの電流が等しくなければならないという事実）の同時解は、1つの固有の解を使用します。

この方法は、すべての回路要素で機能します。

抵抗電流が逆になり、グラフに象限を追加する必要があるため、逆電流ダイオードの場合は少し異なります。

これの「証明」は、特定の回路でのみ機能します。ゲインがあり、非線形要素がダイオード自体の場合、ことができ、複数の可能な状態を持っています。たとえば（可能な限り最も単純な例ではない可能性があります）。

この回路は、理想的な完全に線形のオペアンプで動作し、出力が無限大になったり飽和したりすることはありませんが、0Vの場合、1つのペアまたはもう1つのダイオードが導通すると、出力は約+6または約-6になります。 。また、オンのときに順方向降下があり、他の非理想性がない「ほぼ理想的な」ダイオードでも動作します。

（そしてもちろん、トンネルダイオードは非単調なIVカーブを持つ特別なケースです）。

証明はおそらく、抵抗などの受動素子のみを必要とする必要があります（依存する電流源や電圧源はありません）。または、0V Vfの理想ダイオードのみを使用することもできます。

これは完全な証明ではありませんが、おそらく順調に進むでしょう：

複数のソリューションがある場合は、順方向バイアスまたは逆方向バイアスのいずれかが可能なダイオードが少なくとも1つあります。そのようなダイオードを考えてみてください。特定のソリューションでは、順方向または逆方向にバイアスされます。端子の電圧VaとVbを定義します。順バイアスの場合、Va> = Vb、逆バイアスの場合、Vb> = Vaです。順バイアスまたは逆バイアスのどちらの場合でも、残りは回路の（RotC）は、ダイオードの端子でこれらの電圧を生成します。

回路が線形要素とダイオードで構成されていると述べたので、RotCは純粋に線形ネットワークであるか、またはより多くのダイオードが含まれています。

RotCが純粋な線形ネットワークである場合、ソリューションは1つだけで、Va> = VbおよびVb> = Vaの制約に対する唯一のソリューションは、Va = Vbです。

RotCに複数の可能な解決策を備えたより多くのダイオードが含まれている場合は、次のダイオードを検討してください。繰り返しますが、これは線形ネットワークに接続されているか、複数の可能なソリューションを備えたより多くのダイオードを備えたネットワークに接続されています。

回路内に有限数のダイオードがあると仮定すると...